人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题3.3 幂函数-重难点题型精讲及检测（教师版）

第第页专题3.3幂函数-重难点题型精讲1．幂函数的概念(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的特征：①xα的系数为1；

②xα的底数是自变量；

③xα的指数为常数.

只有同时满足这三个条件，才是幂函数.2．常见幂函数的图象与性质温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．3．一般幂函数的图象与性质(1)一般幂函数的图象：①当α=1时，y=x的图象是一条直线.

②当α=0时，y=SKIPIF1<0=1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.

③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表：(2)一般幂函数的性质：通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：

①所有的幂函数在(0,+SKIPIF1<0)上都有定义，并且图象都过点(1,1).

②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+SKIPIF1<0)上是增函数.

③α<0时，幂函数在区间(0,+SKIPIF1<0)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+SKIPIF1<0时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.

⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.4．对勾函数SKIPIF1<0的图象与性质参考幂函数的性质，探究函数SKIPIF1<0的性质.(1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近.(2)函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0；

(3)函数SKIPIF1<0的值域为(-SKIPIF1<0,-2]∪[2,+SKIPIF1<0).

(4)奇偶性：SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0为奇函数.

(5)单调性：由函数SKIPIF1<0的图象可知，函数SKIPIF1<0在(-SKIPIF1<0,-1)，(1,+SKIPIF1<0)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减.【题型1幂函数的概念、解析式】【方法点拨】(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1.(2)对于幂函数过已知的某一点，求幂函数解析式问题：先设出幂函数的解析式y＝xα(α为常数)，再将已知点代入解析式，求出α，即可得出解析式.【例1】（2022春•杨陵区校级期末）现有下列函数：①y＝x3；②y=(12)x；③y＝4x2；④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2；⑥y＝x；⑦y＝ax（A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】由题意，利用幂函数的定义，得出结论．【解答过程】解：∵形如y＝xα（α为常数）的函数叫做幂函数，∴①y＝x3、⑥y＝x是幂函数，故①⑥满足条件；而②y=(12)x、⑦y＝ax（a＞1）是指数函数，故②⑦不满足条件；显然，③y＝4x2、④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2不是幂函数，故③④⑤不满足条件；故其中幂函数的个数为【变式1-1】（2021秋•阳春市校级月考）已知幂函数y＝f（x）的图象过点(3，3)，则fA．﹣2 B．1 C．2 D．4【解题思路】设幂函数的解析式为f（x）＝xα，代入点可求α的值，从而可求f（4）的值．【解答过程】解：设幂函数的解析式为f（x）＝xα，因为幂函数y＝f（x）的图象过点(3，3)，所以3α=3，解得α=12．所以f（x）=x，f（【变式1-2】（2022春•榆林期末）下列函数是幂函数的是（）A．y＝2x B．y＝x2﹣1 C．y＝x3 D．y＝2x【解题思路】由题意，利用幂函数的定义，得出结论．【解答过程】解：根据形如y＝xα（α为常数）的函数为幂函数，由选项可知，C符合．故选：C．【变式1-3】（2022春•广陵区校级月考）若幂函数f（x）＝xa的图象经过点(2，316)，则函数A．f(x)=x43 B．f(x)=x13 C【解题思路】由题意，利用幂函数的定义和性质，用待定系数法求出它的解析式．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝xa的图象经过点(2，∴2a=316=234，解得a=【题型2幂函数的定义域、值域】【方法点拨】根据幂函数的解析式，可以将分数指数幂化成根式形式，依据根式有意义求定义域，再根据定义域来求幂函数的值域.【例2】（2021秋•房山区期末）下列函数中，值域是R的幂函数是（）A．y=x13 B．y=(13)x 【解题思路】由题意，利用幂函数、指数函数的单调性和值域，得出结论．【解答过程】解：在R上，函数y=x13=3由于函数y=(13)x的值域为（0，由于函数y=x23=3x2的值域为由于函数y=(23)x的值域为（0，+∞【变式2-1】（2021秋•吕梁期末）已知幂函数f（x）的图象过点(2，2)，则fA．R B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）【解题思路】先利用待定系数法求出函数f（x）的解析式，从而得到f（x）的定义域．【解答过程】解：设f（x）＝xα，因为f（x）的图象过点(2，2)，所以2则f(x)=x，所以f（x）的定义域为[0，+∞），故选：C【变式2-2】（2021秋•广南县校级期中）已知幂函数f（x）＝xα的图象过点(2，12)，则函数A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，+∞）【解题思路】根据幂函数的图象过点（2，12【解答过程】解：∵2α=12=2﹣1，解得α＝﹣1，∴f（x故函数的值域是：（﹣∞，0）∪（0，+∞），故选：C．【变式2-3】（2021秋•天山区校级期中）若幂函数y=(m2−2m−2)x−m2+m+3的定义域为{x∈A．﹣1≤m≤3 B．m＝﹣1或m＝3 C．m＝﹣1 D．m＝3【解题思路】根据函数y是幂函数得出m2﹣2m﹣2＝1，求出m的值再验证是否满足定义域为{x∈R|x≠0}即可．【解答过程】解：函数y=(m2−2m−2)x−m2+m+3是幂函数，则m2即m2﹣2m﹣3＝0，解得m＝3或m＝﹣1；当m＝3时，﹣m2+m+3＝﹣3，幂函数y＝x﹣3的定义域为{x∈R|x≠0}，满足题意；当m＝﹣1时，﹣m2+m+3＝1，幂函数y＝x的定义域为R，不满足题意；所以m的值是3．故选：D．【题型3幂函数的图象】【方法点拨】根据一般幂函数的图象特征，对所给的幂函数解析式或图象进行分析，即可得解；温馨提示：①若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

②无论SKIPIF1<0为何实数，幂函数的图象最多只能出现在两个象限内，且一定经过第一象限，一定不经过第四

象限.【例3】（2021秋•成都校级期中）幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）A．a＞b＞c＞d B．d＞b＞c＞a C．d＞c＞b＞a D．b＞c＞d＞a【解题思路】根据幂函数的性质结合函数的图象判断即可．【解答过程】解：由图象得：b＞c＞d＞a，故选：D．【变式3-1】（2021秋•凉山州期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（）A．y＝x3 B．y＝x2 C．y＝x D．y=【解题思路】由题意，根据①对应的幂函数图象是上凸型的，故有幂指数α∈（0，1），从而得出结论．【解答过程】解：由于①对应的幂函数图象是上凸型的，故有幂指数α∈（0，1），故选：D．【变式3-2】（2021秋•湖北期末）幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y＝f（x）的图象是（）A．B． C．D．【解题思路】设出函数的解析式，根据幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象．【解答过程】解：设幂函数的解析式为y＝xa，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），∴2＝4a，解得a=12，∴y=x，其定义域为[0，当0＜x＜1时，其图象在直线y＝x的上方．对照选项．故选：C．【变式3-3】（2021秋•徐汇区校级期中）如图是幂函数y＝xα的部分图像，已知α分别取13、3、﹣3、−13这四个值，则与曲线C1、C2、C3、C4A．3，13，−13，﹣3 B．﹣3，−13C．−13，3，﹣3，13 D．3，13，【解题思路】根据幂函数的图象与性质：图象越靠近x轴的指数越小，即可判断出．【解答过程】解：根据幂函数的图象与性质，当x＞1时，图象越靠近x轴的指数越小，因此相应于曲线C1、C2、C3、C4相应的α依次为3，13，−13，﹣3【题型4比较幂值的大小】【方法点拨】(1)直接法：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较.

(2)转化法：当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小.

(3)中间量法：当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的.【例4】（2021秋•岳阳期中）设a=(34)12，b=(A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a【解题思路】先判断b＞1，再化a、c，利用幂函数的性质判断a、c的大小．【解答过程】解：a=(34)12=(916且0＜827＜916＜1，函数y=x1所以c＜a；综上知，c＜a＜b．故选：A．【变式4-1】（2021秋•武昌区校级期末）已知幂函数y＝xa的图象过点(3，19)，则下列两函数的大小关系为：（x2﹣2x+4）a（）（A．≤ B．≥ C．＜ D．＞【解题思路】幂函数y＝xa的图象过点(3，19)，解得a＝﹣2，从而（x2﹣2x+4）a﹣（﹣3）a＝[（x﹣1）2+3]﹣【解答过程】解：幂函数y＝xa的图象过点(3，19)，∴3a=19∴（x2﹣2x+4）a﹣（﹣3）a＝[（x﹣1）2+3]﹣2−19≤0．∴（x2﹣2x+4）a≤（﹣3）a【变式4-2】（2021•湖北开学）若a=(2)25，b=325，A．a＞b＞c＞d B．b＞a＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞b＞d＞c【解题思路】由题意根据幂函数的单调性，得出结论．【解答过程】解：∵a=(2)25，b=325，3＞2＞12＞13，∴b＞a＞c【变式4-3】（2021秋•香坊区校级期中）三个数a＝0.32，b＝1.90.3，c＝20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解题思路】利用幂函数和指数函数的单调性即可求解．【解答过程】解：∵幂函数y＝x0.3在（0，+∞）上为增函数，∴20.3＞1.90.3＞1.90，即c＞b＞1，∵a＝0.32＜0.30＝1，∴c＞b＞a，故选：B．【题型5利用幂函数的性质求参数】【方法点拨】①根据所给函数解析式是幂函数，可列式求出参数的值；②结合幂函数的单调性或奇偶性，进行分析，得出满足条件的参数值.【例5】（2021秋•张掖期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m﹣4）•xm在（0，+∞）上单调递减，则m＝（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1【解题思路】由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣4m﹣4）•xm在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣4m﹣4＝1，且m＜0，求得m＝﹣1，故选：C．【变式5-1】（2022春•延吉市校级期末）若函数y=(m2−3m+3)xm2+2m−4为幂函数，且在（A．0 B．1或2 C．1 D．2【解题思路】利用幂函数的定义和性质列方程组，能求出m．【解答过程】解：∵函数y=(m2−3m+3)xm2∴m2−3m+3=1m2+2m−4＜0【变式5-2】（2021秋•凌河区校级期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm2+m−2在（0，+∞）上是减函数，则f（A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【解题思路】由题意利用幂函数的定义和性质可得m2﹣2m﹣2＝1，且m2+m﹣2＜0，由此求得m的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（m）的值．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm2+m−2在（0，+∞）上是减函数，则m2﹣2m﹣2＝1，且m2+m﹣2＜0，求得m＝﹣1，故f（x）＝x﹣2=1x2，故f（m）＝f（﹣故选：C．【变式5-3】（2021秋•广陵区校级月考）幂函数f（x）＝（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为（）A．﹣2 B．0或2 C．0 D．2【解题思路】根据幂函数的定义和性质求解．【解答过程】解：由题意可知m2﹣2m+1＝1，解得m＝0或2，又∵幂函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴2m﹣1＞0，∴m＝2，故选：D．【题型6利用幂函数的性质解不等式】【方法点拨】利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下:(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性、奇偶性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用.【例6】（2021秋•安徽期中）已知幂函数f（x）的图象经过点（13，9），且f（a+1）＜f（2），则aA．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣3，1） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【解题思路】由条件先求出f（x）的解析式，显然f（x）为偶函数，所以有f（a+1）＝f（|a+1|），从而不等式转化为f（|a+1|）＜f（2），借助f（x）在（0，+∞）的单调性可得a的取值范围．【解答过程】解：设f（x）＝xα，因为图象过（13，9），所以（13）α＝9，所以α＝﹣故f（x）=1x2，因为f（x）为偶函数，所以f（a+1）＝f（|a+1|），所以由f（a+1）＜f得f（|a+1|）＜f（2），当x≥0时，f（x）为减函数，所以|a+1|＞2，解得a＜﹣3或a＞1，即a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），故选：D．【变式6-1】（2021秋•迎江区校级期中）已知f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则满足f（a﹣1）＞1的实数a的范围为（）A．（﹣∞，0） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【解题思路】先由幂函数的定义和性质求出m的值，得到函数f（x）的解析式，再解不等式即可．【解答过程】解：由幂函数的定义可知m2﹣2m﹣7＝1，解得m＝﹣2或4，又∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m﹣2＞0，∴m＝4，∴f（x）＝x2，由f（a﹣1）＞1可得（a﹣1）2＞1，∴a﹣1＜﹣1或a﹣1＞1，∴a＜0或a＞2，即实数a的范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞），故选：D．【变式6-2】（2021秋•江苏月考）已知幂函数f（x）＝xα（α∈R）的图象经过点(12，4)，且f（a+1）＜f（A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞） D．（﹣4，2）【解题思路】根据已知条件可求出α的值，得到函数f（x）的解析式，再利用函数f（x）的奇偶性和单调性求解．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝xα（α∈R）的图象经过点(12，4)，∴4=(12)∴f（x）＝x﹣2=1x2，∴函数f（x）是偶函数，在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞∵f（a+1）＜f（3），∴|a+1|＞3，解得：a＜﹣4或a＞2，即a的取值范围为（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．故选：C．【变式6-3】（2021秋•雁塔区校级期中）已知f（x）=(m2−2m−7)xm−23是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则满足f（a﹣A．（﹣∞，0） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【解题思路】由幂函数的定义先求出m的值，得到函数f（x）的解析式，进而得到函数f（x）的单调性和奇偶性，根据函数的单调性和奇偶性求出满足f（a﹣1）＞1的实数a的范围即可．【解答过程】解：∵f（x）=(m2−2m−7)xm−23∴m2−2m−7=1m−23＞0，解得m＝4，∴f（∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又∵f（﹣1）＝f（1）＝1，f（0）＝0，∴由f（a﹣1）＞1可得：a﹣1＜﹣1或a﹣1＞1，解得a＜0或a＞2，∴实数a的范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞），故选：D．专题3.3幂函数-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022春•无锡期末）已知幂函数y＝f（x）的图像过点(2，22)，则A．−14 B．14 C．﹣4 【解题思路】设出函数的解析式，代入点的坐标，求出函数f（x）的解析式，求出函数值即可．【解答过程】解：令f（x）＝xα，将点(2，22)代入函数的解析式得：2α=故f（x）=x−12，f（16）2．（3分）（2022春•爱民区校级期末）已知幂函数f（x）＝k•xα（k∈R，α∈R）的图象经过点(4，12)，则A．12 B．1 C．32 D【解题思路】由幂函数f（x）＝k•xα（k∈R，α∈R）的图象经过点(4，12)，得k=14α=1【解答过程】解：幂函数f（x）＝k•xα（k∈R，α∈R）的图象经过点(4，∴k=14α=12，解得k＝1，α=−12，∴k3．（3分）（2021秋•新乡期末）已知幂函数f（x）＝（3m2﹣11）xm在（0，+∞）上单调递减，则f（4）＝（）A．2 B．16 C．12 D．【解题思路】由题意，利用幂函数的定义，用待定系数法求出函数的解析式，可得要求函数的值．【解答过程】解：由题意得，3m2﹣11＝1，且m＜0，解得m＝﹣2，所以f（x）＝x﹣2，故f（4）＝4﹣2=116，故选：4．（3分）（2021秋•渝中区校级期末）“m2+4m＝0”是“幂函数f(x)=(m3−A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】由题意利用幂函数的定义和性质，求得幂函数f（x）中m的值，解m2+4m＝0，求得m值，利用充要条件的定义即可判断答案．【解答过程】解：∵幂函数f(x)=(m∴m3﹣m2﹣20m+1＝1，且m−23为偶数，求得m＝﹣4，由m2+4m＝0，解得m＝0或﹣4故由“m2+4m＝0”不能推出“幂函数f(x)=(m3−由“幂函数f(x)=(m3−m2−20m+1)xm−23为偶函数”能够推出故“m2+4m＝0”是“幂函数f(x)=(m3−m25．（3分）（2022春•凭祥市校级月考）幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为（）A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．﹣3【解题思路】依据题意根据幂函数的性质列出关于实数m的方程即可求得实数m的值．【解答过程】解：因为f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣2是幂函数，故m2﹣2m﹣2＝1，解得m＝3或﹣1，又因为幂函数在（0，+∞）上单调递减，所以需要m﹣2＜0，则m＝﹣1．故选：A．6．（3分）（2021春•金台区期末）已知a=243，b=A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解题思路】利用幂函数的单调性直接求解．【解答过程】解：∵a=243=423＞b=323，c=25127．（3分）（2021•博野县校级开学）函数y＝x，y＝x2和y=1①如果1a＞a＞a2，那么0＜a＜1；②如果③如果1a＞a2＞a，那么﹣1＜a＜0；④如果a其中正确的是（）A．①④ B．① C．①② D．①③④【解题思路】先求出三个函数图象的交点坐标，再结合图象判断即可．【解答过程】解：易知函数y＝x，y＝x2和y=1x的图象交点坐标为（1，函数y＝x与y=1x的图象还有一个交点（﹣1，﹣1），当三个函数的图象依y=1x，y＝x，y＝x2次序呈上下关系时，0＜x＜当三个函数的图象依y＝x2，y＝x，y=1x次序呈上下关系时，﹣1＜x＜0或x＞1，故由于三个函数的图象没有出现y=1x，y＝x2，y＝x次序的上下关系，故当三个函数的图象依y＝x2，y=1x，y＝x次序呈上下关系时，x＜﹣1，故④正确，所以正确的有故选：A．8．（3分）（2021秋•镜湖区校级期中）已知幂函数y＝f（x）图象过点(2，A．f（x）在（0，+∞）上单调递减 B．f（x）既不是奇函数也不是偶函数 C．f（x）的值域为[0，+∞） D．f（x）图象与坐标轴没有交点【解题思路】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再利用幂函数的性质解题．【解答过程】解：设幂函数f（x）＝xα（α为常数），∵幂函数y＝f（x）图象过点(2，∴2α=22，∴α=−12，∴幂函数f（x∴幂函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以选项A正确，∵幂函数f（x）＝x−12=1x的定义域为（∴幂函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数，所以选项B正确，∵x＞0，∴1x＞0，∴幂函数f（x）＝x−12=∵幂函数f（x）＝x−12=1x的定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），所以f（x二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021秋•光明区期末）已知幂函数f（x）＝（m﹣2）xm，则（）A．m＝3 B．定义域为[0，+∞） C．（﹣1.5）m＜（﹣1.4）m D．f(2)【解题思路】由题意，利用幂函数的定义和性质，得出结论．【解答过程】解：对于幂函数f（x）＝（m﹣2）xm，应有m﹣2＝1，求得m＝3，可得f（x）＝x3，故A正确；由于它的定义域为R，故B错误；由于函数f（x）是R上的增函数，﹣1.5＜﹣1.4，∴（﹣1.5）3＜（﹣1.4）3，故C正确；由于f(2)=8=22，故D10．（4分）（2022秋•泉州期中）已知幂函数y＝xα的图象如图所示，则a值可能为（）A．13 B．12 C．15 【解题思路】根据幂函数的图象特征得出0＜α＜1，且为奇函数，求出得出a的可能取值．【解答过程】解：根据幂函数y＝xα的图象在第一象限内是单调增函数，且关于原点对称，通过与直线y＝x的图象比较知，0＜α＜1，且幂函数为奇函数；所以由选项知，a值可能为13和15．故选：11．（4分）（2021秋•宝应县期中）已知幂函数f(x)=(m+9A．f(−32)=1B．f（x）的定义域是R C．f（x）是偶函数 D．不等式f（x﹣1）≥f（2）的解集是[﹣1，1）∪（1，3]【解题思路】先利用幂函数的定义求出m的值，得到函数f（x）的解析式，可判定选项A，B的正确，利用偶函数的定义判定选项C的正误，利用函数f（x）的奇偶性和单调性解选项D的不等式．【解答过程】解：幂函数f(x)=(m+95)xm，∴m+9∴f（x）=x−45，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∵f（﹣32）=(−32)−4f（x）=x−45=15x4，定义域（﹣∞，又∵f（﹣x）=15(−x)4=15x4=∵f（x）=x−45，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，在（不等式f（x﹣1）≥f（2）等价于f（|x﹣1|）≥f（2），∴x−1≠0|x−1|≤2解得：﹣1≤x＜1，或1故选项D正确，故选：ACD．12．（4分）（2021秋•峨山县校级期中）已知函数f(x)=(m2−m−1)xm2+m−3是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−A．a+b＞0，ab＜0 B．a+b＜0，ab＞0 C．a+b＜0，ab＜0 D．a+b＞0，ab＞0【解题思路】利用幂函数的性质推导出f（x）＝x3，从而求得f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2），然后检验各个选项是否正确．【解答过程】解：∵函数f(x)=(m2−m−1)xm2+m−3是幂函数，∴m2﹣m﹣1＝1，求得m＝对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x∴m2+m﹣3＞0，∴m＝2，f（x）＝x3．若a，b∈R，且f（a）+f（b）＝a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）的值为负值．若A成立，则f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＞0，不满足题意；若B成立，则f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝（a+b）[(a−b2)若C成立，则f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＜0，满足题意；若D成立，则f（a）+f（b）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝（a+b）[(a−b2)故选：BC．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022•宣城开学）已知幂函数f（x）的图象过点（2，14），则f（7）＝17【解题思路】根据幂函数的一般解析式y＝xa，因为其过点（2，14），求出幂函数的解析式，从而求出f（7【解答过程】解：∵幂函数的一般解析式y＝xa，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，14），∴14=2a，解得a＝﹣2，∴y＝x∴f（7）＝（7）﹣2=17，故答案为：14．（4分）（2021春•浙江月考）已知幂函数f（x）＝xα满足f（3）=33，则该幂函数的定义域为（0，+∞【解题思路】根据幂函数f（x）＝xα满足f（3）=33，可求出α，然后根据偶次方根被开发数大于等于0，分式分母不等于0，求法f（【解答过程】解：因为幂函数f（x）＝xα满足f（3）=33，所以f（3）＝3α=33所以f（x）=x−12=1x，该幂函数的定义域为（0，+15．（4分）（2022秋•辽宁月考）当x∈（0，+∞）时，幂函数y=(m2−m−1)xm2−2m−3【解题思路】利用幂函数的定义与性质列出不等式组，求解即可．【解答过程】解：∵当x∈（0，+∞）时，幂函数y=(m∴m2−m−1=1m2−2m−3＜0，16．（4分）（2021秋•宛城区校级月考）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）•xm+1为奇函数，则不等式f（2x﹣3）+f（x）＞0的解集为（1，+∞）．【解题思路】根据已知条件和幂函数的定义，指数为奇数，系数为1，列方程可求得m的值，再根据f（x）的单调性与奇偶性，脱去f，求得不等式的解集即可．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）•xm+1为奇函数，∴m2﹣3m+3＝1且m+1为奇数；解得m＝2；∴f（x）＝x3，且f（x）在R上为增函数；由不等式f（2x﹣3）+f（x）＞0，∴f（2x﹣3）＞﹣f（x）；不等式⇔f（2x﹣3）＞f（﹣x）；不等式⇔2x﹣3＞﹣x；∴x＞1．所以不等式的解集为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022春•玉林月考）已知幂函数y＝（m2﹣m﹣1）xm【解题思路】首先运用幂函数的定义求出m的值，在根据幂函数求定义域．【解答过程】解：由幂函数定义可得m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1．当m＝2时，幂函数为y＝x﹣3，且x≠0，当m＝﹣1时，幂函数为y＝x0，且x≠0，故定义域都是{x|x≠0}．18．（6分）（2021秋•黄浦区校级期中）已知幂函数y＝f（x）经过点（4，18（1）求此幂函数的表达式和定义域；（2）若f（a+2）＜f（3﹣2a），求实数a的取值范围．【解题思路】（1）由题意利用待定系数法求出幂函数的解析式，可得它的定义域．（2）由题意利用幂函数的定义域和单调性，求得a的范围．【解答过程】解：（1）设幂函数y＝f（x）＝xα，∵它的经过点（4，18∴4α=18，∴α=−32，∴f（x）=x（2）由于函数f（x）在其定义域（0，+∞）上单调递减，故由f（a+2）＜f（3﹣2a），可得a+2＞解得13＜a＜32，故不等式的解集为（19．（8分）（2021秋•南关区校级期中）已知函数y=x（1）求定义域；（2）判断奇偶性；（3）已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．【解题思路】根据幂函数的性质分别求出函数的定义域和奇偶性．【解答过程】解：（1）∵函数y=x23=3（2）∵f（﹣x）=3(−x)2=（3）∵函数y=x∴函数图象关于y轴对称，且（﹣∞，0]为减函数，[0，+∞）为增函数，对应