2024-2025学年浙教版七年级数学上册专项复习：绝对值的化简7大压轴题（解析版）

绝对值的化简

目录

解题知识必备....................................................................1

压轴题型讲练....................................................................2

类型一、根据数轴位置化简绝对值................................................................2

类型二、根据字母取值范围化简求值..............................................................3

类型三、利用非负性化简绝对值..................................................................4

类型四、定义新运算的绝对值化简................................................................5

类型五、绝对值方程.............................................................................7

类型六、分类讨论化简绝对值....................................................................9

类型七、几何意义的绝对值化简.................................................................11

压轴能力测评...................................................................15

X解题知识必备8

1.绝对值的意义

绝对值：数轴上表示数。的点与原点的距离叫做。的绝对值，记作时.

2.绝对值的性质

a,a>0

绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性同NO,即：同=0,4=0.

-a,a<0

互为相反数的两个数绝对值相等.

3.绝对值与数的大小

1）正数大于0,0大于负数.

2）理解：绝对值是指距离原点的距离.

所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大.

♦♦压轴题型讲练”

类型一、根据数轴位置化简绝对值

例1.如图，将实数a、6表示在数轴上，则下列等式成立的是()

-----1--------1---1----->

a0b

A.\a\=aB.\b\=—bC.\b-a\=b-aD.\a+b\=ab

【答案】C

【分析】本题考查数轴上点的特点；熟练掌握绝对值的意义和数轴上点的特征是解题的关键.

a<0,b>0,\a\>\b\,^\b-a>0,a+b<0,；结合选项即可求解.

【详解】解：从图可知avo,6>o,\a\>\b\

：.b-a>0,a+b<0,\a\=—a,网=b,故A、B错误；

••\b-a\=b—a,\a+b\=—a—b,故C正确，D错误，

故选C.

变式有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简|a+c|—|a-b|—

]___।__।___।.

abQc

【答案】-2c

【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出a<b<0<c,|b|<|c|<

|a|,从而得到a+c<0,a-b<0,c-b>0,再根据绝对值的性质化简即可.

【详解】解：由数轴可得：a<b<0<c,|b|<|c|<|a|,

•••a+c<0,a—b<0,c—b>0,

|a+c|—|a—b|—|c—b|

=­a—c+(a—b)—(c—b)

=­a—c+a—b—c+b

=-2c.

变式1-2.已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b-c|—|a—b|+2b.

I1I_____I>

baQc

【答案】2c+2b

【分析】

此题考查绝对值，关键是根据数轴和绝对值化简解答.先根据各点在数轴上的位置，确定它们所表示的数

的和的大小关系，再根据有理数的加减法法则判断正负，利用绝对值的意义化去绝对值符号，加减得结论.

【详解】解：由数轴可得：c>0>a>b,

•••a+c>0,b—c<0,a—b>0,

・•・|a+c|+|b-c|-|a-b|+2b=a+c+c-b-(a-b)+2b

=a+c+c—b—a+b+2b

=2c+2b.

类型二、根据字母取值范围化简求值

例2.已知9WaW10,3<b<4,代数式|x—a|+的最小值为.

【答案】5

【分析】本题考查绝对值的几何意义，理解|x—a|+|x—b|的几何意义是数轴上一点到点a和点b的距离之和

是解题关键.

根据|x—a|+|x—b|的几何意义是数轴上一点到点a和点b的距离之和，结合9<a<10,3<b<4计算求

值.

【详解】解：|x—a|+|x—b|的几何意义是数轴上一点到点a和点b的距离之和，

•••9<a<10,3<b<4,

.•.当4<x<9时，|x-a|+|x-b|的最小是9-4=5,

故答案为：5.

变式2-1.若3<a<10,那么|3—可+|a—10|=.

【答案】7

【分析】首先根据a的取值范围确定3—a和a-10的符号，然后去绝对值计算即可.

【详解】解：•♦•3<a<10,

3—a<0,a—10<0,

•e•|3—a|+|a-10|=a—3+10—a=7,

故答案为:7.

【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题关键是确定绝对值里面的代数式的符号.

变式2-2.已知有理数a<—1,则化简|a+l|+|l—可的结果是.

【答案】-2a

【分析】先根据已知条件判断每个绝对值里边的代数式的值是大于0还是小于0,再根据绝对值的性质去掉

绝对值符号，最后去括号，合并同类项即可.

【详解】

•••a+1<0,1-a>0,

|a+11+11-a|

=(-a-1)+(1-a)

=-a-1+1-a

=-2a,

故答案为：-2a.

【点睛】本题考查了绝对值和相反数的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝

对值还是0,掌握以上知识是解题的关键.

类型三、利用非负性化简绝对值

例3.若〃、b、c是整数，且+c|=1,则|Q—c|=.

【答案】1

【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝

对值的非负性以及题意，可知当|a+b|=0时，则|b+c|=L当|a+b|=l时，则|b+c|=0,分类讨论计

算即可.

【详解】解：•・F、b、c是整数，

a+b,b+c是整数，

v|a+b|+|b+c|=1,

又•・,|a+b|>0,|b+c|>0,

・•・|a+b|=0时,则|b+c|=1或|a+b|=1时，则|b+c|=0,

・•・当a+b=0,b+c=1时，

则a=—b,c=1—b,

|a—c|=|—b—1+b|=1；

当a+b=0,b+c=—1时，

则a=—b,c=—1—b,

|a—c|=|—b+1+b|=1；

・•・当a+b=1,b+c=0时，

则a=1—b,c=—b,

|a—c|=|1—b+b|=1

・•・当a+b=—1,b+c=0时，

则a=—1—b,c=—b,

*',|a_c|=|-1-b+b|=1,

综上可得：|a—c|=1,

故答案为：1.

变式3・1.已知整数％、y、z满足—+忆一％|3=i,则|%—z|一忆一yl—|y—的值为.

【答案】0或—2

【分析】本题考查了绝对值的意义，整数的意义，分类计算即可.

【详解】vlx-yl2+|z-x|3=1,且整数x、y、z,

.,.x—y=0,z—x=1或x—y=l,z—x=0,或x—y=—l,z—x=0

•••|x-z|—|z—y|—|y—x|=1-1-0=0；

或|x一z|一|z—y|一|y—x|=0—1—1=-2；

或|x一z|一|z—y|一|y—x|=0—1—1=—2；

综上，|x—2|一忆一丫|一卜一乂|的值为0或一2.

故答案为：0或—2.

变式3・2.已知m,几，p为有理数，若|zn—7i+p|=瓶+九+p,且九。0,则|租+几+p+4|—|—2—川的

值为.

【答案】2

【分析】由题意得m+p=0,n>0,得|m+n+p+4|—|—2—n|=n+4—2—n=2.

【详解】解：|m—n+p|=m+n+p,且nW0,

m+p=0,|—n|=n>0,

m+n+p+4=n+4>0,—2—n<0,

•••|m+n+p+4|—|-2—n|=n+4—(2+n)=n+4—2—n=2,

故答案为：2.

【点睛】此题考查了绝对值性质的应用能力，解题关键是根据绝对值性质的得出m+p=0,

|—n|=n>0,从而得出m+n+p+4=n+4>0,—2—n<0.

类型四、定义新运算的绝对值化简

例4.数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如,1—亚|在数轴上表示数尤I，*2对应的点之间的

距离.现定义一种“以运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和.例如：对

-1,1,2进行“H运算”，得|一1一1|+|一1一2|+|1-2|=6.下列说法：

①对—1进行“H运算”的结果是3,则小的值是一4；

②对九，-3,5进行“H运算”的结果是16,则ri的取值范围是一3<n<5；

③对a,a,b,c进行“H运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式.

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】本题考查了绝对值的意义及化简，根据“H运算”的定义及绝对值的性质逐项运算即可判断求解，掌

握绝对值的意义及性质是解题的关键.

【详解】解：①•••对m,—1进行“H运算”的结果是3,

••・|m+1|=3,

•••m=2或m=-4,故①错误；

②•.•对n,—3,5进行“H运算”的结果是16,

.'.|n-(-3)|+|n—5|+|—3—5|=16,

•■•|n—(—3)|+|n—5|=8,

即数n对应的点到一3和5对应的点的距离之和等于8,

•■•5-(-3)=8,

.•.数n在—3和5之间，且可以和一3、5重合,

.■--3<n<5,故②错误；

③对a,a,b,c进行“H运算”得，

|a—a|+|a—b|+|a—c|+|a—b|+|a—c|+|b—c|=2|a—b|+2|a—c|+|b—c|,

当a>b>c时,原式—2a—2b+2a—2c+b—c—4a—b—3c；

当a>c>b时,原式—2a—2b+2a—2c+c—b=4a—3b—c；

当b>a>c时,原式—2b—2a+2a—2c+b—c=3b—3c；

当b>c>a时,原式—2b—2a+2c—2a+b—c=—4a+3b+c；

当c>a>b时,原式——2a—2b+2c—2a+c—b———3b+3c；

当c>b>a时,原式2b—2a+2c—2a+c—b=—4a+b+3c；

•••化简后的结果可能存在6种不同的表达式，故③正确;

・•・正确的个数是1个,

故选：B.

变式4-1.在多项式a—b—c—d(a<6<c<d<0)中，先将其中任意两个减号变为加号，再对相邻的两

个字母间任意添加绝对值符号(不存在添加双重绝对值的情况)，然后进行去绝对值运算，称此为“双加绝

对操作”，例如：\a-b\+c+d=-a+b+c+d,|a+—|c+矶=—a—b+c+d…下列说法中正确的

有()

①存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；

②存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；

③所有“双加绝对操作”共有7种不同的结果.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】本题考查了化简绝对值.熟练掌握化简绝对值是解题的关键.

由题意知,a—b—c—d(a<b<c<d<0)先将其中任意两个减号变为加号，有a+b+c—d,a+b—c+d,

a-b+c+d,然后进行“双加绝对操作”，化简绝对值，进行判断作答即可.

【详解】解：由题意知，a—b—c—d(a<b<c<d<0)先将其中任意两个减号变为加号，有

a+b+c—d,a+b—c+d,a—b+c+d,

①a+b+c—d"双加绝对操作"后|a+b|+c—d=—a—b+c—d,|a+b|+|c—d|=—a—b—c+d,

a+|b+c|—d=a—b—c—d,a+b+|c—d|=a+b—c+d；

②a+b—c+d"双加绝对操作”后|a4-b|—c+d=—a—b—c+d,|a+b|—|c4-d|=—a—b+c+d,

a+|b—c|+d=a—b+c+d,a+b—|c+d|=a+b+c+d；

③a—b+c+d”双加绝对操作"后|a-b|+c+d=-a+b+c+d,|a-b|+|c4-d|=-a+b-c-d,

a—|b+c|+d=a+b+c+d,a—b+|c+d|=a—b—c—d；

当a+|b+c|—d=a—b—c—d时，运算结果与原多项式相等，①正确，故符合要求；

当|a—b|+c+d=—a+b+c+d时，其运算结果与原多项式之和为0,②正确，故符合要求；

所有“双加绝对操作”共有9种不同的结果，③错误，故不符合要求；

故选：C.

变式4-2.在多项式a—b+c—d+e（其中a>b>c>d>e>0）中，任意添加绝对值符号且绝对值符号

内至少包含两项（不可绝对值符号中含有绝对值符号），添加绝对值符号后仍只有加减法运算，然后进行去

绝对值符号运算，称此运算为“对绝操作\a-b+c\+\-d+e\=a-b+c+d-e,a-b+\c-d\

+e=a—b+c—d+e...,下列说法正确的个数是（）

①存在，，对绝操作，,，使其运算结果与原多项式之和为0；

②共有8种“对绝操作”，使其运算结果与原多项式相等；

③所有的“对绝操作”共有7种不同运算结果.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】本题考查新定义题型及绝对值计算和分类讨论思想的应用，根据题目所给的定义，举出符合条件

的代数式进行情况讨论求解即可得到答案

【详解】解：由题意可得，

va>b>c>d>e>0,

・•.a去绝对值操作后还是它本身，

二不存在“对绝操作”，使其运算结果与原多项式之和为0,故①错误，

存在|a—b+c—d+e|,|a—b|+c—d+e,a—b+|c—d+e|,a—b+|c—d|+e,|a—b+c|—d+e,

|a—b+c—d|+e,|a-b|+|c—d|+e,|a—b|+|c—d+e|8种情况使其运算结果与原多项式相等，故②

正确，

总共有：a—b+c—d+e,a+b—c—d+e,a—b+c+d—e,a+b—c+d—e,a+b—c+d+e,

a—b+c+d—e6种结果，故③错误，

B故选:.

类型五、绝对值方程

例5.适合|3a+7|+|3a—5|=12的整数a的值有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】本题考查解绝对值方程，|3a+7|+|3a-5|可理解为3a到一7和5的距离的和，由此可得出3a的值，

进而可得出答案.

【详解】解：|3a+7|+|3a-5|=|3a-（-7）|+|3a-5|=12,

该方程表示3a到一7和5的距离的和为12,

5—(—7)=5+7=12,

—7V3a<5♦

二整数a的值有-2,-1,0,1,共4个，

故选C.

变式5-1.若方程|x+2|+|—%—4|=小无解，则加的取值范围是()

A.m>2B.m>2C.—4<m<—2D.m<2

【答案】D

【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是注意分类讨论.分三种情况：当x<-4时，当

—4WxW—2时，当x>—2时，分别求出m的范围，即可得出答案.

【详解】解：当x<—4时，原方程可变为：一x—2—x—4=m,

即m=—2x—6,

;此时—2x—6>2,

.,.当mW2时，方程无解；

当一4WXM—2时，原方程可变为：-x—2+x+4=m,

即m=2,

二当m力2时,方程无解；

当x>—2时，原方程可变为：x+2+x+4=m,

即m=2x+6,

:此时m>2,

二当mW2时，方程无解；

综上分析可知：当m<2时，方程无解；

故选：D.

变式5-2.若关于x的方程|x—3|—比一5|=a有唯一解，贝必的取值范围是.

【答案】-2WaW2

【分析】分别讨论当x>5时，当x<3时，当3WxW5时，方程的解的情况，然后找到符合题意的的情况进

行求解即可.

【详解】解：当x>5时，

•­,|x—3|—|x—5|=a,

・•.X—3—(x—5)=a,即a=—8,

此时方程有无数解，不符合题意；

当x<3时，

•­•|x—3|—|x—5|=a,

:3一x—(5—x)=a,BPa——2,

此时方程有无数解，不符合题意；

当3WxW5时,

••,|x—3|—|x—5|=a,

•••x-3-(5-x)=a,即x=等，

此时方程有唯一解，符合题意；

••.3W等W5,

解得一2<a<2,

故答案为：-2WaW2.

【点睛】本题主要考查了绝对值方程，解题的关键在于能够根据题意讨论x的取值范围进行去绝对值进行

求解.

变式5-3.已知a,6,c都为整数,K|a-d|2012+|c-a|2013=1,则方程因=x+|a—b|+|a—c|+—c|

的解为.

【答案】x=-l

【分析】本题考查了绝对值的性质，代数式求值，绝对值方程，根据题意得到|a—b|=0,|c—a|=l或

|a—b|=1,|c—a|=0,分了讨论|b—c|的值，再代入|x|=x+|a—b|+|a—c|+|b—c|中求解绝对值方

程即可.

【详解】解：由题意，|a—b|=0,|c-a|=1或|a—b|=1,|c-a|=0,

当|a—b|=0,|c—a|=l时，贝!|a=b,c—a=1,

b—c=-1,BP|b—c|=1

­,­|a—b|+|a—c|+|b—c|=2,

当|a—b|=L|c—a|=0时，贝!Ja-b=±l,c=a,

b—c=±1,即|b—c|=l,

••­|a—b|+|a—c|+|b—c|=2,

|x|=x4-2,

解得x=-1.

类型六、分类讨论化简绝对值

例6.若1<尤<2,求代数式区I1—炉+蚂=

【答案】1

【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义.根据绝对值的定义求解即

可.

【详解】解：•••1<X<2,

x—2<0,x—1>0,x>0,

|x—2|——(x—2)>|x-1|=x—1,|x|-x,

|x-2|Ix-lljxl

x—21—xx

—(x—2)x—1x

=----------------------F—

x—21—xx

=-1+1+1

=1,

故答案为：1

变式6-1.已知a为任意有理数，则|Q+3|+3|a+5|+2|q—71的最小值为.

【答案】26

【分析】|a+3|+3|a+5|+2|a—7|表示a到一3距离加上3倍a到—5的距离再加上2倍a到7的距离，由此可得

a在aV—5,—5<a<—3,—3<a<7,a>7的范围内分别求代数式的值，比较即可求解.

【详解】解：当aV-5时，

|a+3|+3|a+5|+2|a—7|

=-a—3+3(—a—5)+2(7—a)

=—a—3—3a—15+14—2a

=—6a—4>26；

当一54a工一3时，

|a+31+3|a+51+21a—71

=-a—3+3(a+5)+2(7-a)

=-a—3+3a+15+14—2a

=26；

当一3Va<7时，

|a+31+3|a+51+21a—71

=a+3+3(a+5)+2(7—a)

=a+3+3a+15+14—2a

=2a+32>26；

当a>7时,

|a+3|+3|a+5|+2|a-7|

=a+3+3(a+5)+2(a—7)

=a+3+3a+15+2a—14

=6a+4>46；

故答案为：26

【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键.

变式6-2.若ab力。，a+b^O,则㈣+塔+怨+怨=

ababa+b-----

【答案】-2或0或4

【分析】对a和b,以及a+b的正负进行分类讨论，然后去绝对值求出对应的值.

【详解】解：①当a>0,b>0时，ab>0,a+b>0,

原式=；+?+*+冬=1+1+1+1=4；

②当aV0,bV0时，ab>0,a+b<0,

原式=T+?+M+—(a+b)=-1-1+1-1=-2；

a+b

③当a>0,b<0,且a+b>0时，ab<0,

原式=；+m+F+当=1—I—1+1=0；

④当a>0,b<0,且a+b<0时，ab<0,

原式=?+x+一(a+b)

a+b

⑤当a〈0,b>0,且a+b>0时，ab<0,

原式=9+2+彳+当=—1+1—1+1=0；

⑥当aVO,b>0,且a+b<0时，ab<0,

-a一

e#,b,-ab,(a+b)=-l+l-l-l=-2.

原式="+N+』T+a+b

故答案是：-2或0或4.

【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想去化简绝对值.

类型七、几何意义的绝对值化简

例7.数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的

内在联系，它是“数形结合”的基础.我们知道，|可可以理解为|a—。］,它表示：数轴上表示数a的点到原点

的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上的两个点2、B,分别用数a、b表示，那么4B两点之

间的距离为AB=|a—川，反过来，式子|a-加的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距

离.

若数轴上点4表示数a,请回答下列问题：

(1)如果|a|=5,那么a的值是；

(2)如果|a—3|=5,那么a的值是；

(3)满足|a+2|+|a—3|=5整数a有个；

(4)如果|a+2|+|a-3|=8,那么a的值是；

(5)|a+l|+|a+2|+|a+3|+|a+4|+|a+5|的最小值是.

【答案】⑴±5；

⑵—2或8；

(3)6；

(4)—3.5或4.5；

⑸6.

【分析】(1)根据绝对值的定义求解可得；

(2)根据绝对值的定义求解可得；

(3)根据绝对值的几何意义可知，-2WaW3时，求出符合条件a的值即可；

(4)根据绝对值的几何意义进行当a<-2时和a>3时两种情况讨论即可；

(5)表示数轴上到表示-1、-2、-3、-4、-5的点的距离之和，根据两点之间线段最短和绝对值的几

何意义可知，当x=-3时值最小，然后去掉绝对值符号，再利用求和公式列式计算即可得解；

本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键.

【详解】(1)解:若|a|=5,那么a的值为5或-5,

故答案为：士5；

(2):|a—3|=5,

a—3—5a—3——5,

•••a=8或—2,

故答案为：—2或8；

(3)T|a+2|+|a—3|=5,且3—(—2)=5

—2<aV3.

・•,a是整数，

••.a的值有-2,-1,0,1,2,3,共6个，

故答案为:6；

(4)由(3)可得①当一2WaW3时，|a+2|+|a-3|=5,不符合题意；

②)当a<—2时,—a—2—a+3=8,解得：a=—3.5；

③当a>3时，a+2+a—3=8,解得：a=4.5；

故答案为：一3.5或4.5；

(5)r|a+1|+|a+2|+|a+3|+|a+4|+|a+5]的中间一项是|a+3|,

•■.a=—3时，

原式有最小值，|a+l|+|a+2|+|a+3|+|a+4|+|a+5|=2+1+0+1+2=6,

故答案为：6.

变式7-1.同学们都知道，|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所

对应的两点之间的距离.

试探索：

(1)求[5—(—2)|=.

(2)找出所有符合条件的整数x,使得|久+5|+|%-2|=7这样的整数是.

(3)由以上探索猜想对于任何有理数x,|x+3|+|x—6|是否有最小值？如果有写出最小值(请写清楚过程),

如果没有说明理由.

【答案】⑴7；

⑵一5、一4、一3、一2、-1、0、1、2；

(3)有最小值，最小值是9.

【分析】本题考查了数轴与绝对值，数轴上两点间的距离，理解用绝对值表示两点间的距离是解题的关键.

(1)根据绝对值的性质即可求解；

(2)由|x+5|+|x—2|=|x-(-5)|+|x—2|可得|x+5|+|x-2|表示x到一5的距离与x到2的距离之和,

根据2-(-5)=7即可得至ijx一定在一5至|2之间，进而可求解；

(3)由|x+3|+|x—6|=|x-(-3)|+-一6|可得慎+3|+|x—6|表示的是x到一3的距离与x到6的距离之

和，进而可得当x位于-3和6之间时，|x—(―3)|+|x—6|的值最小，即为-3到6的距离,即可求解；

【详解】(1)解：|5-(-2)|=|5+2|=7,

故答案为:7；

(2)解：•；|x+5|+|x—2|=|x—(—5)|+|x-2|,

.•.|x+5|+|x-2|表示x到一5的距离与x到2的距离之和，

•••2-(-5)=7,

・•.x一定在一5到2之间，

.•.符合条件的整数x有一5、一4、一3、一2、一1、0、1、2,

故答案为：—5、—4、—3、—2、—1、0、1、2；

(3)解：|x+3|+|x—6|有最小值，最小值是9.

理由如下：

"|x+3|+|x-6|=|x—(―3)|+|x—6|»

.•.|x+3|+|x-6|表示的是x到一3的距离与x到6的距离之和，

当x位于一3和6之间时，|x—(―3)|+|x—6|的值最小，即为一3到6的距离，

二|x+3|+|x—6|有最小值为6—(―3)=9.

变式7-2.数学实验室：定义：点4、B在数轴上分别表示有理数a,b,4B两点之间的距离表示为4B,在

数轴上4、B两点之间的距离48=\a-b\

AB

—1---------1----------------------L——

a0b

利用数形结合思想回答下列问题：

⑴数轴上表示1和一4的两点之间的距离是；

(2)若x表示一个有理数，则,一2|+|%+3|的最小值=.

(3)若x表示一个有理数，且|x++|久—3|=8,则满足条件的x的值为；

【答案】(1)5

⑵5

(3)—3或5

【分析】(1)本题考查数轴上两点之间的距离，利用数轴上A、B两点之间的距离为AB=|a—b|,即可解题.

(2)本题考查去绝对值，根据数轴上A、B两点之间的距离为AB=|a—b|,理解|x—2|表示x到2之间的距

离，理解|x+3|表示x到一3之间的距离，而|x—2|+|x+3|表示x到2之间的距离和x到一3之间的距离之和,

再分以下三类情况讨论，①x<—3,@-3<x<2,③x>2,结合绝对值的运算法则，即可解题.

(3)本题解法与(2)类似，根据题干的式子|x+l|+|x—3|=8分x的三类情况，去绝对值即可.

【详解】(1)解：4—1|=5,

故答案为:5.

(2)解：•••|x-2|+|x+3|表示x至U2之间的距离和x到一3之间的距离之和，

①当x<—3时，则|x—2|+|x+3|=2—x—x—3=-2x—1,

x<—3,

—2x>6,

•*•—2x—1>5,

②当一3WxW2时，则|x—2|+|x+3|=2—x+x+3=5,

③当x>2时，则|x—2|+|x+3|=x—2+x+3=2x+l,

x>2,

・•・2x>4,

2x+1>5,

综上所述，|x—2|+|x+3|的最小值为5.

故答案为:5.

(3)解:|x+1|+|x—3|=8表示x到一1之间的距离和x到3之间的距离之和等于8,

①当X<—1时，贝U|x++|x—3|=—X—1—x+3=—2x+2,

—2x+2=8,解得x——3,

②当一1WxW3时，贝!J|x+1|+|x—3|=x+l—x+3=4,

•••478,

•••x不能取—1WxW3,

③当x>3时，贝1］区+1|+恒_3|=*+1+*—3=2*—2,

2x—2=8,解得x=5，

综上所述，当|x++|x—3|=8时，x=—3或x=5.

故答案为：-3或5.

♦♦压轴能力测评♦♦

1.在多项式a+b+c+d中添加1个绝对值符号，使得绝对值符号内含有k(2WkW4)项，并把绝对值符

号内最右边项的“+”改为“一”，称此为“添加操作”，最后将绝对值符号打开并化简，得到的结果记为「例

如：将原多项式添加绝对值符号后，可得|a+b|+c+d,此时k=2.再将“+6”改为“一6"，可得|a—b|

+c+d.于是同一种“添加操作”得到的7有2种可能的情况：T=a-6+c+d或7=-a+b+c+d.下列

说法：①若k=4,7=0,则d=a+6+c；②共有3种“添加操作”，可能得到丁=a+b—c+d；③有且仅

有一个人值，使7中可能有2个“一”，其中正确的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本题考查了绝对值的性质，解题时注意结合分类讨论是关键.

【详解】依据题意，分别分析如下：

①k=4,即T=|a+b+c—d|=0

又0的绝对值是0,

.-.a+b+c—d=0.

.-.a+b+c=d.

二①正确.

②k=2时，T=a+|b-c|+d,则可能T=a+b—c+d,这是一种绝对操作

T=a+b+|c—d|,则可能T=a+b—c+d,这是第二种绝对操作；

k=3时,T=|a+b—c|+d,则可能T=a+b—c+d+e.这是第三种绝对操作，

・,•共有三种绝对操作故②正确：

③k=2时只有1个“一”，k=3时，有2个或1个“一”，k=4时，有3个或1个“一

・•.③正确.

故选:D.

2.在a,b,c,d,e,f,g,h中，每个字母的值恰好是一3,0,1这三个数值中的一个，若

a+b+c+d+e+/+g+h=—2,JH!]|a|+|b|+|c|+|c?|+|e|+\f\+|^|+|/i|—.

【答案】4或10

【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是分析判断5个字母的值的和为0时，这5个字母

可能是什么数.根据已知条件a,b,c,d,e,f,g,h中，每个字母的值恰好是一3,0,1这三个数值中的一个，

a+b+c+d+e+f+g+h=—2,求出其中5个字母的值的和为0,进行推导即可.

【详解】解：；413,(;石©£记,11中，每个字母的值恰好是一3,0,1这三个数值中的一个，

a+b+c+d+e+f+g+h=-2,—3+0+1=—2,

有3个字母的值分别为一3,0,1,另5个字母的值的和为0,

二这5个字母的值分别为:0,0,0,0,0或1,1,1,-3,0,

.••这8个字母的值分别为一3,0,1,1,1,1,-3,0或-3,0,1,0,0,0,0,0,

|a|+|b|+|c|+|d|+|e|+|f|+|g|+|h|=|-3|+|0|+|1|+|1|+|1|+|1|+|-3|+|0|,

=3+1+14-1+1+3,

=10；

或|a|+|b|+|c|+|d|+|e|+|f|+|g|+|h|=|-3|+|0|+|1|+|0|+|0|+|0|+|0|+|0|

=3+1,

=4；

故答案为：10或4.

3.已知|a|+a=0*=—l,|c|=c,化简：|a+26|-|c—a|+|—6—a\=..

【答案】-a-3b-c

【分析】先确定a、b、c的正负，然后再去绝对值，最后化简求值即可.

【详解】解：■•■|a|+a=0,^=-l,|c|=c,

.t.a<0,b<0,c>0

•••a+2b<0,c-a>0,-b-a>0

•••|a+2b|—|c—a|+|—b—a|="(a+2b)-(c-a)+(-b-a)=-a-2b-c+a-b-a=-a-3b-c

故答案为-a-3b-c.

【点睛】本题考查了绝对值的相关知识，牢记非负数得绝对值是它本身，负数的绝对值为其相反数，是解

答本题的关键.

4.有理数a,b,c在数轴上的对应点如图所示，化简：|b|—|c+b|+|b-a尸.

___IIII〉

cb0a

【答案】a—b+c

【详解】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号，再去绝对值符号，合并同类项即可，即可由图可知，c

<b<0<a,可求c+bVO,b-a<0,因此原式二-b+c十b+a-b=a+c-b.

故答案为a+c-b.

点评：本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键.

5.阅读下列材料并解决有关问题：

x(%>0)

0；(x=0)现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，

{—x,(x<0)

如化简代数式1%+1|+|%—2|时,可令%+1=0和%-2=0,分别求得%=—1,%=2(称一1,2分别为+1|

与氏一2|的零点值).在有理数范围内，零点值％=—1和，％=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如

下3种情况：(2)-1<%<2(3)%>2.从而化简代数式|%+1|+|%—2|可分以下3种情况：

(1)当久<—1时，原式=—(%+1)—(%—2)=-2%+1；

(2)当一14%V2时，原式=%+1—(%—2)=3；

(—2.x+1,(%〈—1),

(3)当X之2时，原式=%+1+%—2=2久一1.综上所述，原式={3,(—1<%<2),

I2%—1,(x>2).

通过以上阅读，请你解决以下问题：

(1)分别求出|%+2|和—4|的零点值;

(2)化简代数式|久+2|+|%-4|；

(3)求方程：|x+2|+|x—引=6的整数解；

【答案】(l)x=—2和x=4

(2)见解析

(3)-2,-1,0,1,2,3,4

【分析】本题考查了绝对值的化简，解题关键是“分类讨论思想”.

(1)由x+2=0,x—4=0即可求解.

(2)分三种情况讨论当x<—2时，当一2Wx<4时，当x24时化简即可.

(3)根据(2)中化简结果即可求解.

【详解】(1)解：••・医+2|=0和区一4|=0

・•・x+2=0,x—4=0

•••x=—2和x=4.

(2)当xV—2时,|x+21+|x—4|=-2x+2；

当一2<x<4时，|x+2|+|x-4|=6；

当x>4时，|x+2|+|x-4|=2x—2.

(3),.>|x+2|+|x—4|=6,

・•・—2<x<4,

整数解为：—2,—1,0,1,234.

6.(1)探索材料(填空)：

数轴上表示数冽和数〃的两点之间的距离等于|加一九|.例如数轴上表示数2和5的两点距离为|2—5|=3；

__।________।_____

AB

图1

]________I_______I____

ABC

图2

IIII

ABCD

图3

①数轴上表示数3和一1的两点距离为|3—(—1)|=_；

②则|尤+4]的意义可理解为数轴上表示数_和_这两点的距离.

(2)实际应用(填空)：

①如图1,在工厂的一条流水线上有两个加工点/和8,要在流水线上设一个材料供应点尸往两个加工点

输送材料一才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小；

②如图2,在工厂的一条流水线上有三个加工点B,C,要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工

点输送材料.才能使尸到B,C三点的距离之和最小；

③如图3,在工厂的一条流水线上有四个加工点B,C,D,要在流水线上设一个材料供应点尸往四个

加工点输送材料.才能使尸到B,C,。四点的距离之和最小.

（3）结论应用（填空）；

①代数式|x+3|+|x-4|的最小值是_；

②代数式|x+6|+|%+3|+|x-2|的最小值是「

③代数式|x+7|+|x+4|+7-2|+|x-5|的最小值是

【答案】（1）①4；②x,-4；（2）①点A、点B之间；②点B；③点B、点C之间；（3）①7；②8；

③18

【分析】（1）①按照化简绝对值的求法即可；

②|x+4|=|x—（—4）］,根据数轴上两点间的距离的意义可知表示哪两个点之间的距离；

（2）①通过观察，比较可得点P在点A、B之间时，可使P到A的距离与P到B的距离之和最小，为线段AB长;

②通过观察，比较可得点P在点B处时，P到A,B,C三点的距离之和最小，为线段AB的长；

③通过观察，比较可得点P在点B、C之间，才能使P到A,B,C,D四点的距离之和最小，为AD+BC的长；

（3）①结合（2）中的①，可得最小距离为4和一3之间的距离；

②结合（2）中的②，可得最小距离为一6和2之间的距离；

③结合（2）中的③，可得最小距离为一7和5,—4和2的距离之和.

【详解】解:⑴①|3-（―1）|=|3+1|=|4|=4；

故答案为：4；

@v|x+4|=|x-（-4）|,

■•.|x+4］的意义可理解为数轴上表示数x和一4这两点的距离；

故答案为：X,-4；

（2）①点P可能在点A的左边，点A和点B之间，点B的右边；

当点P在点A的左边或点B的右边时，PA+PB的长度均大于AB的长度；

当点P在点A和点B之间时，PA+PB的长度等于AB的长度.

当材料供应点P在点A和点B之间时，P到A的距离与P到B的距离之和最小.

故答案为：点A、点B之间；

②当点P在点B处时，P到A,B,C三点的距离之和为AB的长度；

当点P在除点B外的任意位置时，P到A,B,C三点的距离之和均大于AB的长度.

•••材料供应点P应设在点B,才能使P到A,B,C三点的距离之和最小；

故答案为：点B；

③当点P在点B、C之间时，P到A,B,C,D四点的距离之和为AD+BC的长度；

当点P在除点B、C之间的任意位置时，P到A,B,C,D四点的距离之和均大于AD+BC的长度；

材料供应点P应设在点B、C之间，才能使P到A,B,C,D四点的距离之和最小；

故答案为：点B、点C之间；

(3)①|x+3|+|x—4|=|x—(―3)|+|x—4|,

x在点一3和4之间.代数式|x+3|+|x—4|的最小值=4-(-3)=4+3=7；

故答案为：7；

@|x+6|+|x+3|+|x-2|=|x—(—6)|+|x—(—3)|+|x—2|,

x=-3时.代数式|x+6|+|x+3|+|x—2|的最小值=2—(—6)=2+6=8；

故答案为：8；

(3)1--|x+7|+|x+4|+|x—21+|x—51—|x—(—7)|+|x—(—4)|+|x—2|+|x—51,

x在2和一4之间，代数式|x+7|+|x+4|+|x—2|+|x—5|的最小值

=5—(-7)+2—(-4)=12+6=18；

故答案为：18.

【点睛】本题考查数轴上两点间的距离的意义；通过数形结合，分别得到数轴上有2个点，3个点，4个点

时，动点P在什么位置，到这几个点的距离之和最小，并会求最小的距离之和是解决本题的关键.

7.阅读信息：

信息一：|x—y|的几何意义是x与y两数在数轴上所对应的两点之间的距离.例如|3—1］的几何意义是3

与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离.

信息二：对于有理数a,b,n,d,若|a—2九|+—2n|=d,则称。和6关于〃的“双倍关系直，为d.例

如，|6-2|+|3-2|=5,则6和3关于1的“双倍关系值”为5.

根据以上信息回答下列问题：

⑴一3和5关于2的“双倍关系值”为.

⑵若。和3关于1的“双倍关系值”为4,求。的值；

(3)若劭和的关于1的“双倍关系值”为2,的和a?关于2的“双倍关系值”为