江西省赣州市会昌中学高二上学期期末复习数学试卷

装订线北师大版高二数学上学期期末测试卷装订线考试范围：选择性必修第一册考试时间：120分钟本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分第I卷（选择题共58分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．已知变量与之间的一组数据如表：24568305070若与的线性回归方程为，则的值为（

）A．60 B．70 C．100 D．1102．如图，在平行六面体中，为的交点.若，则向量（

）A． B． C． D．3.已知双曲线的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．4．某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4．计算王同学第2天去餐厅用餐的概率（

）A．0.24 B．0.36 C．0.52 D．0.5在一个具有五个行政区域的地图上（如右图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（

）A．420种 B．360种 C．540种 D．300种6．已知样本9，，10，，11的平均数是10，标准差是2，则的值为（

）A．91 B．97 C．96 D．877．已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为，，则的最大值为（

）A． B． C． D．8.如图所示，在顶角为圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为1，4的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于，，则截面所表示的椭圆的离心率为（

）（注：在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于点，，由相切的几何性质可知，，于是，为椭圆的几何意义）

A． B． C． D．多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分）9．下列说法中正确的是（

）A．样本数据的第80百分位数是7.5B．随机变量，若，则C．已知随机事件，且，若，则事件相互独立D．若随机变量服从正态分布，且，则10.如右图，正八面体棱长为1，M为线段上的动点（包括端点），则（

）A． B．的最小值为C．当时，与的夹角为 D．11．已知直线与双曲线交于两点，为双曲的右焦点，且，若的面积为，则下列结论正确的有（

）A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为C．双曲线的渐近线方程为 D．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.直线的倾斜角的取值范围是．13.若，记，则的值为.14．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．当最大时，．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算）15.（13分）已知圆．(1)求直线被圆截得弦长；(2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程．16.（15分）在的展开式中，若第3项的二项式系数为28，求：(1)展开式中所有项的二项式系数之和；(2)展开式中的有理项；(3)展开式中系数最大的项.17.（15分）某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为．(1)学生甲和乙各摸一次球，求两人得分相等的概率；(2)若学生甲摸球2次，其总得分记为X，求随机变量X的分布列与期望；(3)学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率．18.（17分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面与相交于点，点在上，．(1)证明：平面；(2)若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求．19.（17分）给出如下的定义和定理：定义：若直线l与抛物线有且仅有一个公共点P，且l与的对称轴不平行，则称直线l与抛物线相切，公共点P称为切点.定理：过抛物线上一点处的切线方程为.完成下述问题：如图所示，设E，F是抛物线上两点.过点E，F分别作抛物线的两条切线，，直线，交于点C，点A，B分别在线段，的延长线上，且满足，其中.(1)若点E，F的纵坐标分别为，，用，和p表示点C的坐标.(2)证明：直线与抛物线相切；(3)设直线与抛物线相切于点G，求.高二数学上学期期末测试卷参考答案一、单选题1．C【详解】因为，又与的线性回归方程为，所以，即，解得.故选：C.2．B【详解】由图知，，即.故选：B.3．C【详解】由题意可得，解得（负值舍去），则该双曲线的渐近线方程为.故选：C.4．D【详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，根据题意得，，，由全概率公式，得，因此，王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.5.故选：D.5．A【详解】选用三种颜色时，必须1,5同色，2，4同色，此时有种；选用四种颜色时，必须1,5同色或2，4同色，此时有种；选用五种颜色时，有种，所以一共有种，故选：A.6．A【详解】依题意得，则①.，则②.由①②得，所以.故选：A.7．B【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为1，则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离，因为，且，当最小时，则最大，可得最大，即最大，又因为的最小值即为圆心到直线的距离为，此时，所以取得最大值．故选：B．8．D【详解】如图，设两球的球心分别为，设圆锥的顶点为S，取两球与圆锥同一母线上的切点分别为G，H，连接，连接交于点K，∵顶角为，，又两球的半径分别为1，4，，，，，，，又，∴，又，∴，∴，∴，∴，∴该椭圆的离心率为．故选：D．二、多选题9．BCD【详解】对于A，由，所以数据的第80百分位数是8，A错误；对于B，由，，得，解得，因此，B正确；对于C，由，得，即，则事件相互独立，C正确；对于D，由服从正态分布，，得，D正确.故选：BCD10．BC【详解】对于A,连接相交于，故，，A错误；对于B，因与均是边长为1的正三角形，故可将沿翻折，使其与共面，得到菱形，则，B正确；对于C，由且,平面,故平面，平面，，若，平面,则平面，故，知M与C重合，AM与BC的夹角为，C正确；对于D，，，由于平面，故平面，平面，故（与的夹角为钝角），D错误．故选：BC.BCD【详解】由题意知：，不妨取，由，即，所以，所以，所以以为直径的圆过点，所以圆的直径，所以圆的方程为：，设，连接，则四边形为矩形，则，则的面积为：，且，联立，解得，再由，所以离心率，故A错误，B正确；对于C，双曲线的渐近线方程为：，故选项C正确；对于D，不妨设点在第一象限，由对称性可知，，代入中，得，所以，由对称性知：当，，所以，故选项D正确.故选：BCD.三、填空题12．【详解】，故.故答案为：.13．【详解】因为，令，则；令，则，即，所以.故答案为：.14．17.8/【详解】不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布，最大时，即最大，超几何分布最大项问题，利用比值求最大项设则令故当时，严格增加，当时，严格下降，即时取最大值，此题中，根据超几何分布的期望公式可得，故答案为：17.8二、解答题15.(1)；(2).【详解】(1)由可得，圆心为，半径为，………………………（2分）圆心到直线的距离为，…………（4分）所以直线被圆截得弦长为.…………………（6分）(2)设，则，解得，；…………（8分）因为圆与圆相切于原点，且圆过点，所以，，……………（10分）两边平方整理可得，平方可求得，………………（12分）代入可得，所以圆的方程为.………………（13分）【分析】(1)求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案；(2)利用待定系数法和相切可求圆的方程.16.(1)；(2)；(3).【详解】(1)依题意得………………………（1分）……………………………（2分）而，解得，…………………（3分）所以展开式中所有项的二项式系数之和为.………（4分）(2)二项式展开式通项为，…………………（5分）当为整数时，为有理项，则，……………（6分）因此当时，；……………（7分）当时，；………………………（8分）当时，，…………………（9分）所以展开式中的有理项为．(3)设第项的系数最大，则，…………（10分）即，……………………（11分）整理得，………………（12分）解得，…………………………（13分）由，得或，…………………………（14分）所以展开式中系数最大的项为．……………（15分）【分析】(1)利用给定的二项式系数求出，再利用二项式系数的性质求得答案.(2)求出二项式的展开式的通项，由的幂指数为有理数求解即得.(3)由展开式通项的系数，列出不等式组并求解即得.17．(1)；(2)分布列见解析，期望为；(3).【详解】(1)解：由题意，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为，………（1分）若学生甲和乙各摸一次球，甲乙的得分相同，则甲乙同时摸到1分球或2分球，………………（2分）所以两人得分相等的概率为.…………………（4分）(2)解：由题意知，学生甲摸球2次的总得分的可能取值为，…………………（5分）可得………………………（6分）…………………（7分）………………………（8分）所以随机变量的分布列为：234所以，期望为.…………（9分）(3)解：记甲最终得分为分，其中，乙获得奖励，可得……………（10分）……………………（11分）当甲的最终得分为9分时，乙获得奖励需要最终得分为10分，则；…………………………（12分）当甲最终得分为8分时，乙获得奖励需要最终得分为10分或9分，则，……………………（13分）所以，所以乙获得奖励的概率为.……………………（15分）【分析】(1)根据题意，甲乙同时摸到1分球或2分球，结合概率的乘法公式，即可求解；(2)根据题意，得到变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；(3)记甲最终得分为分，其中，乙获得奖励，结合相互独立事件的概率公式以及条件概率和全概率公式，即可求解.18.(1)证明见解析；(2)【详解】(1)底面是菱形，，………………（1分）平面，且平面，.………（2分）又，平面,平面，…………………（3分）平面，………………………（4分）又，且平面，，平面，平面，，………（5分），，即，……………（6分）又平面，且，平面．………………（7分）(2)以为原点，以为轴，为轴，过点且平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，…………（8分）,,………………（9分）又,在中由勾股定理得,……………（10分）即,.……………（11分），，…………………（12分），，平面，与平面所成的角为，…………（13分）平面，是平面的一个法向量，………………（14分）平面，平面，平面平面，设，只需，则平面，则，令，………………………（15分）则，，………………（16分）.………………（17分）【分析】(1)通过证明，即可证明平面；(2)建立空间直角坐标系，由（1）知平面，即可得，再求平面和平面的法向量即可求出.19.(1)；(2)证明见解析；(3)【详解】(1)因为点E，F的纵坐标分别为，，所以，所以在处的切线方程为，即，……………………………（2分）同理在处的切线方程为，…………………