浙江省杭州市学军中学2023-2024学年高二下学期7月学考模拟（三）数学试题

2024年7月杭州学军中学数学学考模拟试卷三一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.）1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合补集及交集的定义即可求解．【详解】由题可得，，所以，故答案选B．【点睛】本题主要考查集合间的运算，属于基础题．2.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊值法可求解.【详解】由可设，代入不等式中检验可知A正确.故选：A3.若复数，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法运算将复数表示为一般形式，即可得出复数的虚部.【详解】因为，所以的虚部为．故选：C【点睛】本题考查复数虚部的求解，涉及复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.4.突如其来的疫情打乱了我们的学习节奏，郑老师为检查网课学习情况，组织了一次网络在线考试，并计算出本次考试中全体学生的平均分为90，方差为65；后来有两位学生反应，自己的成绩被登记错误，一位学生的成绩为88分，记录成78分，另一位学生的成绩为80分，记录成90分，更正后，得到的平均分为，方差为，则（）A.， B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平均数与方差的计算方法即可得解．【详解】由于，因此更正前后样本的平均数不发生改变，即；由于，因此更正后样本的方差变小，即；故选：B【点睛】本题考查平均数与方差的计算方法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．5.若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由“”为真命题可排除A，由“”为假命题可排除BD，即可得到结果.【详解】若“”为真命题，则A错误，又“”为假命题，则“”为真命题，则B,D错误，则集合可以是.故选：C6.如图正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据台体的结构特征结合台体的体积公式运算求解.详解】如图，过作下底面的投影，垂足为，上底面对角线长，下底面对角线长，则，可得正四棱台的高，所以正四棱台的体积.故选：B7.已知，，，则这三个数的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数和对数的性质，分别判断三个数的所在范围，可得大小关系．【详解】，，，又，∴.

故选：A.8.如图，是函数部分图象，则的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据奇偶性排除A，根据有小于0的函数值排除C，根据正弦函数的性质排除D，即可得出答案.【详解】由图像可知，函数图像关于轴对称，所以应为偶函数，所以排除A；由图像可知函数值能取到小于0的值，所以排除C；对于D，当时，而当时，，而正弦的函数图像可知D不正确；故选：B【点睛】本题主要考查了根据函数图象选择解析式，涉及了函数奇偶性的应用，属于中档题.9.在直角坐标系中,点的坐标为是第三象限内一点,,且,则点的横坐标为A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题设可设,则,所以,所以,故应选A.考点：三角函数的定义与单位圆.10.我国勾股定理最早的证明是东汉末期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的赵爽弦图（如图），它是由四个全等的直角三角形拼成的内、外都是正方形的美丽图案.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算，结合向量数量积的几何意义求值.【详解】由已知，得，，，又，所以，因为，所以，又由已知得，则，故选：B.11.若函数在区间上单调递减，且在区间上有唯一的实数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得函数的单调递减区间，再根据在区间上单调递减，由为单调递减区间的子集求得的范围，由，得到，根据方程在上有唯一解，由求解.【详解】解：由题意令，解得，，∵在区间上单调递减，∴且，，∴，，当时，，因为方程在上有唯一解，则有，解得，综上，的取值范围为，故选：C．12.如图，在中，，，点E为线段AB上一点，将绕DE翻折．若在翻折过程中存在某个位置，使得，记为的最小值，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】易知，A在以AD为母线的圆锥上的一部分（弧AF），与所成的最大角为，只需.【详解】如图，与所成的最大角为，只需即可.即，即，即.故选：C.【点睛】本题考查几何中的翻折问题，考查学生的空间想象能力、转化与化归能力，是一道难题.二.多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）13.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列条件是的充分条件的是（）A.且 B.且C. D.【答案】AC【解析】【分析】AC选项，根据线面平行及面面平行的性质得到证明；BD选项可举出反例.【详解】A选项，由线面平行的判定定理知选项A中的条件符合题意；B选项，由且，可得或，所以选项B中的条件不符合题意；C选项，由面面平行的性质知选项C中的条件符合题意；D选项，由，可得或，所以选项D中的条件不符合题意.故选：AC.14.把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以为（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】通过往回倒推，将函数的图象,向左平移个单位长度，再将其纵坐标伸长2倍，横坐标伸长3倍得到解析式，利用诱导公式一一对照化简即可.【详解】把函数的图象,向左平移个单位长度,得到的图象,再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到的图象,最后把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到的图象.而.故选：BD.15.已知样本甲：a，b，c，d，e，样本乙：，，，，，其中a，b，c，d，e为正实数，则下列叙述中一定正确的是（）A.样本乙的极差大于样本甲的极差B.样本乙的众数均大于样本甲的众数C.若c为样本甲的中位数，则为样本乙的中位数D.若c为样本甲的平均数，则为样本乙的平均数【答案】CD【解析】【分析】利用极差，众数，中位数，平均数的定义和性质同时结合举反例的方法即可直接判断选项.【详解】若，则样本甲和乙的极差均为0，所以选项A错误：若样本甲：1，1，2，5，5，样本乙：3，3，5，11，11，则甲的众数为1和5，乙的众数为3和11，而，所以选项B错误；若c为样本甲的中位数，则为样本乙的中位数，所以选项C正确；若c为样本甲的平均数，即，则，故D正确.故选：CD.16.若函数在区间上满足，则称为上的“变函数”，对于变函数，若有解，则称满足条件的值为“变函数的衍生解”，已知为上的“变函数”，且当时，，，当时，则下列哪些是变函数的衍生解（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用为上的“4变函数”，得到，然后求出的解析式，分，，，两段来研究函数的单调性以及最值，把问题转化为，从而得到关于的不等式，求出的范围，再根据选项中给出的范围进行判断即可．【详解】解：因为为上的“4变函数”，所以，故，当，时，，，所以，①当，时，，因为和都是单调递增，故函数单调递增，所以，，②当，时，是单调递减函数，此时，，若有解，则，即，整理得，所以有或，解得或，故的取值范围为．故选：BC．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．三.填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17.如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为_____________.【答案】12【解析】【分析】画出原图，可得，再求面积即可.【详解】如图，可得，，，，则原的面积为.故答案为：12.18.口袋中有除颜色外其他完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，若两个编号的和为偶数则甲胜，否则乙胜.两个编号的和为6的事件发生的概率是_______，这种游戏规则_____（填“公平”或“不公平”）.【答案】①.##0.2②.不公平【解析】【分析】①甲、乙每人摸一个球，共种情况，列举出两个编号的和为6的情况种数，然后用古典概型求概率；②若两个编号和为偶数则甲胜，其他情况乙胜，分别算出甲胜的概率和乙胜的概率，比较是否相等，相等就公平，不相等就不公平．【详解】①设“甲胜且编号的和为6”为事件．甲编号为，乙编号为，表示一个基本事件，则两人摸球结果包括（1,2），（1,3），…，（1,5），（2,1），（2,2），…，（5,4），（5,5）共25个基本事件；包括的基本事件有（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1）共5个．所以．所以两个编号的和为6的事件发生的概率为．②这种游戏不公平．设“甲胜”为事件，“乙胜”为事件．甲胜即两个编号的和为偶数包含以下13个基本事件数：（1,1），（1,3），（1,5），（2,2），（2,4），（3,1），（3,3），（3,5），（4,2），（4,4），（5,1），（5,3），（5,5）．所以甲胜的概率为，乙胜的概率为.因为，所以这种游戏规则不公平．故答案为：①，②不公平.19.若正数，满足，则的最大值为_______.【答案】2【解析】【分析】根据得出，得出，，根据的范围求出的范围即可.【详解】，，，所以，即，，根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2.故答案为：2.20.平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，的值为______．【答案】【解析】【分析】根据题意得到当时，取得最大值，设，，得到或，根据题意得到，，根据余弦和差公式求出答案.【详解】当时，取得最大值，又，如图所示，，设，，则，所以，即，解得，故，或，，或，故答案为：四.解答题（本大题共3小题，每小题11分，共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.记的内角的对边分别为，已知.（1）若，求的值；（2）若是边上的一点，且平分，求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，边化角，可得，利用三角恒等变换可求；（2）由已知可得，利用，可得，可求解.【小问1详解】由题意得，所以.由正弦定理，得，即.又，所以，又，所以.因为，所以.【小问2详解】由，得，解得.由，得，即，所以.22.如图，已知顶点为的圆锥其底面圆的半径为8，点为圆锥底面半圆弧的中点，点为母线的中点.（1）若母线长为10，求圆锥的体积；（2）若异面直线与所成角大小为，求、两点间的距离.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出圆锥的高，再利用锥体的体积公式计算作答.（2）取的中点，作出异面直线与所成角，再利用线面垂直的性质结合勾股定理求解作答.【小问1详解】圆锥的底面圆半径为8，母线长为10，而，则，解得，所以圆锥的体积为.【小问2详解】取的中点，连接,，由弧为圆锥底面的半圆弧知圆锥底面圆心在上且为中点，为母线的中点，则与所成角为或其补角，由平面，得平面，平面，则，于是有，由是半圆弧的中点可得，则，所以.23.对于函数.（1）若，且为奇函数，求a的值；（2）若方程恰有一个实根，求实数a的取值范围；（3）设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用奇函数定义可得；（2）由题可得，分类讨论可得；（3）由题可得，进