异构树上倍增算法

17/24异构树上倍增算法第一部分异构树倍增原理 2第二部分树形结构倍增算法 4第三部分倍增算法在异构树上的应用 5第四部分倍增数组的构造 8第五部分倍增过程的实现 11第六部分异构树倍增时间复杂度 13第七部分异构树倍增空间复杂度 15第八部分异构树倍增算法适用范围 17

第一部分异构树倍增原理异构树倍增原理

异构树倍增算法是一种高效的动态规划算法，用于解决异构树上的单源最短路径问题，其中边的权重可以是不同的。其核心原理是使用倍增思想不断划分树的深度，并预处理出每个节点在不同深度下的祖先节点及其距离。

基本原理

对于一棵具有n个节点的异构树，我们定义f(i,d)为节点i在深度d下的祖先节点。同时，g(i,d)表示节点i到其在深度d下的祖先节点的边权重和。

预处理

算法首先对树进行预处理，计算出每个节点在不同深度下的祖先节点和边权重和。具体步骤如下：

1.初始化f(i,0)=i和g(i,0)=0，表示每个节点在深度0下的祖先节点就是自己，边权重和为0。

2.对于每个深度d=1到log₂n，依次执行以下步骤：

-对于每个节点i，计算f(i,d)=f(f(i,d-1),d-1)，即节点i在深度d下的祖先节点是其在深度d-1下祖先节点的深度d-1下的祖先节点。

-对于每个节点i，计算g(i,d)=g(i,d-1)+g(f(i,d),d-1)，即节点i到其在深度d下的祖先节点的边权重和等于其到深度d-1下祖先节点的边权重和加上从深度d-1下祖先节点到深度d下祖先节点的边权重。

查询

给定两个节点u和v，我们可以利用预处理结果高效地计算它们之间的最短路径。具体步骤如下：

1.将节点u和v的深度分别设为d_u和d_v。

2.如果d_u≠d_v，则将深度较深的节点向上跳跃至与另一个节点深度相同。具体地，如果d_u>d_v，则将u跳跃至f(u,d_u-d_v)，否则将v跳跃至f(v,d_v-d_u)。

3.重复步骤2，直到两个节点的深度相同。

4.此时，节点u和v在同一深度下，利用预处理的结果，我们可以通过不断跳跃祖先节点来计算出它们之间的最短路径。具体地，对于每个节点i，计算p(i)=g(i,d)+g(u,d)-2*g(lca(i,u),d)，其中lca(i,u)表示节点i和u的最近公共祖先。

时间复杂度

异构树倍增算法的预处理时间复杂度为O(nlogn)，查询时间复杂度为O(logn)。第二部分树形结构倍增算法树形结构倍增算法

引言

树形结构倍增算法是一种用于解决树形结构中查询问题的算法。它是一种动态规划算法，利用树形的特殊性质，通过预处理和倍增的思想，快速解决查询问题。

算法原理

设有一棵树T，其中每个节点u有一个深度depth[u]，且深度为0的节点为根节点。对于任意的节点u和整数k，令p[u][k]表示节点u向上跳跃2^k步（即跳跃2^k个相邻节点）后到达的节点。

算法的核心思想是通过预处理计算出p数组，并利用倍增的思想快速查询任意节点u向上跳跃2^k步后的祖先。

预处理

预处理阶段计算出p数组。具体步骤如下：

1.初始化：对于每个节点u，令p[u][0]=u。

2.倍增：对于每个节点u和k（1≤k≤log₂（n）），令p[u][k]=p[p[u][k-1]][k-1]，其中n为树中节点总数。

查询

给定一个节点u和一个整数k，求节点u向上跳跃2^k步后的祖先v。查询步骤如下：

1.二进制分解：将k分解为若干个2的次幂之和，即k=2ⁱ+...+2^j。

2.倍增查询：从大到小枚举i到j，对于每个2ⁱ，令u=p[u][i]。

3.结果：最终，u即为节点v。

时间复杂度

*预处理：O(nlogn)，其中n为树中节点总数。

*查询：O(logn)。

用途

树形结构倍增算法广泛用于解决树形结构中的查询问题，例如：

*求节点u与节点v的最近公共祖先（LCA）。

*求节点u到节点v的距离。

*维护树形结构中的动态变化，例如添加和删除节点。

扩展

树形结构倍增算法还可以扩展到解决其他树形结构问题，例如：

*重链剖分：用于解决树形结构中区间查询和修改问题。

*树链剖分：用于解决树形结构中点分治和数据结构优化问题。第三部分倍增算法在异构树上的应用关键词关键要点【异构树倍增算法的应用】

【基于标记的倍增】

1.在异构树中，不同节点可以具有不同的权重或类型。

2.基于标记的倍增算法使用标记数组标记不同类型的节点。

3.标记数组允许算法在倍增过程中快速确定路径上不同类型节点的权重信息。

【基于代价的倍增】

倍增算法在异构树上的应用

简介

异构树是一种特殊的树结构，其中边的权值可能是不同的。在解决异构树上的问题时，倍增算法是一种有效的算法技术，可以有效地处理异构的边权值。

算法原理

倍增算法的基本思想是利用预处理的技术，将原问题的求解分解为一系列较小的子问题，并通过对子问题的求解，逐步得到原问题的答案。

在异构树上，倍增算法的关键在于预处理出倍增表，其中记录了从每个节点出发沿着每种边权值的2的幂次方步长的祖先节点。有了倍增表，对于任意两个节点之间的最短路径查询，可以通过不断跳跃2的幂次方的步长，快速得到答案。

步骤

1.预处理倍增表：

-从每个节点出发，计算沿每种边权值2的幂次方步长的祖先节点。

-记录这些结果到倍增表中。

2.查询最短路径：

-假设要查询节点u到节点v的最短路径。

-首先找到u和v之间的2的最大幂次方步长`k`，使得`2^k<=v-u`。

-沿这个步长从u出发，更新当前节点为倍增表中`u`对应的`2^k`步长的祖先节点。

-重复此过程，逐步缩小`k`，直到`k=0`。

-最终到达的节点即为u到v的最短路径上的祖先节点。

-计算u到该祖先节点和祖先节点到v的路径权值之和，即为u到v的最短路径权值。

分析

时间复杂度：

-预处理倍增表：O(nlognW)，其中n为节点数，W为最大边权值。

-查询最短路径：O(lognW)

空间复杂度：

-倍增表：O(nlognW)

应用场景

倍增算法在异构树上的应用广泛，包括但不限于：

-最短路径查询

-最长路径查询

-树上最大权独立集

-树上最小割

-树上链剖分

优点

倍增算法在异构树上的应用具有以下优点：

-高效性：通过预处理倍增表，可以快速查询最短路径和其他问题。

-通用性：可以应用于各种异构树上的问题。

-简洁性：算法实现简单，易于理解和应用。

局限性

倍增算法的局限性在于：

-空间占用：倍增表需要存储大量信息，空间占用较大。

-边权值上限：倍增算法要求边权值必须是有界的，否则可能导致预处理时间过长。第四部分倍增数组的构造关键词关键要点倍增数组的构造

主题名称：倍增表构建

1.递归倍增：从树根出发，逐层将当前子树的倍增表构建完成。

2.倍增关系：对于每个节点u和倍增步长2^i，其倍增节点v满足从u出发沿树边走2^i步可到达v。

3.递归终止：当倍增步长达到树的最大深度时，递归终止。

主题名称：倍增表的性质

倍增数组的构造

概述

倍增算法是一种用于解决树上最短路径问题的高效算法。该算法的核心是倍增数组，即预先计算好的表格，其中包含从每个节点到其祖先的距离信息。

构造过程

倍增数组的构造过程涉及两个嵌套循环：

-外循环：遍历树上的所有节点`v`。

-内循环：计算从节点`v`到其祖先`u`的距离`dist[v][u]`，其中`u`是`v`的第`2^i`代祖先（`i`从0开始）。

算法步骤：

1.初始化倍增数组`dist`，其中`dist[v][0]`为节点`v`到其父节点的距离。

2.对于外循环中每个节点`v`：

-对于内循环中每个整数`i`（`i`从1到`log(V)`）：

-计算节点`v`到祖先`v<<i`的距离`dist[v][i]`：

-如果`i`为奇数，则`dist[v][i]=dist[v][i-1]`。

-否则，则`dist[v][i]=dist[v][i-1]+dist[v<<(i-1)][i-1]`。

时间复杂度

倍增数组的构造过程的时间复杂度为`O(VlogV)`，其中`V`为树中节点的数量。

举例说明

考虑一棵6个节点的树（如下图所示）：

```

1

/\

23

/\/

456

```

根据上述算法，倍增数组`dist`的构造过程如下：

|`v`|`i`|`dist[v][i]`|

||||

|1|0|0|

|1|1|1|

|1|2|2|

|2|0|1|

|2|1|2|

|3|0|1|

|3|1|2|

|4|0|2|

|4|1|3|

|5|0|1|

|5|1|2|

|6|0|1|

例如，`dist[2][1]`的值表示从节点2到其祖先节点4的距离，即2。

应用

倍增数组可以用来解决各种树上的问题，包括：

-查询两个节点之间的最短路径

-查询节点到其祖先的距离

-查询节点子树中两点之间的最短路径第五部分倍增过程的实现关键词关键要点【倍增数组的初始化】：

1.对于每个点，预处理出它的父节点、深度和权值。

2.初始化倍增数组，令f[i][0]=pi。

【倍增过程】：

倍增过程的实现

倍增算法的关键步骤是进行倍增过程，它允许我们在对数时间内计算出从一个节点到其祖先节点的第\(2^i\)个祖先。

#实现步骤

给定一颗有\(n\)个节点的异构树\(T=(V,E)\)，其根节点为\(1\)。以下是如何实现倍增过程：

1.预处理：

-计算树的深度\(d=\log_2n\)，并初始化一个\(n\timesd\)二维数组\(P\)，其中\(P[v][i]\)表示节点\(v\)的第\(2^i\)个祖先。

-对于每个节点\(v\)，将\(P[v][0]\)设为其父节点。

2.倍增：

-对于\(i\)从\(1\)到\(d-1\)：

-对于每个节点\(v\)：

-计算节点\(v\)的第\(2^i\)个祖先：

-\(P[v][i]=P[P[v][i-1]][i-1]\)

#时间复杂度

倍增过程的时间复杂度为\(O(n\log_2n)\)。

-预处理阶段需要\(O(n)\)的时间。

-倍增阶段需要\(O(\log_2n)\)的时间计算每个节点的祖先，并且需要对所有\(n\)个节点执行，因此总的时间复杂度为\(O(n\log_2n)\)。

#空间复杂度

倍增过程的空间复杂度为\(O(n\log_2n)\)，因为我们使用了一个\(n\timesd\)的数组来存储祖先信息。

#使用

倍增过程对于解决各种树形问题非常有用，例如：

-求两个节点之间的路径

-寻找节点的最低公共祖先

-计算子树大小或其他信息

#伪代码

以下是一个倍增过程的伪代码实现：

```python

defbuild_ancestor_table(n,parent):

dp=[[0]*(int(math.log2(n))+1)for_inrange(n+1)]

forvinrange(1,n+1):

dp[v][0]=parent[v]

forjinrange(1,int(math.log2(n))+1):

forvinrange(1,n+1):

dp[v][j]=dp[dp[v][j-1]][j-1]

returndp

```第六部分异构树倍增时间复杂度关键词关键要点主题名称：异构树倍增算法的渐进复杂度

1.异构树倍增算法采用动态规划算法，从底向上计算每个节点在不同层中的祖先信息。

2.在每个节点，算法需要计算出该节点的父节点、祖父节点、曾祖父节点等，需要遍历O(logn)层。

3.对于n个节点的异构树，算法的时间复杂度为O(n*logn)，其中n为节点数，logn为树的深度。

主题名称：异构树倍增算法的空间复杂度

异构树倍增时间复杂度

异构树倍增算法是一种基于倍增思想解决异构树上路径查询问题的算法。它通过预处理的方式，将查询时间复杂度从O(Nlog^2N)优化到O(NlogN)，其中N为树的节点数。

异构树倍增算法的时间复杂度分析如下：

预处理：

*计算每个节点在深度为i时的祖先节点：O(NlogN)

*根据祖先节点信息，计算每个节点在任意深度时的祖先节点：O(NlogN)

查询：

*找到查询路径的最低公共祖先：O(logN)

*计算路径上的节点深度和：O(logN)

*查询每个深度上路径上的节点信息：O(logN)

因此，异构树倍增算法的总时间复杂度为：

```

预处理：2*O(NlogN)=O(NlogN)

查询：O(logN)+O(logN)+O(logN)=O(logN)

```

进一步分析：

*如果树的深度为D，则预处理的时间复杂度为O(NlogD)。

*查询时间复杂度O(logN)与树的深度无关，这使得该算法非常高效，即使对于深度较大的树也很适用。

*异构树倍增算法的时间复杂度与树的结构无关，这使得它适用于任意形式的异构树。

结论：

异构树倍增算法是一种高效的路径查询算法，其时间复杂度为O(NlogN)的预处理阶段和O(logN)的查询阶段。算法的时间复杂度与树的深度和结构无关，使其适用于各种异构树。第七部分异构树倍增空间复杂度异构树上倍增算法的空间复杂度

异构树上倍增算法是一种针对异构树（边权不一致的树）设计的倍增算法。与传统的倍增算法相比，异构树上倍增算法在空间复杂度上存在差异。

传统倍增算法的空间复杂度

对于传统的倍增算法，其空间复杂度为O(nlogn)，其中n为树中节点的数量。这是因为对于每个节点，需要存储其2^i级祖先的信息（i=0,1,...,logn），而每个祖先信息又需要存储其节点编号和边权。因此，总共需要存储n*logn个信息。

异构树上倍增算法的空间复杂度

异构树上倍增算法的空间复杂度为O(nm)，其中m为树中最长边的边权。与传统倍增算法不同的是，异构树上倍增算法并不存储所有节点的祖先信息，而是仅存储最长边上的节点及其祖先的信息。

具体来说，算法首先找到树中最长边，并将其端点之一记为根节点。然后，对于根节点的每个子树，算法递归地应用异构树上倍增算法，并为每个子树维护一个额外的数组，该数组存储从子树根节点到根节点的路径上每个节点的边权和。

通过这种方式，算法可以仅存储最长边上的节点及其祖先的信息，而无需存储所有节点的祖先信息。这样就将空间复杂度降低到了O(nm)，其中m是最长边的边权。

原因

异构树上倍增算法空间复杂度降低的原因在于以下观察：

*在异构树中，最长边上的节点及其祖先往往是关键节点，在计算最长路径或最短路径等问题中经常被访问。

*通过存储最长边上的节点及其祖先的信息，算法可以避免在计算过程中多次访问这些节点，从而节省了空间。

示例

考虑一个具有5个节点的异构树，最长边权为6：

```

1

/\

23

/\

45

```

传统的倍增算法需要存储5*log5=15个祖先信息。而异构树上倍增算法仅需要存储以下信息：

*根节点1及其祖先2和3

*子树2的路径权重和数组[0,6]

*子树3的路径权重和数组[0,6]

因此，异构树上倍增算法只需要存储9个信息，比传统倍增算法节约了6个信息。

结论

异构树上倍增算法通过仅存储最长边上的节点及其祖先的信息，将空间复杂度降低到了O(nm)，其中m为树中最长边的边权。这在异构树问题中具有重要意义，因为异构树的边权往往差异很大，从而可以有效节约空间。第八部分异构树倍增算法适用范围异构树倍增算法适用范围

异构树倍增算法是一种用于高效处理异构树（又称无根树）上路径查询问题的算法。异构树的每个节点可以具有不同类型的边，并且不同类型的边可能具有不同的权重或属性。与传统的树倍增算法相比，异构树倍增算法可以处理更复杂的树结构和边权重问题。

适用范围：

异构树倍增算法主要适用于以下类型的异构树：

1.加权异构树：

其中每个边的权重可以是任意实数。异构树倍增算法可以用于计算树中任意两点之间的最长或最短路径。

2.聚合异构树：

其中每个边的权重是可以在特定操作（例如加法、乘法）下结合的代数元素。异构树倍增算法可以用于计算树中任意两点之间指定操作下的路径权重和。

3.LCA查询：

异构树倍增算法可以用来高效地查询两个节点的最近公共祖先（LCA）。

4.动态异构树：

异构树倍增算法也可以应用于动态异构树，其中边的权重或树的结构可以随着时间的推移而改变。

不适用范围：

异构树倍增算法不适用于以下类型的树：

1.普通二叉树：

异构树倍增算法对于普通二叉树没有优势，因为传统的树倍增算法已经足够高效。

2.完全二叉树：

对于完全二叉树，使用位运算的树链剖分算法比异构树倍增算法更有效率。

3.其他特殊类型的树：

异构树倍增算法可能不适用于具有特定属性或结构的特殊类型的树。在这种情况下，可能需要使用特定的算法来处理这些特殊情况。

优势：

与传统的树倍增算法相比，异构树倍增算法具有以下优势：

1.广泛适用性：

异构树倍增算法可以处理各种类型的异构树，包括带权树、聚合树和动态树。

2.高效性：

异构树倍增算法的时间复杂度通常为O(ElogV)，其中E是边的数量，V是节点的数量。这种复杂度与传统的树倍增算法相当，即使对于异构树也是如此。

3.查询多样性：

异构树倍增算法不仅可以计算路径权重的总和或最大值/最小值，还可以使用自定义聚合函数来处理更复杂的查询。

4.动态性：

异构树倍增算法可以适应动态树中的变化，使其适用于处理不断变化的树结构或边的权重。

局限性：

尽管有这些优势，异构树倍增算法也有其局限性：

1.空间复杂度：

异构树倍增算法需要额外的空间来存储倍增表，其空间复杂度为O(VlogV)。

2.预处理开销：

异构树倍增算法需要预处理倍增表，这可能会带来较大的计算开销，特别是对于大型树。

3.特殊情况处理：

对于具有特定属性或结构的特殊类型的树，异构树倍增算法可能效率低下或不适用。关键词关键要点主题名称：异构树倍增原理

关键要点：

1.倍增思想：将问题分解为多个较小的问题，逐层解决，从而达到解决原问题的目的。

2.跳跃表构建：预处理出从每个节点出发，向上跳跃一定步数即可到达的节点，形成一系列跳跃表。

3.快速查找：利用跳跃表，快速查找任意两个节点的最近公共祖先或任意节点向上跳跃一定步数的节点。

主题名称：异构树的性质

关键要点：

1.节点权重：每个节点具有一个权重，表示该节点的特殊性质或指标。

2.边权重：连接节点之间的边也具有权重，表示通过该边的距离或代价。

3.异构性：不同节点和边的权重可能存在差异，使树的结构和性质更加复杂。

主题名称：倍增算法流程

关键要点：

1.预处理：建立跳跃表，预计算节点间距离并记录节点权重。

2.二分查找：利用倍增思想，二分查找最近公共祖先或目标节点。

3.跳跃更新：根据二分结果更新跳跃表，提升查找效率。

主题名称：异构树倍增的应用

关键要点：

1.最近公共祖先查询：快速查找异构树中两个节点的最近公共祖先。

2.节点跳跃查找：任意节点向上跳跃固定步数，寻找指定权重的节点。

3.路径信息查询：查询异构树中指定路径的权重或距离信息。

主题名称：前沿与趋势

关键要点：

1.分布式计算：将异构树倍增算法应用于分布式环境，提升大规模异构树处理效率。

2.机器学习：利用异构树倍增算法来构建决策树或图神经网络模型，增强模型表现。

3.大数据分析：在大数据处理中，异构树倍增算法可高效处理复杂树形结构，提取有价值的信息。关键词关键要点主题名称：异构树上倍增算法

关键要点：

1.异构树是允许不同类型的节点和边的树，该算法适用于在异构树上进行倍增。

2.倍增算法利用预处理来建立一个跳跃表，使得从一个节点到其祖先的跳跃仅需要O(logn)时间。

3.该算法使用动态规划技术来计算所有节点之间距离的最小值。

主题名称：预处理

关键要点：

1.算法使用深度优先搜索(DFS)来遍历异构树，并计算每个节点到其祖先的距离。

2.这些距离存储在一个跳跃表中，该表以O(logn)的高度对节点进行索引。

3.跳跃表中的每个条目包含到祖先的距离以及到达该祖先所需的中间节点。

主题名称：倍增查询

关键要点：

1.给定两个节点a和b，算法使用跳跃表来查找它们最近的公共祖先（LCA）。

2.算法首先确定LCA的深度，然后使用LCA的深度来确定从a和b到LCA的跳跃数。

3.最后，算法使用跳跃表来计算从a到b的最小距离。

主题名称：应用

关键要点：

1.异构树上倍增算法可用于解决各种问题，包括：

-异构树中两点之间的距离计算

-LCA查找

-异构树中的路径查找

2.该算法在计算机科学、生物信息学和网络分析等领域具有广泛的应用。

主题名称：复杂性分析

关键要点：

1.预处理阶段的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是异构树中的节点数。

2.倍增查询的时间复杂度为O(logn)。

3.该算法的总时间复杂度为O(nlogn)。

主题名称：扩展和前沿

关键要点：

1.异构树上倍增算法可以扩展到处理带权异构树。

2.该算法已应用于解决异构树中的其他问题，例如最大公共子树和最近公共子树查找。

3.该算法的研究仍在继续，重点是提高其效率和解决新的应用。关键词关键要点异构树倍增空间复杂度

主题名称：局部存储优化

关键要点：

1.将每个子树的倍增表存储在对应子树的根节点上，减少了需要存储的空间。

2.利用分治思想，在预处理过程中逐层向下递归，仅需计算当前层对应的倍增表。

3.子树内部查询无需额外的空间开销，直接访问根节点存储的倍增表即可。

主题名称：动态规划状态优化

关键要点：

1.将倍增算法的转移状态定义为dp[i,j]，表示从结点i出发，沿着向上第j次方（2^j）的链向上跳跃的结点。

2.利用状态转移方程dp[i,j]=dp[dp[i,j-1],j-1]，将计算拆分为两个子问题，可以有效减少空间占用。

3.该