2024年高考数学总复习：高中数学选修2-1全册讲义

2024年高考数学总复习高中数学选修27全册讲

义（精华版）

第一章常用逻辑用语

******特别注意：本章历来不做重点,只需知道“且”“或”“非”的特点即可

一、基础知识【理解去记】

1.充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若A03,则xeA是xeB的充分条件；若

A&B,则xeA是xeB的必要条件；若A口3且A33即A=5,则xeA是xeB的

充要条件.

2.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；

注意区分：“甲是乙的充分条件（甲二>乙）”与“甲的充分条件是乙（乙二甲”'，是两种不

同形式的问题.

3.掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.

能根据条件与结论判断出命题的真假.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”

与“否命题”等价转换去判定也很方便.

4.会用集合的子集的方法判断充要条件：

①A是B的充分条件（或B是A的必要条件）即A=5O4±5

②A是B的充分不必要条件A=50Au5

w

③A是B的充要条件A=8OA=8

二、基础例题【必会】

注意在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导

致错误结论。

例1.（2009全国高考卷）己知函数/（%）=加+3f-x+l是减函数，求a的取值范围。

【分析】/'（£|<0卜«。3））是“尤）在（。,。）内单调递减的充分不必要条件，在解题过

程中易误作是充要条件，如/（%）=—三在R上递减，但/（%）=—3dw。。

【解析】：求函数的导数/'（X）=3依2+6*—1（1）当/'（x）<0时，“X）是减函数，则

fr（x）=3ax2+6x-l<0（xe7?）故解得a<-3。（2）当a=-3时，

/(x)=—+3x2—x+1——3+-易知此时函数也在R上是减函数。（3）当a>-3时,

9

在R上存在一个区间在其上有/'（X）>0，所以当a>-3时，函数/（九）不是减函数,综上，

所求a的取值范围是（—8,—3］。

【知识归类点拔】若函数可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明:

①/'（x）>0与/（x）为增函数的关系:/'（x）>0能推出/（x）为增函数，但反之不一定。如

函数/(x)=/在(—00,+00)上单调递增，但(0)20,.•./'(%)>0是/(X)为增函数的充

分不必要条件。②/(%)，。时，/(x)>0与/(x)为增函数的关系:若将r(x)=0的根作

为分界点，因为规定f\x)丰0,即抠去了分界点，此时/(%)为增函数,就一定有/'(%)>0o

/.当f\x)丰0时，广(x)>0是/(%)为增函数的充分必要条件。③f'(x)20与/(x)为增

函数的关系:/(幻为增函数，一定可以推出r(x)20,但反之不一定，因为/(x)20,即

为/'(幻>0或尸(%)=0。当函数在某个区间内恒有/'(x)=0,则/(x)为常数，函数不

具有单调性。，广(%)20是/(幻为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条

重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数

的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨

论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。

因此本题在第一步后再对a=-3和a>-3进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要

条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要

同学们在学习过程中注意思维的严密性。

【练习】是否存在这样的K值,使函数/(x)=F/-jx3—小+2x+；在(1,2)上递减，

在(2,+。。)上递增？

答案：k=g(提示据题意结合函数的连续性知/'⑵=0,但/'⑵=0是函数在(1,2)

上递减，在(2,抬)上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由/'(2)=0求出K值后要

检验。)

注意：易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻

辑思维。

例2.(2010年高考数学江苏卷，)设无穷等差数列｛a。｝的前n项和为Sn.

(1)若首项4=§,公差d=l,求满足=(S*)2的正整数k；

(H)求所有的无穷等差数列｛an｝,使得对于一切正整数k都有12=(，)2成立.

【分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生

在解第(II)时极易根据条件“对于一切正整数k都有Sm=(5。2成立”这句话将k取两

个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对己知条

件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。

【解析】：(I)当为=3,d=i时

由SQ=(SQ2,得3/+笈2=§/+女尸，即后3(3_])=0又左#0,所以左=4.

(II)设数列｛。“｝的公差为d,则在"=(54中分别取1<=1,2,得

.邑=(邑)2(1)

即4弓+生六(2弓+凶力

马")2(2)

、22

由(1)得ax—0或q=1.当％=0H寸,代入(2)得d=0或d=6,

若为=0,6?=0,则%=0,Sn=0,从而从=(Sk)2成立，

若%=o,d=6,则%=6(〃—1),由S3=18,(S3)2=324,S”=216知多士(邑尸，故所得

数列不符合题意.当％=耐，代入(2)得4+6d=(2+4)2,解得d=。或d=2

若％=1,d=0,则％=1凡=n,从而S/=(Sk了成立;

若q=l,d=2,则％=2n-l,Sn=1+3+・・・+(2几—1)="2,从而5=(5〃)2成立.

综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：

①｛念｝:斯=0,即0,0,0,,,,；②｛斯｝:斯=1,即1,1,1,,,•；③｛斯｝:〃*2n—l,即

1,3,5,…，

第二章圆锥曲线与方程

一、基础知识【理解去记】

1.椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的

距离)的点的轨迹，BP|PFi|+|PF2|=2a(2a>|FiF2|=2c).

第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<l)的点

的轨迹(其中定点不在定直线上)，即

\PF\

-------L=e(0<e<l).

d

第三定义：在直角坐标平面内给定两圆Cl：x?+y2=a2,C2：x2+y2=b2,a,b£R+且aWb。从原点出

发的射线交圆ci于P,交圆C2于Q,过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线

的交点的轨迹即为椭圆。

2.椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义

可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为

x2y2

—+-1(a>b>0)，

ab

x-

参数方程为<icosO(。为参数)。

y-bsin。

若焦点在y轴上，列标准方程为

22

-1(a>b>0)。

a1b2

3.椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆

22

三+与=1,

a~b'

a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别

2

为(土a,0),(0,±b),(±c,0)；与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为％=-J,

C

a2

与右焦点对应的准线为1=——；定义中的比e称为离心率，且6二c上，由c?+b2=a2知0<e<l.

ca

椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。

22

4.椭圆的焦半径公式：对于椭圆j+2r=l(a>b>0),F(c,0),F2(c,0)是它的两焦点。若P(x,

ab

y)是椭圆上的任意一点，则|PFi|=a+ex,|PF2|二a-ex.

5.补充知识点：

几个常用结论：

1)过椭圆上一点P(x0,yo)的切线方程为

2十72-1

ab

2)斜率为k的切线方程为y=kx+^a2k2+b2；

3)过焦点F2(c,0)倾斜角为0的弦的长为

2ab°

a2-c2cos20

6.双曲线的定义，第一定义：

满足||PFiHPF2||=2a(2a<2c=|FF2|,a>0)的点P的轨迹；

第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数|>1|的点的轨迹。

7.双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为

好y2-1

蓝一正八’

x=asec电

参数方程为1"(0为参数)。

y=btan(p

焦点在y轴上的双曲线的标准方程为

22

Hi

ab

8.双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线

x2y2I

---=l(a,b>0),

a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a,0),(a,0).左、右焦点为

22

Fi(-c,0),F2(C,0),对应的左、右准线方程分别为x-~—,x-—.离心率e=&,由a2+b2=c2

cca

kx2v2r2v2

知e>l。两条渐近线方程为y=土勺x,双曲线丁-4=1与丁-==-1有相同的渐近

aabab

线，它们的四个焦点在同一个圆上。若@=卜则称为等轴双曲线。

9.补充知识点：

双曲线的常用结论,

1)焦半径公式，对于双曲线「-「=1,Fi(-c,0),F2(C,0)是它的两个焦点。设P(x,y)

ab-

是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PFi|=ex+a,|PF2|=ex-a；若P(x,y)在左支上，则

|PFi|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.

2)过焦点的倾斜角为6的弦长是二—-——。

a-ccos0

10.抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F

叫焦点，直线1叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线1的直线为x轴，x轴与

1相交于K,以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p,则焦点F坐标

为(§0),准线方程为x=",标准方程为y2=2px(p>0),离心率e=l.

11.补充知识点

抛物线常用结论：若P(xo,yo)为抛物线上任一点，

1)焦半径|PF|=x+(；

2)过点P的切线方程为yoy=p(x+xo)；

3)过焦点倾斜角为6的弦长为一处厂。

1-cos20

12.极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为0,从0出发的射线为极轴记为Ox轴，这

样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P,记|OP|=P,ZxOP=。，则由(P,0)唯一

确定点P的位置，(P,。)称为极坐标。

13.圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P,若0<e<l,

则点P的轨迹为椭圆；若e〉l,则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=l,则点P的轨迹为抛

物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为夕=—"一。

1-ecos^

二、基础例题【必会】

1.与定义有关的问题

22

例1已知定点A(2,1),F是椭圆二+二=1的左焦点，点P为椭圆上的动点，当

2516

31PAi+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。

［解］见图11T,由题设a=5,b=4,c=,52—4?=3,e=f=1.椭圆左准线的方程为

a5

2541

%=——，又因为一+—<1,所以点A在椭圆内部，又点F坐标为(-3,0),过P作PQ

32516

IpFI3<

垂直于左准线，垂足为Q。由定义知^~=则e|PF|=|PQ|。

\PQ\53

所以31PAi+5|PF|=3(|PA|+*|PF|)=3(|PA|+|PQ|)N31AMi^^,左准线于M)。

3

所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时，31PAi+5|PF|取最小值，把y=l代入椭圆方程得

%=±二6,又x〈o,所以点p坐标为(_2叵J)

44

22

例2已知P,P为双曲线C：［=1右支上两点，PP延长线交右准线于K,P国延

a~b~

长线交双曲线于Q,(Fi为右焦点)。求证：/PRK=/KFQ

［证明］记右准线为1,作PDL1于D,于E,因为PE//PD,则^——IPK-I=^-I-P-'-K-I

\PD\\P'E\

网所以3:加二3

又由定义I由三角形外角平分线

\PD\\P'E\\P'Fl|\P'E\\P'K\

定理知，FiK为/PF#的外角平分线，所以/P'KK=/KFIQ。

2.求轨迹问题

例3已知一椭圆及焦点F,点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。

［解法一］利用定义，以椭圆的中心为原点0,焦点所在的直线为x轴，建立直角坐标系,

22

设椭圆方程：三+==1(a>b>0).F坐标为(-c,0).设另一焦点为广。连结A尸，0P,

ab

则OP〃工A尸。所以|FP|+|PO|=L(|FA|+|AF|)=a.

=22

所以点P的轨迹是以F,。为两焦点的椭圆(因为a〉|F0|=c),将此椭圆按向量m=(£,0)平

2

22

移，得到中心在原点的椭圆：5+5=1。由平移公式知，所求椭圆的方程为

a~b

TT

4(X+2)214/^

［解法二］相关点法。设点P(x,y),A(xi,yi),则％=、？。，0=9，BPxi=2x+c,yi=2y.又

2222

因为点A在椭圆二+==1上，所以斗+与=1.代入得关于点P的方程为

abab-

焦点分别为F和O的椭圆。

例4长为a,b的线段AB,CD分别在x轴，y轴上滑动，且A,B,C,D四点共圆，求此

动圆圆心P的轨迹。

［解］设P(x,y)为轨迹上任意一点，A,B,C,D的坐标分别为A(x-■!，()),B(x+3,0),C(O,y-

bb一

-),D(0,y+—),记O为原点,由圆哥定理知|OAMOB|=|OCk|OD|,用坐标表示为

22

272272

2a2b„„22a-b

x=y--，BPx-y=-----

T44

当a=b时,轨迹为两条直线y=x与y=-x；

当a>b时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线;

当a<b时，轨迹为焦点在y轴上的两条等轴双曲线。

7T

例5在坐标平面内，ZAOB=—,AB边在直线l:x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨

3

迹方程。

JT

［解］设NxOB=0,并且B在A的上方，则点A,B坐标分别为B(3,3tan。)，A(3,3tan(0—)),

3

设外心为P(x,y),由中点公式知0B中点为M［p'|tan^j。

由外心性质知丁=^tan6»+tan(e—g).再由PM,05得

y——tan9

------2-———Xtan0=-lo结合上式有

tan(8——)*tan0I——I.①

712

又tan0+tan(。-y)=­y.

所以tan9-tan(6»-y)=731+tan6»-tan|^6»-j两边平方，再将①，②代入得

ID?上二1。即为所求。

412

3.定值问题

2

x/

例6过双曲线丁-七=1(a>。，b>0)的右焦点F作B1B2X轴，交双曲线于BI，B两点，

ab2

B2与左焦点B连线交双曲线于B点，连结BiB交x轴于H点。求证：H的横坐标为定值。

［证明］设点B,H,F的坐标分别为(aseca,btana),(xo,O),(c,O),则Fi,Bi,B2的坐标分

b-b2

别为(-c,0),(c,----),(c,—),因为Fi，H分别是直线B2F,BB1与x轴的交点，所以

aa

abab+acsma三

c=---------------，九0=--------------.①

2。sin。一bcosaasin。+bcosa

42bs+csin。)

所以C%。―2299

2asina+absinacosa-bcosa

42bs+csina)

a1sin2a+absmacosa-b2+c2sin2a

42bs+csina)

〃sina(〃sina+/2cosa)+(csina-Z?)(csina+/?)

,〜口.7a(b+csina)

由①得osina+Z?cosa=-----------

代入上式得“0=——--------

〃2sin。/.7、

一(csina—。)

2

即%=--(定值)。

C

例7设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点，点C在准

线上，且BC〃x轴。证明：直线AC经过定点。

,则。卜，为

［证明］设，以，，丁2

7

p

Q4=＞为)，OC,FA-力3

22

FA//FB,所以"5乃一就％+日yR,即⑸

2P

/

%为

以力为，所以与2+¥=o。所以+£%=°,

2p2I2P2)

以。4〃OC，即直线AC经过原点。

22

xy11

例8椭圆二+上~=1上有两点人，B,满足0A_L0B,。为原点，求证:2+2

a~b2\OA\\OB\

为定值。

JT

［证明］设|0人|=1:1,|08|==2,且/*0人=。，/*08=——I-0,则点A,B的坐标分别为A（ricos

2

0,nsin。），B（-osin0,r2cos0）。由A,B在椭圆上有

zfcos28+片sin23r,2sin261r；cos20

=1,+=1.

b2a2b2

1cos20sin26"

即--=--------1-----①

片4b2

1sin20cos20

--=-------1-------②

启a1b2'

1

①+②得------H--------Y=-r—~（定值）。

\OA\2\OB\-a2b2

4.最值问题

例9设A,B是椭圆（+3/=1上的两个动点，且OALOB（0为原点），求|AB|的最大值与最

小值。

+4=4。设

［解］由题设a=l,b=,ifiIOA|=rb|OB|=r2,--t,参考例8可得

ri2

3丫2

+&2=：解2+片）（:+:）=：（2+J+-L）,

222

cos0sin01a--b2且a?>!/,所以二〈二<］，所以b

因为F=-919---1sin6»,

2a2Y2

不ab-«----a2b2b

WnWa,同理bWeWa.所以又函数f（x）=x+，在2T,1上单调递减，在

abxa

Zi

14上单调递增，所以当t=l即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当/=2或q时，|AB|

b-ab

取最大值逋。

3

例10设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为手，若圆c：x2+（j-|）2=1

上点与这椭圆上点的最大距离为1+J7,试求这个椭圆的方程。

［解］设A,B分别为圆C和椭圆上动点。由题设圆心C坐标为|o,||,半径|CA1=1,因为

AB|^|BC|+|CA|=|BC|+1,所以当且仅当A,B,C共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值

1+V7,所以|BC|最大值为J7.

因为e="；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,椭圆方程为

2

22/1、2

工■+多~=1,并设点B坐标为B(2tcos。，tsin。)，则|BC「=(2tcos。)?+%sin9—

4〃产I2J

91

=3t2sin29-3tsin0+—+4t2=-3(tsin0+—)2+3+4t2.

42

io

若，V—,则当sinO=-1时，出。2取最大值七2+3=+=<7,与题设不符。

24

若t〉一，则当sin9=----时，IBC」取最大值3+4t2,由3+4t2=7得t=l.

2It

r2

所以椭圆方程为一+：/=1。

4

5.直线与二次曲线

例11若抛物线y=ax2-l上存在关于直线x+y=O成轴对称的两点，试求a的取值范围。

［解］抛物线y=ax2-l的顶点为(0,-1),对称轴为y轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条

件是存在一对点P(xbyi),P'(-yb-xi),满足yi=a-1且-xi=a(-yi)2-l,相减得

xi+yi=a(xf一丁；)，因为P不在直线x+y=0上，所以Xi+yiWO,所以l=a(xi-yi),即Xi=yi+—.

a

ii3

所以纱；+%+——1=0.此方程有不等实根，所以△=：!—4。(——1)>0,求得

aa4

即为所求。

V2

例12若直线y=2x+b与椭圆一+丁2=1相交，(I)求b的范围；(2)当截得弦长最大时，

4

求b的值。

［解］二方程联立得17x2+16bx+4(b2-l)=0.由A>0,得—JF7<b<VF7；设两交点为

I

P（X1,y,）,Q（X2,y2）,由韦达定理得|PQ|=J1+左2|xx-x2|=V5x---------„所以当b=0

时，|PQ|最大。

三、趋近高考【必懂】

1.(2010湖南文)5.设抛物线r=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点

的距离是

A.4B.6C.8D.12

【答案】B

22

2.（2010浙江理）（8）设《、凡分别为双曲线0-==1（。>0,6>0）的左、右焦点.若

ab

在双曲线右支上存在点尸，满足I尸耳|=比阊，且工到直线P耳的距离等于双曲线的实轴

长，则该双曲线的渐近线方程为

（A）3x±4y=0（B）3x±5y=0（C）4x±3y=0（D）5x±4y=0

解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，

可知答案选C,本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知

识能力的考察，属中档题

3.（2010陕西文）9.已知抛物线y=2px（p>0）的准线与圆（为-3）2+/=16相切，则p

的值为

（A）-（B）1（C）2（D）4

2

【答案】C

解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系

法一：抛物线/=2px（0〉0）的准线方程为x=—因为抛物线/=2px（0〉0）的准线与

2

圆(x—3)?+/=16相切，所以3+g=4,p=2

法二：作图可知，抛物线/=2°x（0〉0）的准线与圆（x—3）2+/=16相切与点（-1,0）

所以—e=—l,p=2

2

4.（2010辽宁文）（9）设双曲线的一个焦点为尸，虚轴的一个端点为8,如果直线£8与该

双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为

G+1A/5+1

(A)逝(B)G(C)(D)

22

【答案】D

22

解析：选D.不妨设双曲线的焦点在无轴上，设其方程为：工-3=1(。＞0,6＞0)，

ab

则一个焦点为b(c,O),3(0,A)

一条渐近线斜率为：一，直线£8的斜率为：—，；.一,(—)=-1,b2=ac

acac

,,“f,0cV5+1

c2-a2-ac-0,解得e=—=------.

a2

5.(2010辽宁文)(7)设抛物线/=8x的焦点为F，准线为/,P为抛物线上一点，PA，/,

A为垂足，如果直线AF斜率为-百，那么|尸产|=

(A)4百(B)8(C)8A/3(D)16

【答案】B

4

解析：选B.利用抛物线定义，易证尸为正三角形，贝HP厂上＜寸=8

sm30

6.(2010辽宁理)(9)设双曲线的一个焦点为F；虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该

双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为

⑷后⑻G©空⑻空

【答案】D

22

【解析】设双曲线方程为J—1=1(。〉0］〉0),则F(c,0),B(O,b)

ab

bhh

直线FB：bx+cy-bc=O与渐近线y=-X垂直，所以----—=-1,即"=ac

aca

所以＜/-a』G即e'el=0,所以e=生苴^或e=~—(舍去)

22

7.(2010辽宁理)(7)设抛物线y：8x的焦点为F,准线为1,P为抛物线上一点,PALI,A为

垂足.如果直线AF的斜率为-JJ,那么|PF|=

(A)443(B)8(C)843(D)16

【答案】B

【解析】抛物线的焦点F(2,0),直线AF的方程为y=-G(x-2),所以点A(-2,46)、

P(6,4百)，从而|PF|=6+2=8

一x23=1(a〉b〉0)的离心率为左，过右焦

8.(2010全国卷2文)(12)已知椭圆C：—+

a

点F且斜率为k(k>0)的直线于C相交于A、B两点，若AP=3F3。则卜=

(A)1(B)0(C)V3(D)2

【答案】B

［解析］4%,%),_8(%2,%)，・.•AF=3FB,.・.X=—3%,・.・2,设

a=2t,c=y/3tb=t・/+分2-4/=o,直线皿方程为x=sy+5。代入消去X,

2卡ist产

.(§2+4)/+2底=0.M+L卞ML

S2+4

2瓜t2_产2=1

『+4'%s?+4,解得'5,k=y［i

9.(2010浙江文)(10)设0为坐标原点，耳，F2是双曲线X二—aV=1(a>0,b>0)的

焦点，若在双曲线上存在点P,满足NEPF2=60。，IOPI二夜a,则该双曲线的渐近线方

程为

(A)x土百y=0(B)y/3x+y=0

(C)x±V2y=0(D)A/2X±y=o

【答案】D

【解析工选D,本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，

几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题

10.(2010重庆理)(10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且

平行于另一条直线的平面内的轨迹是

A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线

【答案】D

解析：排除法轨迹是轴对称图形，排除A、C,轨迹与已知直线不能有交点，排除B

11.(2010山东文)(9)已知抛物线y2=2px(p〉0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物

线与A、6两点，若线段的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为

(A)x=l(B)x=-l

(C)x=2(D)x=-2

【答案】B

12.(2010四川理)(9)椭圆j+2r=l(a〉6〉0)的右焦点E,其右准线与x轴的交点

ab

为A,在椭圆上存在点月满足线段/尸的垂直平分线过点尸，则椭圆离心率的取值范围是

(4)(0件](B)(0,；(O[72-1,1)5)

【解析]由题意，椭圆上存在点户，使得线段/户的垂直平分线过点E,

即尸点到尸点与4点的距离相等

KII〃2/

而|£4|=------c=—

CC

|PF\£\_a-c,a-\~c\

b1

于是一£[a—c,a+c~\

c

即ac~l}ac+c

etc—c—c

*,a2—c7<etc+c7

Al

Ia

“L-1或2」

a2

又eG(0,1)

故ee[11]

【答案】D

13.(2010江苏卷)18、(本小题满分16分)

在平面直角坐标系切丁中，如图，已知椭圆反+三-二：!的左、右顶点为A、B,右焦点为F。

设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(A，%)、N(x2,y2),其中m>0,

%>0,为<0。

(1)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹;

(2)设X]=2,X2=g,求点T的坐标；

(3)设，=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。

【解析]】

(1)设点P(x,y),则：F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。

9

由PR?—「52=4,得(x—2)2+y2_©_3)2+y2]=4,化简得x=]。

9

故所求点P的轨迹为直线x=一。

2

(2)将X]=2,X2=—分别代入椭圆方程，以及％>0,为<。得：M(2,—)>N(—,——)

直线MTA方程为：1__2=二±2,即丫=工工+1,

5_02+3-3

3

v-0r-355

直线NTB方程为：$一=--,即丁=-X——。

62

T_01_3

93

x=7

联立方程组，解得：\10，

Iy=­3

所以点T的坐标为(7,5)。

(3)点T的坐标为(9,机)

直线MTA方程为：2二°=±2,即y=%(x+3),

m-09+312

直线NTB方程为：上二&=2匚，即丁二竺口―3）。

m-09-36

22

分别与椭圆+三-=1联立方程组，同时考虑到％w-3,々W3,

解得："3（8。-*,工）、N（迎T，—工）。

80+m280+m220+m220+m2

3(加2_20)

加

（方法一）当石W九2时，直线呱方程为:20+2

3(80-m2)3(m2-20)

--------7---：------:

80+m220+m80+m20+m

令y=0,解得：1=1。此时必过点D（1,o）；

当石=々时，直线MN方程为：x=l,与x轴交点为D（l,0）