北京巿通州区2024-2025学年高三第二学期期末考试数学试题（含解析）

北京市通州区2024-2025学年高三第二学期期末考试数学试题试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数根（m-2）+（根2-3m+2）2・是纯虚数，则实数机的值为（）

A.0或2B.2C.0D.1或2

2.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）.

M—2MM-2M

正（主）视图侧（左）视图

0

俯视图

A.2红史S，且2代仁5B.2立eS，且26cS

C.20eS，且26仁5D.2点eS，且

3.已知数列｛%｝是公比为q的等比数列，且%,生，a2成等差数列，则公比q的值为（）

1一1一1

A.----B.—2C.—1或一D.1或一不

222

2

4.双曲线％2—二=1的渐近线方程为()

2

A.y=±^~xB・C.y=AX

y=±%±/2D.y=±y/3x

2

(a7i\1

5.已知sin[,+wJ，贝!Isini的值等于()

7227

A.一一B.一一C.-D.-

9999

z?1nYi

6.已知函数〃x)=「一,若关于x的方程"(x)f-何•(x)+z=二0有4个不同的实数根，则实数加的取值范围为

XO

()

A-（0,|）B.（0,点）C.D.（*/）

7.若单位向量可夹角为60。，%=检式，且同=豆，则实数％=（）

A.-1B.2C.0或一1D.2或一1

8.若复数（2a+i）（l+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数,为（）

11

A.-2B.2C.一一D.-

22

2222/T

9.已知。>3>0,椭圆G的方程与+==1,双曲线。2的方程为二-4=1，G和C，的离心率之积为中，则

a-b-a2b~2

C2的渐近线方程为（）

A.x±V2y=0B.42x+y=0C.x+2y=0D.2x±y=0

10.若直线y=—2与曲线y=l+31nx相切，则左=（）

11

A.3B.-C.2D.-

32

11.相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调.如图的程序是与“三分损

益”结合的计算过程，若输入的x的值为1,输出的x的值为（）

/输

12.为得到二=sm（2二-三）的图象，只需要将二=sin：二的图象（）

A.向左平移二个单位B.向左平移三个单位

C.向右平移二个单位D.向右平移三个单位

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在等差数列（nGN*）中，若々1=。2+。4，。8=一3，则。20的值是-

14.已知△ABC的三个内角为A,B,C,且sinA,sinB,sinC成等差数列，则sin25+2cos5的最小值

为,最大值为.

15.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，若四棱锥尸-ABCD为

阳马，侧棱底面ABC。，且丛=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为R,内切球半径为厂，则

R

2x—y—6<05

16.设第一象限内的点（x,y）满足约束条件'"八，若目标函数z=ax+力（a>0,6>0）的最大值为40,则一+

x-y+2>0a

1的最小值为.

b

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（%）=sinox+cos|OX+]其中XGR,<y>0.

（1）当=l时，求的值；

71

（2）当/（X）的最小正周期为万时，求/Xx）在0,-上的值域.

_4_

18.（12分）在WAA8C中，^ABC=90°.tanNACB.已知E,F分别是BC,AC的中点.将AC即沿所折

2

起，使C到。'的位置且二面角C—跖―5的大小是60。，连接C'8CA,如图：

(1)证明：平面AFC'，平面ABC'

(2)求平面AFC与平面BEC所成二面角的大小.

19.(12分)如图，在四棱锥尸-A5CD中，侧面Q4D为等边三角形，且垂直于底面A3CD,

AB=BC=1,ZBAD=ZABC=900,ZADC=45°，分别是AD,尸。的中点.

(1)证明：平面CA/N//平面RLB；

—.?--

(2)已知点E在棱PC上且CE=§CP,求直线NE与平面PAB所成角的余弦值.

%=3+/cosa

20.(12分)在直角坐标系x0y中，直线/的参数方程为《'c.a为参数).以坐标原点为极点，》轴正半

y=2+/sin。

轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为O=2cos8

(1)求直线/和圆C的普通方程;

11

(2)已知直线/上一点M(3,2),若直线/与圆C交于不同两点A,3,求网+网的取值范围.

21.(12分)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线C：y2^2px(p>0)的焦点F在直线x+y—1=0上，平行

于x轴的两条直线位4分别交抛物线C于A,8两点，交该抛物线的准线于O,E两点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若b在线段上，尸是OE的中点，证明：AP//EF.

22.(10分)如图，/6。=90。,8。=。=1,46，平面3。,乙4。3=60。,后,歹分别是4。,40上的动点，且

AE_AF

~AC~~AD'

(1)若平面班/与平面的交线为/,求证：EF//Z；

(2)当平面6ER_L平面ACD时，求平面B跖与5CD平面所成的二面角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

试题分析：因为复数机（加一2）+。/—3根+2），是纯虚数，所以加（m―2）=。且加2一3〃?+2/0,因此机=0.注意不

要忽视虚部不为零这一隐含条件.

考点：纯虚数

2.D

【解析】

首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.

【详解】

根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，

如图所示：

所以：AB=BC=CD=AD=DE=2,

AE=CE=26，BE=7（2A/2）2+22=2^.

故选：D.

本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

3.D

【解析】

由a1，a3,a2成等差数列得2a3=a1+a2,利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程.

【详解】

22

由题意2a3=a1+a2,2a{q=a1q+a1,2q=q+l,；7=1或4=-工

故选：D.

本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练.

4.C

【解析】

根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.

【详解】

2

・••双曲线炉—匕=1,

2

•••双曲线的渐近线方程为y=±V2x,

故选：C

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.

5.A

【解析】

由余弦公式的二倍角可得，cos(a+^)=l-2sin2R+^U1,再由诱导公式有

cos((z+—)=-sincr,所以sina=一?

29

【详解】

...由余弦公式的二倍角展开式有

cos(a+—)-1-2sin2[―+—=

又'/cos(tz+—)=-sina

..7

..sintz=——

9

故选：A

本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题

6.C

【解析】

求导，先求出“X)在xe(0,6)单增，在.(如,+8)单减，且/⑴01ax=/(历=g知设了⑴=/,则方程

1

[/(%)]29-时(x)+—=0有4个不同的实数根等价于方程

8

11

/9—加/+—=0在(0,_)上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.

82

【详解】

、.尤

依题意，、22xelnx_eQ21nx),

f(x)=

X4X3

令解得

r(x)=O,lnx=g,x=y[e故当X£(0,6)时，/'(%)>0,

当》€(风,+00),/，(x)<0,且

e2

11

故方程/9-7加+—=0在(0,-)上有两个不同的实数根,

82

1

A>0根92―>0

2

〉01m1

故＜-------+—>0

824

0<%+。<1

0<m<1

%>0

解得

故选：C.

本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法:

⑴构造法：构造函数g(x)(g'(x)易求，g'(x)=O可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数

的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解;

(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端

点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.

7.D

【解析】

利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数彳的值.

【详解】

由于所以a=3＞即(猛-可「=3,22^2-22^-^+^2=22-22-COS600+1=3.即万一几一2=0,

解得X=2或4=—1.

故选：D

本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.

8.D

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得。值.

【详解】

解：•.•（2a+i）（l+i）=（2a—l）+（2a+l）i在复平面内所对应的点在虚轴上，

.,.2a-1=0,即a=L

2

故选D.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

9.A

【解析】

根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合G和02的离心率之积为也，即可得。力的关系，进而得双曲线的离心率

-2

方程.

【详解】

2222

椭圆C］的方程\+4=1,双曲线的方程为——2=1，

abab

则椭圆离心率q=,双曲线的离心率g立2+修,

J”——2=

aa

由G和c2的离心率之积为立，

一2

anyja2-b2yja2+b2^3

即eg=--------x--------=——'

aa2

解得2=±立，

a2

所以渐近线方程为y=±交x，

-2

化简可得了土收y=0,

故选：A.

本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.

10.A

【解析】

3,3

设切点为（%,也-2）,对y=l+31nx求导，得到,从而得到切线的斜率上=一,结合直线方程的点斜式化简

xxo

得切线方程，联立方程组，求得结果.

【详解】

设切点为（升,为-2）,

3一二左①，

,.・y=—,・•・<玉）

'b;0-2=1+31nx0（2）,

由①得Ax。=3,

代入②得1+=1,

则无o=1,k=3,

故选A.

该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单

题目.

11.B

【解析】

根据循环语句，输入x=l，执行循环语句即可计算出结果.

【详解】

输入x=l,由题意执行循环结构程序框图，可得：

第1次循环：X=-,z=2<4,不满足判断条件；

3

Q

第2次循环：x=—,i=3<4,不满足判断条件；

9

3232

第4次循环：x=—,z=4>4,满足判断条件；输出结果％=—.

2727

故选：B

本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判

定语句，本题较为基础.

12.D

【解析】

v=sin(2x--)=sin[2(x--)]-

试题分析：因为,S6，所以为得到二=sin(2二一口的图象，只需要将二=血：二的图象向

右平移三个单位；故选D.

考点：三角函数的图像变换.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-15

【解析】

｛4｝是等差数列，则有=g+%，可得出的值，再由。8=-3可得d,计算即得.

【详解】

••,数列｛。“｝是等差数列，二。1+%=。2+。4，又《!=4+&，，%=°，

:.d=^~|5-=^=-1,故a2。=%+15d=-15.

故答案为：-15

本题考查等差数列的性质，也可以由已知条件求出为和公差d,再计算

14.6+13^/3

2

【解析】

2,2_T2

根据正弦定理可得26=a+c,利用余弦定理cos3=°一以及均值不等式,可得角3的范围，然后构造函数

lac

f(B)=sin2B+2cosB,利用导数，研究函数性质，可得结果.

【详解】

由sinA,sin5,sinC成等差数列

所以2sin5=sinA+sinC

nc

所以=a+c=b=

laclac

c3a2+3c2-lac、6ac-2ac1

化简可得cosB=---------->---------=-

当且仅当a=c时，取等号

又3€（0,%）,所以Be］。,（

令/（A）usinZB+ZcosB,5e］o,g

则/（B）=2cos2B-2sinB=2-4sin2B-2sinB

/（B）=-2^sinB-|j（sinB+l）

当sinB〉g,即Be［,］时，/（B）＜0

当sinB＜g,即时，/（B）＞0

则/⑶=sin23+2cos5在］o嗜递增，在［,递减

所以盘x⑻=/g=sing+2cos"学

I。/3oz

由/（0）=sin0+2cos0=2,

（乃）.2乃71A/3

t—=sin-----Fzcos—=-----Fl

^3）332

所以九n（8）=C［="+1

所以sin25+2cos3的最小值为3+1

2

最大值为之叵

2

故答案为：走+1,巫

22

本题考查等差数列、正弦定理、余弦定理，还考查了不等式、导数的综合应用，难点在于根据余弦定理以及不等式求

出Be］。,。,考验分析能力以及逻辑思维能力，属难题.

15.叵

2

【解析】

该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出/?=巫，内切球。1在侧面B4D内的正视图是

2

R

AR4D的内切圆，从而内切球半径为厂_|,由此能求出一.

r

【详解】

••・四棱锥尸—A5CD为阳马，侧棱底面A3CD,

且上4=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为E，

,该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，

.-.（27?）2=AB2+AD2+AP2=16+16+9=41,

:心叵，

2

・•・侧棱24,底面ABCD，且底面为正方形，

•••内切球。1在侧面PAD内的正视图是八出。的内切圆，

・•・内切球半径为r=产=1,

故幺回.

r2

故答案为叵.

2

P

本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题.解

决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有

很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心

垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则

球心一定在垂线上.

【解析】

不等式表示的平面区域阴影部分，

当直线ax+0y=z(a>0,Z?>0)过直线x-y+2=0与直线2x-y-6=0的交点(8,10)时,

目标函数z=ax+by(a>0,6>0)取得最大40,即8a+100=40,即4a+56=20,

,51(5l}4a+5b5C5ba)5,9

abb)204^4tz5b)44

当且仅当¥=5■时取等号，

4a5b

519

则一+7的最小值为7.

ab4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)B(2)--1

212」

【解析】

⑴根据。=1,得到函数/(x)=sinx+cos(x+£,然后，直接求解/(?)的值；

JTJT

(2)首先，化简函数/(x)=sin(ox+g),然后，结合周期公式，得到0=2,再结合xe0,-,及正弦函数的性

质解答即可.

【详解】

(1)因为0=1,所以/(x)=sinx+cos

(2)因为/(x)=sin(ox+cos®x+—

I6

.7C.71

-sincox+coscoxcos----sincoxsin—

66

22

=sin(DX+—

I3

即/W=sin[0x+g

2〃

因为T=——="，所以。二2

G)

所以/(x)=sin襄x+g

秒3

jr

因为工£0,—

_4

~,八兀「〃5»

所以

3|_3o

所以当x=0时，以Q力.当x=2时，/(幻=1(最大值)

J212

7C1

当兀=:时，/(%)=-

42

nTTTT

/(元)在0,—是增函数，在—是减函数.

L12J1124j

・・•/(x)的值域是1,1.

本题主要考查了简单角的三角函数值的求解方法，两角和与差的正弦、余弦公式，三角函数的图象与性质等知识，考

查了运算求解能力，属于中档题.

18.(1)证明见解析(2)45°

【解析】

(1)设AC'的中点为G,连接尸G,设的中点为〃，连接GH,EH,从而N5EC'即为二面角。'一防―5的

平面角，ZBEC=60°，推导出从而即，平面BEC',则ABLE",即石进而即■，平

面ABC',推导四边形EHGR为平行四边形，从而FG〃EH,产G,平面ABC',由此即可得证.

(2)以B为原点，在平面BEC'中过B作8E的垂线为x轴，BE为y轴，册为z轴建立空间直角坐标系，利用向量

法求出平面AFC与平面BEC'所成二面角的大小.

【详解】

(1):产是AC的中点，••.AE=C'E.

设AC'的中点为G,连接尸G.

设BC'的中点为连接GH,EH.

易证：CE±EF,BEVEF,

ZBEC即为二面角C—跖―3的平面角.

ZBEC=60°;而E为的中点.

易知BE=EC',...ABEC'为等边三角形，•••①

•/EF±CE,EFLBE，。石门3£=E，EEL平面BEC'.

而EF〃AB,，AB,平面BEC,ABLEW,即②

由①②，3C'nAB=3,平面ASC'.

,:G,H分别为AC,3C的中点.

.••四边形EHGb为平行四边形.

AFG//EH,FG，平面ABC',又FGu平面AFC'.

平面AFC'，平面ABC.

(2)如图，建立空间直角坐标系，设A3=2.

则A(0,0,2),8(0,0,0),F(2,0,l),E(2,0,0),C(1,73,0)

显然平面BEC的法向量沆=(0,0,1),

设平面AEC'的法向量为为=(x,y,z),AC=(1,43,-2),AF=(2,0,-1),

2x-z=0/、

：.\r-，工万=1,。3,2.

x+y/3y-2z=0、'

__fh-ii\[2

cosm,n=----=——，

|m|-|n|2

由图形观察可知，平面AFC与平面BEC所成的二面角的平面角为锐角.

平面AFC'与平面所成的二面角大小为45。.

本题主要考查立体几何中面面垂直的证明以及求解二面角大小，难度一般，通常可采用几何方法和向量方法两种进行

求解.

19.(1)证明见解析；(2)—.

2

【解析】

(1)由平面几何知识可得出四边形ABCM是平行四边形，可得CM//AB〃面R43,再由面面平行的判定

可证得面面平行；

(2)由(1)可知，两两垂直，故建立空间直角坐标系，可求得面研8的法向量，再运用线面角的向量

求法，可求得直线NE与平面R45所成角的余弦值.

【详解】

(1)•.•N5AZ)=ZA5C=90°，..AD/ABC,又ZAOC=45°，AB=BC=1,:.AD=2,

而Af、N分别是AD、PD的中点，.1MN/ARA,故MV//面PLB,

又40//6。且40=3。，故四边形A3CM是平行四边形,二。以//48n。0//面7^5,

又MN,CM是面CMN内的两条相交直线，故面Q0N//面R43.

(2)由(1)可知，两两垂直，故建系如图所示，则

A(0,-l,0),B(l,-l,0),C(l,0,0),D(0,l,0),P(0,0,6),N(0,；与,

AB=(1,0,0),PA=(0,-1,-,-：CE=^CP,:.E和孚)...屉=(»今，

JQ——Q

设“=(X,y,z)是平面出8的法向量＜厂,

=走,

一y

本题考查空间的面面平行的判定，以及线面角的空间向量的求解方法，属于中档题.

,,27711＜逑

20.(1)xsin(z-_ycos(z+2cosa-3sin(z=0,%2+y2-2x=0；(2)?〈

7

【解析】

p2=%2+y1

分析：(1)用代入法消参数可得直线的普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程;

pCOS0=X

(2)把直线/的参数方程代入曲线。的直角坐标方程，其中参数/的绝对值表示直线上对应点到〃的距离，因此有

11

|M4|=同，I网=%卜,直接由韦达定理可得西+网，注意到直线与圆相交，因此判别式＞0,这样可得a满足

11

的不等关系，由此可求得阿的取值范围.

x=3+tcosa

详解：(1)直线/的参数方程为《

y=2+tsina'

普通方程为xsintz-ycosoc+2cosc-3sina=0,

将夕=G+Jcos。=二代入圆。的极坐标方程p=2cos，中,

P

可得圆的普通方程为V+V-2x=0,

%=3+tcosa

(2)解：直线/的参数方程为《代入圆的方程为炉+y2—2%=。可得:

y=2+tsina

r+(4cosa+4sina"+7=0(*),

且由题意tx+t2=-4(coscif+sincr),64=7,

11_\MA\+\MB\=,+』=4]।

\MB\~\MA\-\MB\-皿-711-

因为方程(*)有两个不同的实根，所以△=16(cosa+sino)2-28>0,

即|sina+coscrl>，

112

又sina+cos。=

所以卜ina+cosa|

,所以472

因为卜ina+cosa|gkina+cosa|归£沔,

1,1/4夜

\MA\\MB\~7

点睛：(1)参数方程化为普通方程，一般用消参数法,而消参法有两种选择:一是代入法，二是用公式cos?o+sii?。=1；

x=pcos3

(2)极坐标方程与直角坐标方程互化一般利用公式I>二Psin。；

x2+y2=2p

JQ—x+1cosa

(3)过P(%,%)的直线/的参数方程为°.(，为参数)中参数/具有几何意义：直线上任一点”对应

y=%+%sm。

参数/,则

21.(1)y2=4x；(2)见解析

【解析】

(1)根据抛物线的焦点在直线x+y-1=。上，可求得。的值，从而求得抛物线的方程;

(2)法一：设直线4，6的方程分别为丁=。和J=匕且。W0，b^O,a'b,可得A，B,D,E的坐标，进而

可得直线A3的方程，根据尸在直线A3上，可得ab=T,再分别求得您?，k■EF>即可得证；法二：设A(%,yJ,

5(%,%)，则根据直线A5的斜率不为0,设出直线的方程为％—1=冲，联立直线和抛

物线C的方程，结合韦达定理，分别求出左"，左EF，化简左AP—左EF，即可得证.

【详解】

(1)抛物线C的焦点厂坐标为［々刀］,且该点在直线x+y-1=0上，

所以—1=0,解得。=2,故所求抛物线C的方程为V=4x

/2A

(2)法一：由点尸在线段AB上，可设直线/r4的方程分别为丁=。和丁=人且a/0,b刈，出b,则Aga,

I4y

(12、

B—,b,_D(—l,a),E(-1,b).

、4

_b-a(a1、

a2

..•直线AB的方程为＞~b4J，即4x—(a+b)y+ab-Q.

4-4

又点歹(1,0)在线段AB上，=

；产是OE的中点，,

a+b4

ci〃+o44

•k=_____2_=___Q-=-h——?

..a2,—/+「/超=V=_=

k'

—+1-2-2aAP

42

由于AP,所不重合，所以AP//EF

法二：设B(x2,y2),贝ijp11,

当直线AB的斜率为0时，不符合题意，故可设直线A6白勺方程为1—1=加丁

x-l=myc

联立直线AB和抛物线C的方程《，，得丁―4口y-4=0

y~=4x

,k，一;(%十%)—…,k-

又%,为为该方程两根，所以％+%=4m,％%=-4

AP2

~x1+l2(x1+l)-

%—4%

k_k二X_%+%(=+1)必+%\X+%4X+4kEF=kA