重庆市九龙坡区2024届高三下学期二诊数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆市九龙坡区2024届高三下学期二诊数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（）1.设集合，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函数中，，解得，即，解不等式，得或，则或，，对于A，或，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：D.2.已知复数z满足，则复数z在复平面内的对应点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗设R)，则，由，得，即，所以，解得，故，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B.3.设为正项等比数列的前n项和，已知，，则的值为（）A.20 B.512 C.1024 D.2048〖答案〗C〖解析〗设正项等比数列的公比为，则当时，由得：，不满足，所以，则，又因为，,所以可得：，化简得：，解得，所以，故选：C.4.民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺在山西夏县的新石器时代遗址中发现．如图，是一个陀螺的立体结构图（上端是圆柱，下端是圆锥），已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得圆锥体的母线长为，所以圆锥体的侧面积为，圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，所以此陀螺的表面积为（），故选：B.5.过抛物线焦点的直线交该抛物线于点M，N，已知点M在第一象限，过M作该抛物线准线的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则的长度为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，，则,在中，，故，即点的纵坐标为，代入中，解得，则，因，则直线的斜率为，于是，代入，整理得：，解得或，即.故.故选：C.6.有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X形成一组新的数据，且，则新的样本数据的第25百分位数不变的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得，，由于，，所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数，所以，当X为1，2，3，4时，新的样本数据的第25百分位数不变，所以，新的样本数据的第25百分位数不变的概率是.故选：D.7.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．则a的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，得，即，所以，又，所以，即，所以，又，由正弦定理，得，所以.故选：A.8.已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由函数图象关于点中心对称，知函数图象关于点中心对称，所以为奇函数.令，则，所以为偶函数，对于，有，所以在上单调递增，所以在上单调递减.由，得，，当时，变形为，即，解得；当时，变形为，即，解得，综上，不等式的解集为.故选：B.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗对于A：∵，幂函数在上单调递增，且，∴，故选项A错误；对于B：∵，∴函数在上单调递减，又∵，∴，∴，即，故B正确；对于选项C：∵，则，幂函数在上单调递减，且，∴，∴，故选项C正确；对于选项D：由选项B可知：，∴，∵，∴，∴，故D错误.故选：BC.10.已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（）A.B.为偶函数C.在上单调递增D.若，则的最小值为〖答案〗BD〖解析〗由函数的图象关于直线对称可得：，解得：，又因为，所以，即选项A是错误的；此时，则为偶函数，所以选项B是正确的；当，，此时正弦函数在区间上不单调，所以选项C也是错误的；因为，所以，而，则的最小值就是半个周期，即，所以选项D是正确的.故选：BD.11.已知，是双曲线的左、右焦点，且，点P是双曲线上位于第一象限内的动点，的平分线交x轴于点M，过点作垂直于PM于点E．则下列说法正确的是（）A.若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为2B.当时，面积为C.当时，点M的坐标为D.若，则〖答案〗AC〖解析〗A：易知，又双曲线的一条渐近线方程为，则到该渐近线的距离为，又，所以，所以，得双曲线的离心率为，故A正确；B：在中，，得，由余弦定理得，即，得，所以的面积为，又，所以，故B错误；C：因为，，所以，由角平分线定理可得，得，又，所以，又，所以，故C正确；D：延长交于点，连接，如图，易知，即，所以，又分别是的中点，所以，所以，又点P在第一象限，故直线的斜率必小于渐近线的斜率，设渐近线的倾斜角为，由，得，则，即，整理得，又，所以，解得，故D错误.故选：AC三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在平面直角坐标系xOy中，已知点，，是直线上任意一点，则______．〖答案〗12〖解析〗由，，可得，设，可得，因为是直线上任意一点，所以，即，所以.13.有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为_________.（用数字作答）〖答案〗60〖解析〗当人中有三人被录取，则不同的录取情况数为，当4人全部被录取，则不同的录取情况数为，综上不同的录取情况数共有种.14.若函数在定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设，若是的一个“点”，则实数a的值为______；若为“函数”，则实数的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗根据定义，若是一个“点”，则，即，得.若“函数”，则存在“点”，设为，则，即.不妨设，则由可知，这得到，所以；若，取，则.所以，故是的“点”，所以为“函数”.综上，使得为“函数”的的取值范围是.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，过棱的中点E作于点，连接．（1）证明：；（2）若，求平面与平面所成角的正弦值．（1）证明；∵四边形为矩形，∴，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴．∵，点E是的中点，∴．又，平面，∴平面．平面，∴．又，,平面，∴平面，平面，∴．（2）解：如图，因两两垂直，故可以A为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，∴，．由（1）可知，可看成平面的一个法向量，可看成平面的一个法向量．设平面与平面的所成角为，∴，∴，∴平面与平面所成角的正弦值为．16.已知函数．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）设函数的极大值为，求证：．（1）解：当时，，且即函数的导数：，所以函数在点的斜率，又，所以函数在点的切线方程为：，即．（2）证明：由得函数导数为：．所以当，，单调递增，当，，单调递减，所以函数的极大值为：．要证明，即证明，设，且.则导数为：，所以当，，单调递减，当，，单调递增，所以，即即，所以．17.某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为200元、400元、600元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束．选手甲参加该闯关游戏，已知选手甲第一、二、三关闯关成功的概率分别为，，，每一关闯关成功选择继续闯关的概率均为，且每关闯关成功与否互不影响．（1）求选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；（2）设选手甲所得总奖金为X，求X的分布列及其数学期望．解：（1）根据题意得，选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零的事件分为两类情况：第一种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关失败，其概率为：；第二种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关成功，第三关闯关失败，其概率为：；记“选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零”为事件A，∴．（2）根据题意得：X的可能取值为：0，200，600，1200，∴，，，，∴X的分布列为：X02006001200P∴X的期望为：．18.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，两焦点，与短轴的一个顶点构成等边三角形，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线交于点D．①设内切圆的圆心为I，求的最大值；②设，，证明：为定值．（1）解：由题意得：解得，∴椭圆C的标准方程是．（2）如图，①解：因为I为的内切圆圆心，则，显然∠IAB是锐角，当且仅当∠IAB最大时，最大，即须使最大，又，则须使最小，在椭圆中，，，在中，由余弦定理，．当且仅当时取等号，即当时，为正三角形时，取得最大值，∠IAB取最大值，此时的最大值为；②证明：由（1）知，由条件可知的斜率存在且不为0，设l的方程为，则，令可得．联立方程得，，设，，则，，由可得，则有，解得，同理．∴．故为定值．19.高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王