广东省部分名校2025届高三上学期8月入学摸底联合测评考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省部分名校2025届高三上学期8月入学摸底联合测评考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.能正确表示图中阴影部分的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗图中阴影部分表示的是中的元素除去中的元素所剩下的元素，对比选项可知，只有A符合题意.故选：A2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗由题意，，，故.故选：B.3.已知向量，且，则的值为（）A.1 B.2 C. D.-2〖答案〗D〖解析〗由，，由，得，所以，得故选：D.4.石墨烯是一种由单层碳原子构成的具有平面网状结构的物质，其结构如图所示，其中每个六边形的顶点是一个碳原子的所处位置.现令六边形为中心六边形，其外围紧邻的每个六边形构成“第一圆环”，“第一圆环”外围紧邻的六边形构成“第二圆环”，以此类推.则“第七圆环”上的碳原子数为（）A.42 B.120 C.168 D.210〖答案〗C〖解析〗记“第n圆环”最外层的碳原子个数为，依题意,,，由此可以归纳出，“第二圆环”上的碳原子个数为,“第三圆环”上的碳原子个数为,由此可得“第n圆环”上的碳原子个数为,所以“第七圆环”的碳原子个数为，故选：C.5.在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知：圆的圆心为O0,0，半径，设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为，若圆与圆外切，则，，可得；若圆与圆内切，则，，可得；综上所述：，可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，则，所以动点P的轨迹方程为.故选：B.6.现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（）A.14种 B.18种 C.12种 D.7种〖答案〗A〖解析〗从3名男剅师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，共有20（种），没有女厨师被选中的选法共有（种），故至少有1名女厨师被选中的不同选法有（种）.故选：A.7.设分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，直线与以为圆心、为半径的圆切于点为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，，，因为直线与以为圆心、为半径的圆切，所以，因此由勾股定理可知，又，所以，因此，由勾股定理可得，根据椭圆定义，.故选：B.8.在正四棱锥中，是线段上的动点．设直线与直线所成的角为，二面角为，直线与平面所成的角为，这三个角的关系正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，取中心中点连接，使得，由题可知，，，且，，均为锐角，由于平面，平面，所以,又平面，所以平面，平面，故,因此，，因为，所以，因为，所以，所以，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知的展开式共有13项，则下列说法正确的有（）A.所有奇数项的二项式系数和为B.二项式系数最大的项为第7项C.所有项的系数和为D.有理项共有5项〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为，所以，则所有奇数项的二项式系数和为，故A正确；对于B，由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故B正确；对于C，令，得所有项的系数和为，故C错误；对于D，展开式的通项为，当为整数时，，共有5项，即有理项共有5项，故D正确．故选：ABD．10.中，D为AB上一点且满足．若P为线段CD上一点，且（为正实数），则下列结论正确的是（）A. B.C.的最大值为 D.的最小值为3〖答案〗AD〖解析〗，故A正确；由，所以，又三点共线，，即，故B错误；由为正实数，，得，当且仅当时等号成立，故C错误；，当且仅当时等号成立，故D正确．故选：AD．11.若的定义域为，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是（）A.B.为偶函数C.为奇函数D.〖答案〗BCD〖解析〗A中：令，得，又，所以，故A不选；B中：令得，，所以，而的定义域是全体实数，所以为偶函数，故B选；C中：令，得，所以，又，而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C选；D中：,所以，所以，故4是的周期，又，所以，故D选.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为__________.〖答案〗〖解析〗依题意甲队在一轮比赛中得分的概率为，甲队在一轮比赛中得分的概率为，乙队在一轮比赛中得分的概率为：，乙队在一轮比赛中得分的概率为：，设在这一轮中，满足且为事件，则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，所以，即在这一轮中，满足且的概率为.13.若曲线的切线为，则一组满足条件的的取值为__________．〖答案〗〖解析〗设切点为，由，得，则由题意得，所以，，所以，所以.14.省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为______米.〖答案〗〖解析〗建利坐标系如图，设抛物线方程为且，则根据题意可知图中坐标为，所以，可得，所以抛物线方程为，令，代入方程，解得，可得到水面两点坐标分别为所以水面的宽度为米．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形．（1）求的值；（2）若，且，求的值；（3）求关于的方程在上的最大根与最小根之和.解：（1）正三角形的高为，，函数的周期，．（2），由（1）有，即，而由，知，所以，．．（3），当，，设与（）的图象交点的横坐标最小为，最大为，令，则或，解得或，则当且仅当时，最小，当且仅当时，最大，即此方程在内所有最小根为：1，最大根为．两个之和为.16.某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85.从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加0.01.（1）求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多；（2）求该工厂今年全年生产的合格产品的数量.参考数据：，.解：（1）记从今年1月起，第月的产量为，第月的产品合格率为.由题可知，数列为等比数列，首项，公比，数列为等差数列，首项，公差，所以，，所以今年2月份生产的不合格产品数为；设第月生产的不合格产品数为，则，所以，当时，；当时，；当时，，所以，即5月或6月生产的不合格产品数最多；（2）设今年前个月生产的合格产品总数为，则，由于，，所以①，②，①－②得，所以，即该工厂今年全年生产的合格产品总数约为19604个.17.如图，在四棱锥中，为的中点，平面．（1）求证：；（2）若，．（i）求证：平面；（ii）设平面平面，求二面角的正弦值．（1）证明：取的中点，连接，因为为的中点，所以，，因为，所以，所以四点共面，因为平面，平面平面，平面，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以；（2）（i）证明：取的中点，连接，由（1）知，所以，因为，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，所以，即，因为，所以，因为，所以与全等，所以，即，因为，又因为，、平面，所以平面；（ii）解：由（i）知平面，而平面，所以，因为，建立如图所示空间直角坐标系，则，，所以，，设平面的法向量为n=x,y,z,则令，则，于是，因为为平面的法向量,设二面角为，由图可得所以,所以二面角的余弦值为，则二面角的正弦值为．18.在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3.（1）若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率;（2）若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列.解：（1）由题意可得共有（种）不同的抽法，抽取的四个球中，标号为1，2，或1，3的种数有，标号为2，3的种数有，抽到1,2,3的种数有，合计（种）不同的抽法，所以抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率为.（2）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，4.，，，，所以的分布列为X01234P19.在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点.（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点.①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程；②求点A到直线的距离的最大值.解：（1）若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为，且抛物