江苏省南通市部分学校2025届高三上学期8月联合统一调研测试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市部分学校2025届高三上学期8月联合统一调研测试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，解得或，所以，又，所以.故选：C.2.当m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗m（3+i）﹣（2+i）化简得（3m﹣2）+i（m﹣1），∵，∴3m﹣2＞0，m﹣1＜0，∴所对应的点在第四象限，故选：D.3.空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作平面个数为（）A.42 B.56 C.64 D.81〖答案〗B〖解析〗根据题意知“三个不共线的点确定一个平面”，且所确定的平面与点的顺序无关，所以共可确定的平面个数是个.故选：B.4.若直线l的方程为x-ysinθ+2=0，则直线l的倾角的范围是（）A.[0，] B.[，] C.[，] D.[，）∪（，）〖答案〗C〖解析〗当时，方程为，倾斜角为，当时，直线的斜率，所以，即，综上，故选：C．5.在中，，BC边上的高等于,则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设,故选C.6.考虑以为样本空间的古典概型．设X和Y定义上，取值的成对分类变量，则“与独立”是“与独立”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗与独立，则，即，.即，故“与独立.反之亦然.故选：A.7.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A.平均数为3，中位数为2 B.平均数为2，方差为2.4C.中位数为3，众数为2 D.中位数为3，方差为2.8〖答案〗B〖解析〗对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，若平均数为2，且出现6点，则方差，则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故B正确；对于C，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故C错误；对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为，方差为，可以出现点数6，故D错误；故选：B．8.已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设的中点，所以，易知，由点差法可得，若，此时，与双曲线联立，即lAB与双曲线只有一个交点，故A若，则此时，与双曲线联立，即lAB与双曲线有两个交点，故B若，则此时，与双曲线联立，即lAB与双曲线有一个交点，故C若，则此时，与双曲线联立，显然无解，即lAB与双曲线没有交点，故D故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（）A.P(X＞32)＞P(Y＞32)B.P(X≤36)＝P(Y≤36)C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车〖答案〗BCD〖解析〗A.由条件可知，，根据对称性可知，故A错误；B.,，所以，故B正确；C.=，所以，故C正确；D.，，所以，故D正确.故选：BCD.10.半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（）A.平面EABB.该二十四等边体的体积为C.该二十四等边体外接球的表面积为D.PN与平面EBFN所成角的正弦值为〖答案〗BD〖解析〗对于A，假设A对，即平面，于是，，但六边形为正六边形，，矛盾，所以A错误；对于B，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为，所以B对；对于C，取正方形对角线交点，即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为，其表面积为，所以C错误；对于D，因为在平面内射影为，所以与平面所成角即为，其正弦值为，所以D对．故选：BD．11.声音中包含着正弦函数，周期函数产生了美妙的音乐.若我们听到的声音的函数是，则（）A.的最小正周期是B.是的最小值C.是的零点D.在存在极值〖答案〗ACD〖解析〗对于A选项，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，且，因此，函数的最小正周期是，A对；对于B选项，因为，又因为，故不是的最小值，B错；对于C选项，对任意的，，故是的零点，C对；对于D选项，，则，当时，，则，令可得，所以，，可得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，因此，在存在极值，D对.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则______.〖答案〗2或5〖解析〗由题意，平面向量，，两两的夹角相等，包括两种情况，可得两两夹角为或两两夹角为，当两两夹角为时，可得，则；当两两夹角为时，可得，则．13.已知为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则的面积为________．〖答案〗〖解析〗设，，由得，，所以，，所以，因为点到直线的距离，所以.14.如图，正方形ABCD的边长为5，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形IJKL，依次方法一直继续下去，则所有这些正方形的面积之和趋近于________．〖答案〗50〖解析〗记第个正方形的面积为，第个正方形的边长为，则第个正方形的对角线长为，所以第全正方形的边长为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以若这个作图过程可以一直继续下，则所有这些下方形的面积之和将趋近于常数50.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数．（1）求动点M的轨迹E；（2）在E上是否存在一点使得它到直线的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由．解：（1）设d是点M到直线的距离，根据题意，动点M的轨迹E就是集合．由此得．将此式两边平方，并化简，得，所以M的轨迹E为．（2）由直线方程方程可知与坐标轴交点为，易知此直线与椭圆无公共点，设直线m与该直线平行，则直线m的方程可以写成．由方程组，消去y，得．令其根的判别式，解得或，当时，直线与椭圆的公共点到直线的距离最小，最小距离．16.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记．（1）求MN的长；（2）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．解：（1）以B原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，因为，所以，，所以．（2），当时，最小，此时，M，N为中点，则，），取MN的中点G，连接AG，BG，则，因为，，所以，，所以是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角，因为，，所以，所以平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是．17.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证．（1）解：当时，，则，又，，所以切线方程为：，即．（2）证明：当，时，，则有，故只需证明当时，．当时，函数在区间上单调递增，又，，故在区间上有唯一实根，且，当时，；当x∈x0,+从而当时，取得最小值，由，得，，故，综上，当时，．18.根据某地区气象水文部门长期统计，可知该地区每年夏季有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.05.（1）从该地区抽取的年水文资料中发现，恰好3年无洪水事件的概率与恰好4年有洪水事件的概率相等，求的值；（2）今年夏季该地区某工地有许多大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失20000元.为保护设备，有以下3种方案：方案1：修建保护围墙，建设费为3000元，但围墙只能防小洪水.方案2：修建保护大坝，建设费为7000元，能够防大洪水.方案3：不采取措施.试比较哪一种方案好，请说明理由.解：（1）∵该地区每年夏季有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.05∴即该地区每年夏季无洪水的概率为，∵该地区抽取的年水文资料中发现，恰好3年无洪水事件的概率与恰好4年有洪水事件的概率相等，且符合独立性重复试验二项分布，∴，解得，∴；（2）设方案1、方案2和方案3的损失为随机变量为、和，分布列分别为：方案1，，3000600000.950.05∴，方案270001∴，方案3，，020000600000.70.250.05∴，∴方案1的期望值最小，选择方案1好.19.将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．（1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；（2）计算以下数列的逆序数．（ⅰ）；（ⅱ）；（3）已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数．解：（1）由1，2，3，4构成的逆序对有，，，，，．若第一个数