黑龙江省齐齐哈尔市多校2025届高三第一次联考（月考）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省齐齐哈尔市多校2025届高三第一次联考（月考）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）A.7 B.8 C.31 D.32〖答案〗A〖解析〗由题得，所以，有是三个元素，所以真子集个数为.故选：A.2.已知，，则“，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗A〖解析〗因为，，则“，，所以，所以“，”是“”的充分条件；当，可满足，所以“，”是“”的不必要条件.故选：A3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（）A.3.8小时 B.4小时 C.4.4小时 D.5小时〖答案〗B〖解析〗由题意可知，即有，令，则有，解得，，故还需要4小时才能消除至最初的.故选：B.4.若函数的值域为，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函数的值域为，则函数的值域应包含，则有，解得或，所以的取值范围是.故选：D.5.已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗点在幂函数的图象上，则有，解得，有，则在R上单调递增.由，，则，所以，即.故选：C.6.已知函数，若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知，当时，恒成立，即恒成立，即有在上恒成立，令，则，故当时，，当，，即在上单调递减，在上单调递增，即，即有；当时，，由题意可得，当，，当，，则有当，，当，，分别解得，，即；综上所述：.故选：D.7.设函数,的零点分别为、,则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得是函数的图象和的图象的交点的横坐标，是的图象和函数的图象的交点的横坐标，且，都是正实数，如图所示：故有，故，，，，故选：B．8.已知，，，且，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得，且，因此，令，则；又；当且仅当时，即时，等号成立；此时的最小值为.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数与是相同的函数B.函数的最小值为6C.若函数在定义域上为奇函数，则D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由题意可得，解得，所以的定义域为，．由得，所以的定义域为,．又因为，故函数与是相同的函数，故A正确．对于B,，当且仅当时取等号．由于方程无解，故等号不成立，故B错误．对于C,若为定义域上为奇函数，故定义域需要满足，则，否则，定义域不关于原点对称，进而可得定义域为,故，解得，经检验符合题意，故C正确，对于D，对于已知函数f2x+1的定义域为，则，故，则函数的定义域为，D正确，故选：ACD．10.若，且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗因为，且，所以，所以，即，故A正确；因为，，所以，故B错误；因为，所以，故C正确；当时满足题设条件，但不成立，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若在上单调递增，则的取值范围是B.点为曲线的对称中心C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是D.若存在极值点，且，其中，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A，由，可得，若在上单调递增，则对恒成立，所以对恒成立，所以对恒成立，所以，所以的取值范围是，故A错误；对于B，由，可得，又，所以，令，又，所以关于原点对称，所以点为曲线的对称中心，故B正确；对于C，因为，，所以，所以，设切点为，则切线的斜率，化简得，由条件可知该方程有三个实根，所以有三个实根，记，所以，令，解得或，当，，所以在上单调递增，当，，所以在上单调递减，当，，所以在上单调递增，当时取得极大值，当时，取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以，解得，故选项C正确；对于D，因为，所以，当，在上单调递增；当，由，解得或，由，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；因存在极值点，所以，得，令，所以，因为，于是，又，所以化简得：，因为，所以，于是，.所以，故选项D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12._________.〖答案〗〖解析〗．13.已知函数y=x称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式的解集为______；当时，的最大值为______.〖答案〗〖解析〗由，即，解得，又x表示不超过的最大整数，故；当x∈0,1时，，则，当时，，当且仅当，即时，等号成立，即当时，的最大值为.14.设函数，若，则的最小值为_________.〖答案〗〖解析〗当时，，则，即，当时，，则，即，即有，即，则，令，，，则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故，即的最小值为.四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集，集合，.（1）若，求和；（2）若，求的取值范围.解：（1）若，则，，则，；（2）由，则，当时，即恒成立，即；当时，即时，，由，则有或，分别解得，无解，故；综上所述：.16.已知关于的不等式的解集为.（1）求，的值；（2）若，，且，求的最小值.解：（1）不等式的解集为，和是方程的两个实数根，且，，解得；（2）由（1）知，于是有，，，所以当且仅当且，即等号成立，故的最小值为17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.解：（1），当时，恒成立，故当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增；当时，令，解得或，则当，即时，恒成立，即在上单调递增；当，即时，当时，，当时，，故在、上单调递增，在上单调递减；当，即时，当时，，当时，，故在、上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减；（2）由题意可得对任意的恒成立，即对任意恒成立，即对任意的恒成立，令，，则，当时，恒成立，故在上单调递增，则，符合要求；当时，令，解得，即当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，即，则有，令，即，令，，则，即在上单调递减，即，即当时，恒成立，不符合要求；综上所述，.18.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求的值，并证明：在上单调递增；（2）求不等式的解集；（3）若在区间上的最小值为，求的值.（1）证明：是定义域为上的奇函数，，，，，此时，经检验，符合题意；函数的定义域为，在上任取，，且，函数在上单调递增，（2）由（1）可知，且在上单调递增的奇函数，由可得，，即，或，不等式的解集为或；（3），，．令，，，，当时，当时，，则（舍去）；当时，当时，，解得，符合要求，综上可知或．19.已知函数.（1）若，求的图象在处的切线方程；（2）若恰有两个极值点，.（i）求的取值范围；（ii）证明：.（1）解：当时，，，，则