河南省焦作市2025届高三上学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省焦作市2025届高三上学期开学考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，i为虚数单位，为z的共轭复数，则（）A. B.4 C.3 D.〖答案〗A〖解析〗由题设有，故，故，故选：A.2.已知集合，，则（）A. B.-2,3 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为所以,所以,因为，所以,所以.故选：C.3.半径为4的实心球与半径为2的实心球体积之差的绝对值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知实心球体积为，实心球体积为，所以实心球与实心球体积之差的绝对值为.故选：A.4.已知向量，，其中，若，则（）A.40 B.48 C.51 D.62〖答案〗C〖解析〗因为，，且，所以，解得或，又，所以，此时，，所以，所以.故选：C.5.已知的内角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，，则（）A.5 B. C.4 D.3〖答案〗B〖解析〗由题意可知：，，由余弦定理可得，，即，解得.故选：B.6.已知点在抛物线上，则C焦点与点之间的距离为（）A.4 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗因为在抛物线上，故，整理得到：即，解得或（舍），故焦点坐标为，故所求距离为，故选：D.7.已知a，且，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，故，而，所以，故选：D.8.已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，则，所以当时，，单调递减；时，，单调递增，所以，又，所以的值域为，令，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，又当时，恒成立，所以，故实数a的取值范围为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线与圆有两个交点，则整数的可能取值有（）A.0 B. C.1 D.3〖答案〗AC〖解析〗圆即为：，故圆心，半径为，因为直线与圆有两个不同的交点，故，故，结合选项可知AC符合题意.故选：AC.10.已知对数函数，则下列说法正确的有（）A.的定义域为 B.有解C.不存在极值点 D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A选项，由对数函数的定义知的定义域为，故A错误；对于B选项，令，则，即，解得（舍去）或，故B正确；对于C选项，，则，设函数，则为增函数，令，解得，则时，，单调递减，时，，单调递增，且在0,1上gx<0，所以由图象性质可知的图象为的图象向左平移一个单位长度得到，且两者无交点，则f'x无零点，即不存在极值点，故C对于D选项，因为，当时，，故即，故D正确.故选：BCD.11.北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩，且，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（）A.13 B.12 C.11 D.10〖答案〗BC〖解析〗设该5名同学在此次比赛中所得成绩分别为，，，，，由题得，则，且，则，不妨设最大，对于A选项，若，则不成立，故A错误；对于B选项，若，则，则满足题意，例如5位同学成绩可为7，7，7，7，12，故B正确；对于C选项，若，则，则满足题意，例如5位同学的成绩可为5，7，8，9，11，故C正确；对于D选项，若，则且，则，，则可得，该方程组无正整数解，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点处的切线方程为______.〖答案〗〖解析〗由题得，所以曲线在点处的切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为.13.被10除的余数为______.〖答案〗1〖解析〗由题，因为可以被10整除，所以被10除的余数为1.14.在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O，称为密克点.在梯形ABCD中，，，M为CD的中点，动点P在BC边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q（异于点P），则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗延长，交于点E，则由题可知为正三角形，由题设结论，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q，故点Q在的外接圆上，如上图，又由题，,所以，故，所以是直角三角形，故其外接圆半径，在中，由余弦定理，所以的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知椭圆C：的焦距为，离心率为.（1）求C的标准方程；（2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且面积为，求t的值.解：（1）由题意得，，，又，则，则，所以C的标准方程为.（2）由题意设，，如图所示：联立，整理得，，则，，故.设直线l与x轴的交点为，又，则，故，结合，解得.16.交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站.（1）为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车P的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示：车站编号满意不满意合计102840113合计85完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？（2）根据以往调图经验，列车P在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立.已知原定终到站编号为11的列车P经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为X，求X的分布列及均值.附：，其中.0.10.010.0012.7066.63510.828解：（1）补充列联表如下：车站编号满意不满意合计102812401157360合计8515100零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，则，所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为旅客满意程度与车站编号有关联.（2）由题X的可能取值为，则；；；，所以X的分布列为X8101214P所以.17.如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，.（1）仅用无刻度直尺作出四棱锥的高，写出作图过程并证明；（2）若平面平面，平面平面，证明：四边形是菱形.（1）解：连接交于点H，连接，则是四棱锥的高.由于该四棱锥底面为平行四边形，故点H为与的中点，又，，故有，，又，，平面，故平面，即为四棱锥的高.（2）（方法一）证明：以H为原点，以、的方向分别为x轴、z轴的正方向，以垂直于的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，，，，，则，，，设平面、平面的法向量分别为n1=x1,则，，故，，即，，令，解得，，所以，，因为平面平面，所以，①同理可得平面、平面的一个法向量分别为，，故，即，②联立①②解得，因此，，故，而四边形ABCD是平行四边形，故四边形ABCD是菱形.（方法二）证明：过点H作交于点E，交于点F，过点H作交于点M，交于点N，连接，因为平面，、平面，所以，，因为，、平面，所以平面，又平面，所以，因为，平面，平面，故平面，设平面平面，又平面，所以，所以，又平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；因为，、平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，平面，故平面，平面平面，又平面，所以，所以，又平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；因为H为平行四边形对角线的交点，所以，，所以，所以，又，所以，所以平行四边形是菱形.18.已知.（1）证明：是奇函数；（2）若，证明在上有一个零点，且.证明：（1）的定义域为，.由奇函数的定义知是奇函数.（2）由对称性，不妨取，则，而.下证，设，，，，则（当且仅当，，即时取等号）.的定义域为，.由对称性，不妨取，