人教版九年级数学上册专项复习：点、直线与圆的位置关系（解析版）

专题12点、直线与圆的位置关系

【思维导图】

◎考点题型1点和圆的位置关系

位置关系图形定义性质及判定

点在圆外点在圆的外部d>rQ点P在O0的外部.

点在圆上点在圆周上d=r=点P在。。的圆周上.

点在圆内(V)点在圆的内部d<rq点P在O。的内部.

例.（2022•河北邯郸•九年级期末）平面内有两点P,O,。。的半径为5,若尸0=6,则点P与。。的位

置关系是（）

A.圆内B.圆上C.圆外D.圆上或圆外

【答案】C

【分析】根据点到圆心的距离小于半径即可判断点P在。。的内部.

【详解】的半径为5,PO=6,

点P到圆心0的距离大于半径，

二点P在。。的外部，

故选C.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，理解点与圆的位置关系是解题的关键.

变式1.（2021•江苏淮安•九年级期中）O的半径为5cm,点A到圆心。的距离。4=3cm,则点A与O

的位置关系为（）

A.点人在<。上B.点A在：。内C.点A在I。外D.无法确定

【答案】B

【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.

【详解】解：。的半径为5cm,点A到圆心。的距离为3cm,

即点A到圆心。的距离小于圆的半径，

.,.点A在；。内.

故选:B.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设OO的半径为，，点尸到圆心的距离OP=d,则有点P在圆外

点P在圆上=d=r；点P在圆内=d<r.

变式2.（2022・全国•九年级专题练习）在平面直角坐标系中，以原点。为圆心，4为半径作圆，点P的坐

标是（5,5）,则点P与。。的位置关系是（）

A.点尸在。。上B.点尸在。。内

C.点尸在。。外D.点P在。。上或在。。外

【答案】C

【分析】先计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解.

【详解】解：：点尸的坐标是（5,5）,

**•。尸=招+52=5近，

而（）0的半径为4,

•••OP等于大于圆的半径，

点尸在。外.

故选：C.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点

到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.

变式3.（2021•江苏常州•九年级期中）数轴上有两个点A和8,点8表示实数6,点A表示实数a,半

径为4.若点A在03内部，则。的取值范围是（）

A.。<2或a>10B.2<a<10C.a>2D.a<10

【答案】B

【分析】先表示出A8=|6-a|,从而列出|6间<4,进而即可求解.

【详解】解：：点2表示实数6,点A表示实数a,

C.AB=\6-a\,

:OB半径为4.若点A在02内部，

.".|6-d<4,即：2<a<10,

故选B.

【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆的内部则点与圆心的距离小于圆的半径，是解

题的关键.

◎考点题型2三角形的外接圆

1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做

三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

2）三角形外心的性质：

①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无

数个，这些三角形的外心重合.

3）外接圆圆心和三角形位置关系：

1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；

2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；

3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.

图3

例.（2022•江苏•九年级）如图，在平面直角坐标系中，A（0,-3）,B（2,-l）,C（2,3）.则AABC的外心坐

标为（)

A.(0,0)B.(-L1)C.(-2,-1)D.(-2,1)

【答案】D

【分析】由8C两点的坐标可以得到直线轴，则直线BC的垂直平分线为直线尸1,再由外心的定义

可知△ABC外心的纵坐标为1,则设△ABC的外心为P(a,-1),利用两点距离公式和外心的性质得到

7^42=a2+(l+3)2=a2+16=PB2=(a-2)2+(l+l)2=a2-4G+8,由止匕求解即可.

【详解】解：点坐标为(2,-1),C点坐标为(2,3),

直线BC〃y轴，

直线BC的垂直平分线为直线y=l,

••,外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，

.二△ABC外心的纵坐标为1,

设△ABC的外心为P(a,1),

PA2=a2+(l+3)2=a2+16=PB2=(a-2)2+(l+l)2=a2-4a+8,

••a~+16=ci~-4。+8,

解得a=-2,

...△ABC外心的坐标为(-2,1),

故选D.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心

是三角形三边垂直平分线的交点.

变式1.(2022•湖南邵阳•中考真题)如图，。。是等边AABC的外接圆，若48=3,则。。的半径是

C.百D

22-I

【答案】C

【分析】作直径AQ,连接CZ）,如图，利用等边三角形的性质得到/8=60。，关键圆周角定理得到

ZACD=90°,ZD=ZB=60°,然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解.

【详解】解:作直径AD,连接C。，如图,

•••AABC为等边三角形，

ZB=60°,

「A。为直径，

ZACZ>=90°,

VZD=ZB=60°,贝iJ/ZMC=30°,

：.CD=-AD,

2

'.'AD^CD^AC2,即AD2=（；A£>）2+32,

：.AD=2^/3,

：.OA=OB=^AD=y/3.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫

做三角形的外心.也考查了等边三角形的性质、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系.

变式2.（2022•全国•九年级）如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图：

（1）作线段A3,分别以4B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点C；

（2）以C为圆心，以A8长为半径作弧交AC的延长线于点。；

（3）连接B。，BC.则下列说法中不正确的是（）

AB

A.ZABD=90°B.sin2A+cos2D=1

C.DB=^ABD.点C是△A3。的外心

【答案】B

【分析】根据直角三角形的判定方法，三角形的外接圆的性质，特殊角三角函数值，解直角三角形一一判

断即可.

【详解】由作图可知：CA=CB=CD,

：.ZABD=90°,点C是AABC外接圆的圆心，故A,。正确，

\'AC=BC=AB,

△ABC是等边三角形，

AZA=60°,N£>=30°,

:.BD=^AB,故C正确，

33

sin2A+cos2£>=一+—/1,故2错误，

44

故选艮

【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆与外心，解直角三角形等

知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

变式3.（2022・河北•宽城满族自治县教研室模拟预测）如图，AABC和△DBC中，点。在aABC内，AB

=AC=BC=2,DB=DC,且/。=90。，则△ABC的内心和△DSC的外心之间的距离为（）

【答案】C

【分析】设△ABC的三角的平分线AP、CG交于点。，AP交于点尸，CG交AB于点G,过点PELCD

于点E,PFLBD于点F,根据△ABC是等边三角形，△BCD是等腰直角三角形，可得AABC的内心和

△OBC的外心之间的距离为OP的长，求出OP的长，即可求解.

【详解】解：如图，设△ABC的三角的平分线人尸、CG交于点O,AP交BC于点P,CG交AB于点G,过

点PELCO于点E,PF1.BD于点F,

'：AB=AC=BC=2,DB=DC,且/。=90。，

.♦.△ABC是等边三角形，△BCD是等腰直角三角形，

BP=CP,点。为△ABC的内心，

：.PD=PB=PC,

；.尸£垂直平分CD,PF垂直平分8。，

点尸为△DBC的外心，

AABC的内心和4DBC的外心之间的距离为OP的长，

在等边△ABC中，AB=AC=BC=2,

：.BP=1,ZOBP=ZOAB=30°,

:.AP=6,OP=^OB,OA=OB,

OP2=OB2-BP2=40P2-BP2,

/.OP=2或OP=-3，即△ABC的内心和△DBC的外心之间的距离为3.

333

故答案为：C

【点睛】本题主要考查了三角形的内心和外心问题，等边三角形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握等边

三角形和等腰直角三角形的性质是解题的关键.

◎考点题型3三点定圆的方法

1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点。为圆心，以0A的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无

数个.

2）经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点0作为圆心，以0A的长为半径，即可作出过点A、B

的圆，这样的圆也有无数个.

3）经过三点时：

情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；

情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点。是唯一存在的，这

样的圆有唯一一个.

三点定圆的画法：

1）连接线段AB,BC。

2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为0,此时0A=0B=0C,于是点。为圆心，以0A

为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。

定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.

例.（2022.江苏镇江.九年级期末）小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有

可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）

A.①B.②D.都不能

【答案】B

【分析】要确定圆的大小需知道其半径.根据垂径定理知第②块可确定半径的大小.

【详解】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心,

进而可得到半径的长.

故选：B.

【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分

线的交点即为该圆的圆心.

变式1.(2022•浙江.九年级专题练习)如图所示，一圆弧过方格的格点A3,试在方格中建立平面直角坐标

系，使点A的坐标为(0,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标是()

A.(-1,2)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(2,1)

【答案】C

【分析】连接A3、AC,作出A3、AC的垂直平分线，其交点即为圆心.

【详解】解：如图所示：

作出A8、AC的垂直平分线，交点为D

/.。为圆心，

则该圆弧所在圆的圆心坐标为,

故选：C.

【点睛】根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心

的位置.

变式2.(2021•江苏•九年级专题练习)在同一平面内，过已知A,B,C三个点可以作的圆的个数为

A.0B.1C.2D.0或1

【答案】D

【详解】分析：分两种情况讨论：①A、B、C三个点共线，不能做圆；②A、B、C三个点不在同一条直

线上，有且只有一个圆.

解答：解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆；

当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；

故选D.

变式3.（2021•全国•九年级专题练习）如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个

点中的任意三个点，能画圆的个数为（）

D

ABC

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【详解】试题分析：根据题意得出：点D、A、B；点D、A、C；点D、B、C可以确定一个圆.故过这四

点中的任意3个点，能画圆的个数是3个.故选C.

考点：确定圆的条件.

◎考点题型4直线与圆的位置关系

设。。的半径为r,圆心。到直线Z的距离为d,则直线和圆的位置关系如下表:

位置

图形定义性质及判定

关系

相离©直线与圆没有公共点d>r。直线］与。。相离

直线与圆有唯一公共点，直线

相切鱼叫做圆的切线，公共点叫做切<i=t。直线1与0。相切

点

直线与圆有两个公共点，直线

相交d<ro直线］与。。相交

叫做圆的割线

例.（2022•江苏•九年级专题练习）P、。是直线/上的两个不同的点，且OP=5,。。的半径为5,下列叙

述正确的是（）

A.点尸在。。外

B.点。在。。外

C.直线/与。。一定相切

D.若。。=5,则直线/与。。相交

【答案】D

【分析】由P、。是直线/上的两个不同的点，且。尸=5,。。的半径为5,可得点尸在。。上，直线/与

OO相切或相交；若。。=5,则直线/与。。相交，从而可得答案.

【详解】解：：。尸=5,。。的半径为5,

...点尸在。。上，故A错误；

丁尸是直线/上的点，

...直线/与。。相切或相交；

,若相切，则。。>5,且点。在。。外；若相交，则点。可能在0O上，0O外，。。内；故B,C错

误.

六若。。=5,则直线/与。。相交；故D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系.此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的

应用.

变式1（2021・上海金山•九年级期末）如图，已知RfAABC中，ZC=90,AC=3,BC=4,如果以点C

为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么。C的半径厂的取值范围是（）

。“上"介<3

A.B.C.—<r<4D.3<r<4

555

【答案】c

12

【分析】作CDLAB于D,根据勾股定理计算出AB=13,再利用面积法计算出=二然后根据直线与圆

的位置关系得到当葭4厂44时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点.

【详解】解：作CDLAB于D,如图，

AB=7AC2+BC2=5

-CDAB=-BCAC

22

CD=—

5

12

...以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为

故选：C

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设。。的半径为r,圆心0到直线1的距离为d：直线1和。0

相交Qd<r；直线1和。O相切=d=r；直线1和OO相离od>r.

变式2.(2022•广西钦州•九年级期末)若直线。与半径为4的。。相交，则圆心。到直线”的距离可能为

()

A.3B.4C.4.5D.5

【答案】A

【分析】根据圆与直线的位置关系进行判断即可.

【详解】解：：直线。与半径为4的。。相交，

二圆心到直线的距离d<r,即d<4,

.♦.满足条件的只有A选项，

故选：A.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住：①直线与圆相交时，d<r；②直线与圆相切

时，d=r-,③直线与圆相离时，d>r.

变式3.（202「全国.九年级课时练习）如图，在半径为5a〃的。。中，直线/交。。于A、B两点,且弦

AB=8cm,要使直线/与0。相切，则需要将直线/向下平移（）

【答案】B

【分析】作出0CLA2,利用垂径定理求出BC=4,再利用勾股定理求出OC=3,即可求出要使直线/与

。。相切，则需要将直线/向下平移的长度.

【详解】解：作0CLA8,

又0O的半径为5cm,直线/交。。于A、B两点，且弦

：.BO=5,BC=4,

由勾股定理得OC=3cm,

要使直线/与。。相切，则需要将直线/向下平移2cm.

故选:B.

【点睛】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键.

◎考点题型5切线的判定定理

判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

例.（2019•山东•九年级单元测试）下列四个命题中正确的是（）

①与圆有公共点的直线是该圆的切线；

②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线；

③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线；

④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线.

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】C

【详解】①中，与圆有两个公共点的直线，是圆的割线，故错误；

②中，应经过此半径的外端，故错误；

③中，根据切线的判定方法，正确；

④中，根据切线的判定方法，正确.

故选C.

点睛：要正确理解切线的定义：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线.掌握切线的判定：①经过半径的外

端，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线.

变式1.（2019・全国•九年级课时练习）如果L是。。的切线,要判定ABLL,还需要添加的条件是（）

A.AB经过圆心OB.AB是直径

C.AB是直径,B是切点D.AB是直线,B是切点

【答案】C

【详解】试题分析：根据切线垂直于经过切点的半径即可得到结果.

由题意得还需要添加的条件是AB是直径，B是切点，故选C.

考点：切线的判定

点评：切线的判定是圆中非常重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需

多加注意.

变式2.（2021・全国•九年级课时练习）如图，一ABC内接于C。，过A点作直线OE,当ZBAE=

（）时，直线DE与O相切.

A.DBB.ZBACC.ZCD.NDAC

【答案】C

【分析】首先过点。作直径AR连接根据同弧所对的圆周角相等可得NC=/ABB,进而可得到

ZBAE=ZF,再根据直径所对的圆周角是90°,可证出NAPB+/A4P=90°,再利用等量代换可得

ZBAE+ZBAF=90°,进而得到直线与相切.

【详解】解：当时，直线。E与：O相切.

理由如下：

作A尸交圆。于尸点，连接2R

,:4F,NC是同弧所对的角,

.,.ZC=ZF,

,：ZBAE=ZC,

：.ZBAE=NF,

为直径，

AZABF=90°,

.•.在三角形ABB中，ZF+ZBAF=90°,

,/NF=ZBAE,

：.ZBAE+ZBAF=90a,

：.FALDE,

直线。E与。O相切.

故选：C

【点睛】此题主要考查了切线的判定，关键是正确作出辅助线，证明/以力+/54/=90°.

变式3.(2021・全国•九年级课时练习)如图，P是。。的直径CD的延长线上一点，々=30。,则当

ZACP=()时，直线四是。的切线.

C

A.20°B.30°C.15°D.25°

【答案】B

【分析】连接04当ZACP=30。时，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出尸=90,即可证

明直线E4是：。的切线.

【详解】解：当/ACP=30。时，直线F4是。的切线.

证明：连接。人

VZP=30°,ZACP=3Q°,

.♦.NB4c=120°；

"：OA=OC,

：.ZACP=ZOAC=30°,

：.ZOAP=APAC-ZOAC=90°,

即OALPA,

.•.直线E4是。的切线.

故选：B

【点睛】本题考查了切线的判定，解题关键是熟记切线的判定定理，连接半径进行证明推理.

◎考点题型6切线的性质定理

性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

例.（2022•河北保定•九年级期末）如图，PA.PB是.。的切线，A3是切点，若/尸=70。，则NABO=

)

45°C.55°D.都不对

【答案】A

【分析】先运用圆的切线长定理可以得到：PA=PB,再利用等腰三角形的性质即可求出的度数，最

后利用切线的性质解题即可.

【详解】解：B4,PB是。。的切线,

:.PA=PB,

:.ZPAB=ZPBA,

ZP=70°,

ZPBA=(180°-70°)+2=55°,

OB1PB,

:.ZOBP=90°,

.・.Z/WO=90。—55。=35。.

故选：A.

【点睛】本题考查圆的切线长定理以及切线的性质，掌握切线长定理以及切线的性质是解题关键.

变式1.（2022・全国•九年级专题练习）如图，A8是。。的直径，点尸是。。外一点，PO交OO于点C,

连接5C,B4.若NP=36。，且以与。。相切，则此时N3等于（）

A.27°B.32°C.36°D.54°

【答案】A

【分析】根据切线的性质可得440=90。，则可得NAO尸=54。.再根据圆周角定理可得

ZB=1ZAOC=27°,则可求出的度数.

【详解】：人夕是。。的直径，且以与。。相切

ZPAO=90°

XVZP=36°

：.ZAOP=54°

ZB=-ZAOC=2T

2

故选:A

【点睛】本题考查了切线的性质及圆周角定理，熟练掌握这两个定理是解题的关键.

变式2.（2021•福建南平・九年级阶段练习）如图，点A为。。上一点，点尸为49延长线上一点，PB切

。于点5,连接A3.若NAP3=40。，则ZA的度数为（）

B

AOP

A.20°B.25°C.40°D.50°

【答案】B

【分析】连接。3,根据切线的性质得到NOBP=90。，再求解BPO3,再利用三角形的外角的性质及等腰

三角形的性质可得结论.

【详解】解：连接

尸8切〈。于点8,

:.OB±PB,

.•.NOBP=90°,

N4PB=40。，

:.ZBOP=50°,

OA=OB,

:.ZA=ZABO,

NPOB=ZA+ZABO=50°,

:.ZA=-ZBOP=25°.

2

故选：B.

【点睛】本题考查的是切线的性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，等腰三角形的性

质，掌握“切线的性质”是解本题的关键.

变式3.（2022・江苏.九年级专题练习）如图，是。。的直径，8C是。。的切线.若Zfl4C=37。，贝|

/ACB的大小为（)

A

A.37°B.47°C.53°D.63°

【答案】C

【分析】根据切线的性质，得NABC=90。，再根据直角三角形的性质，即可求解.

【详解】解：是。。的直径，8C是。。的切线，

：.AB±BC,BPZABC=90°,

ZB4c=37。，

ZACB=90°-37°=53°,

故选：C.

【点睛】本题主要考查切线的性质以及直角三角形的性质，掌握圆的切线的性质定理，是解题的关键.

◎考点题型7切线长定理

切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.

例.（2022•河南安阳•九年级期末）如图，尸为。。外的一点，PA,尸8分别切。。于点A,B,CZ）切。。于

点E,且分别交尸8于点C,D,若丛=4,贝hPCD的周长为（)

A.5B.7C.8D.10

【答案】C

【分析】根据切线长定理得到尸8=以、CA=CE,根据三角形的周长公式计算即可.

【详解】解：：以、尸8分别切。。于点A、B,

：.PB=PA=A,

•.•CO切。。于点E且分别交B4、PB于点C,D,

：.CA=CE,DE=DB,

：./XPCD^=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=%,

故选：C.

【点睛】本题考查的是切线长定理的应用，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相

等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.

变式1.(2022•浙江•金华市第九中学九年级阶段练习)如图，出和依是。。的两条切线，A,2为切点,

点。在A8上，点E,尸分别在线段必和P8上，且AO=8RBD=AE.若/尸=a,则/EDF的度数为

()

A.90°-aB.-aC.2aD.90。-±a

22

【答案】D

【分析】根据切线性质，证得△。石之FBD,通过等量代换得出/即尸=再根据等腰三角形的

性质，由NP=a,求得NQAE即可.

【详解】解：:以和尸3是。。的两条切线，A,B为切点、,

：.PA=PB,

AZPAB=ZPBA,ADAE=ZDBF

在与中，

AD=BF

•；\ZDAE=ZDBF

AE=BD

AADAE^^FBD(SAS),

・•・ZDEA=AFDB,

在△DAE中，

NH4E+ZA£Z)+NEDA=180。,

,:NDEA=NFDB,

：.ZDAE+AFDB+AEDA=180°,

ZEDF+ZFDB+ZEDA=180°,

ZEDF=ZDAE,

VZP=a,PA=PB,

・•・ZPAB=ZPBA

•••在△PAB中，ZBAP=90°--a,即NZME=90。-'1,

,一」22

NEDF=ZDAE,

：.ZEDF=90°--a

2

故选：D.

【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，通过全等证明，等量代换求

得ZEDF=是解题关键.

变式2.（2021•全国•九年级课时练习）如图，已知Bl、PB是。的两条切线，A、5为切点，连接OP交

A3于C,交。于。，连接。4、OB,则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（）

C.2,6D.1,6

【答案】C

【分析】根据切线长定理及半径相等得，AAPB为等腰三角形，AAOB为等腰三角形，共两个；

根据切线长定理和等腰三角形三线合一的性质，直角三角形有：AAOC,△AOP,△APC,△OBC,

△OBP,△CBP,共6个.

【详解】解：因为OA、OB为圆O的半径，所以OA=OB,所以△AOB为等腰三角形，

根据切线长定理，PA=PB,故△APB为等腰三角形，共两个，

根据切线长定理，PA=PB,ZAPC=ZBPC,PC=PC,所以△PAC四△PBC,

故AB±PE,根据切线的性质定理/OAP=NOBP=90。，

所以直角三角形有：AAOC,△AOP,△APC,△OBC,AOBP,△CBP,共6个.

故选c.

【点睛】此题综合考查了切线的性质和切线长定理及等腰三角形的判定，有利于培养同学们良好的思维品

质.

变式3.（2022•山东德州•九年级期末）如图，AB,AC为。。的切线，8和C是切点，延长08到点。，使

BD=OB,连接A。，若/ZMC=78。，则NADO等于（）

A.70°B.64°C.62°D.51°

【答案】B

【分析】先根据切线长定理，由AB、AC为。。的切线得到/瓦1O=NC4。，根据切线的性质得

OB±AB,加上80=08,则可判断AA。。为等腰三角形，于是根据等腰三角形的性质得/BAO=

即/。4。=/氏4。=/氏4。，然后利用ND4c=/54。+/区40+/。。=78。可计算出/朋。=26。，再利

用/4。。=90。-NBAO求解.

【详解】解：：AB、AC为。。的切线，

：.ZBAO=ZCAO,OBLAB,

,:BD=0B,

•♦•AB垂直平分OO,

J.AO^AD.

.•.△A。。为等腰三角形，

ZBAO=ZBAD,

：.ZCAO=ZBAO=ZBAD,

ZDAC^ZBAD+ZBAO+ZCAO^yS0,

；.3NBA。=78。，

解得/BA。=26。，

ZADO=90°-ZBAD=90°-26°=64°.

故选：B.

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了切线长定理.

◎考点题型8三角形内切圆

概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做

圆的外切三角形.

内心和外心的区别：

外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。

作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。

性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。

内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。

作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。

性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。

直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：

T两百角边长和•斜边长）

例.（2021•全国.九年级课时练习）若的外接圆半径为R,内切圆半径为r，则其内切圆的面积与

RtABC的面积比为（）

7ir，兀丫C兀丫-7ir

A.----------B.--------C.----------D.--------

2r+2R27?+r4R+2厂47?+r

【答案】B

【分析】画好符合题意的图形，由切线长定理可得：CE=CF=r,AE=AG=m,BR=BG=〃，结合勾股定理

可得：〃"?=2a厂+产,再求解直角三角形的面积SACB=g（〃2+r）（〃+r）=2Rr+户，从而可得直角三角形的内

切圆的面积与直角三角形的面积之比.

【详解】解：如图，由题意得：ZACB=90。，AB=2R,

O{E=O{F=O[G=r,

由切线长定理可得：

CE=CF=r,AE=AG.BF=BG,

设AE=AG=m,BF=BG=n,

/.(m+r)2+(n+r)2=(m+n)2,m+n=2R,

mn=(m+〃)r+/，

mn=2Rr+r2,

而SACB=(OT+R)(,7+R)-(mn+mr+nr+r1

=J(2Rr+，+2Rr+/)

=2Rr+/

故选B.

【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与三角形的外接圆，切线长定理，勾股定理的应用，掌握以上知识

是解题的关键.

变式L（2021・全国•九年级专题练习）如图，。是正方形A8CD的对角线8。上一点，。。与边AB,8C都

相切，点、E,尸分别在A。，DC±,现将沿着EF对折，折痕EF与。。相切，此时点。恰好落在圆

心。处.若DE=2,则正方形48CQ的边长是（）

A.3B.4

C.2+V2D.2A/2

【答案】C

【分析】延长尸。交AB于点G,根据折叠对称可以知道。fLCD,所以0GLA2,即点G是切点，0D交

EF于点H,点H是切点.结合图形可知OG=OH=/TO=E”，等于。。的半径，先求出半径，然后求出正方

形的边长.

【详解】解：如图：延长R9交A8于点G,则点G是切点，OD交EF于点、H,则点H是切点，

•.。ABCD是正方形，点。在对角线上，

：.DF=DE,OFLDC,

：.GF±DC,

：.OG±AB,

：.OG=OH=HD=HE=AE,且都等于圆的半径.

在等腰直角三角形。即中，DE=2,

：.EH=DH=y/2=AE.

AD=AE+DE=y/2+2.

故选C.

【点睛】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长.

变式2.（2022・全国•九年级专题练习）如图，ABC中，NA=80。，/是内心，则NB/C等于（

A.120°B.130°C.150°D.160°

【答案】B

【分析】根据内心的性质得到以和C7分别平分入4BC和/ACB,再利用角平分线的定义和三角形内角和

定理计算可得.

【详解】解：•••/是内心，

.•.2/和C/分另IJ平分NABC和/ACB,

ZABI=ZCBI,ZACI=ZBCI,

'：ZA=80°,

ZABC+ZACB=WQ0,

：.ZBIC=180°-(ZCBI+ZBCD

=180°-；CZABC+ZACB)

=130°,

故选B.

【点睛】本题考查了三角形的内心，解题的关键是掌握三角形的内心是三条角平分线的交点.

变式3.（2019・湖北武汉•三模）在R3A8C中，C。为斜边上的高，AC=3,BC=4,分别用心〃、为、

表示AABC,AACD,△BCD内切圆的半径，贝1|（）

12八7

AA.r+r/+r2=—B.r+r/+r2=y

C.r-n-r2=--D.r-n-r2=--

【答案】A

【分析】由勾股定理及三角形的面积表示可求出线段CD、AD、BD的长，根据广一）打一ri=

AC+BC+AB

7q

Q.BCD

r2=计算即可.

AC+AD+CDAC+BD+BC

【详解】解：如图,

•.,在RSA2C中，CD为斜边上的高，AC=3,BC=4,

根据勾股定理得AB=5,

S=-ACBC=-ABCD

ABC22

:.ACBC=ABCD,BP3x4=5CD

.3”

5

9Q16

在RsAC。中，由勾股定理得AD=g,贝lj50=A3—AD=5—y=.

VRtAABC,RtAACD,RSSCO的内切圆半径分别是八门、r2,

•『2sABC=­=\r/二25ACD_32sBCD_

…~AC+BC+AB~12~'~AC+AD+CD~5"~~AC+BD+BC~5

故选:A.

【点睛】本题主要考查了三角形内切圆的性质，即三角形的面积=；（内切圆的半径x三角形的周长），灵

活的利用该公式求三角形内切圆的半径是解题的关键.

◎考点题型9圆内接四边形

圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆

叫做这个多边形的外接圆。

性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角.

例.（2022•广西梧州.九年级期末）若四边形A8C。是。。的内接四边形，ZA：NC=1：2,则NC=

（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】A

【分析】。。的内接四边形性质对角和180。，加上已知条件/A：ZC=1：2,即可求得NC.

【详解】解：：四边形ABC。是。。的内接四边形

ZA+ZC=180°

又/C=l：2

AZC=120°

故选：A.

【点睛】此题考查了。。的内接四边形性质，解题的关键结合已知条件求解.

变式1.（2022•安徽合肥•九年级期末）如图，四边形ABC。内接于。。，若乙4。8=40。，BC//OA,贝|

ZADC的度数为（）

B

C

D

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】C

【分析】根据NAOB=40。，可得NA2O=70。，再由2C〃O4,可得/OBC=NA。2=40。，从而得到

ZABC=no°,再由圆内接四边形的性质，即可求解.

【详解】解：-1•ZA<9B=40°,OA=OB,

：.NA2O=70。，

'JBC//OA,

：.ZOBC=ZAOB=4Q°,

：.ZABC=UO0,

：.ZADC=180°-110°=70°

故选C

【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边

形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键.

变式2.（2021・全国•九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于OO,AB为直径，ZC=120°.若

AD=2,则AB的长为（）

A.6B.2C.2GD.4

【答案】D

【分析】连接OD,根据圆内接四边形的性质求出NA=60。，得出AAOD是等边三角形，根据等边三角形

的性质得出OD=OA=AD=2,求出直径AB即可.

【详解】解：连接OD,

四边形ABCD是。0的内接四边形，

.,.ZA+ZC=180°,

VZC=120°,

ZA=60°,

VOD=OA,

AAOD是等边三角形，

/.AD=OD=OA,

VAD=2,

；.OA=OD=OB=2,

；.AB=2+2=4,

故选：D.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出

NA+NC=180。是解此题的关键.

变式3.（2021・全国•九年级专题练习）若一个正方形的周长为24,则该正方形的边心距为（）

A.272B.3C.3亚D.2G

【答案】B

【分析】运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可求出边心距.

【详解】解：；一个正方形的周长为24,

•••正方形的边长为6,

由中心角只有四个可得出360°-4=90°,

.,•中心角是：90°,

•••边心距是边长的一半，为3,

故选：B.

【点睛】此题主要考查了正方形的性质与正方形与它的外接圆的关系，题目比较典型.

◎考点题型10圆和圆的位置关系

设00>.0，0二的半径分别为R、r（其中R>r）,两圆圆心距为d,则两圆位置关系如下表:

位置关系图形定义性质及判定

两个圆没有公共点，并且每个

d>超+r=两圆外

外离1圆上的点都在另一个圆的外

离

部.

两个圆有唯一公共点，并且除

d=&+ro两圆外

外切了这个公共点之外，每个圆上

切

的点都在另一个圆的外部.

1R-r<d<R+ro

相交