模拟检测卷03（理科）-2025年高考数学二轮复习（解析版）

2025年高考数学模拟考试卷

高三数学（理科）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1,本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3,回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：高中全部知识点。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合

题目要求的.

1.若甘■（aeR）是纯虚数，则°=（）

A.-1B.1C.-9D.9

【答案】A

【分析】先将复数化简，再根据纯虚数列出方程组求解即可.

a+3i（〃+3i）（3—i）3a+3（9—a）.

【详解】

3+i-（3+i）（3-i）-1010

3a+3八

---------=0

因为言是纯虚数，妙101

(9-«)…一，

10

故选：A.

2.已知集合叔={了b=3，工>1},2V={j|j=log3x,0<x<l},则()

A.{y|o<J<1}B.{引0<了<1}C.{yl1<y<l}D.0

【答案】D

【分析】确定M=N=»|"0},再计算交集得到答案.

【详解】M={y\y=3^x,xN={y=logs》,。<x<1}={y<0},

则McN=0.

故选：D

3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

1

正视图侧视图

俯视图

D.271

【答案】C

【分析】先由三视图还原为几何体，再利用柱体的体积公式求解即可.

【详解】由三视图还原几何体，如图，

该几何体是由两个四分之一圆（半径为厂=1）组成的图形作为底面，高为"=2的柱体,

所以该几何体体积为V=Sh=2x—7tr2/z=—nxl2x2=7i.

42

故选：C.

4.如图，正方形48CD的边长为2,圆A半径为1,点P在圆A上运动，则而.丽的取值范围是（）

A.[2,6]B.[2行,6伺

【答案】C

【分析】由向量的加法可得丽・丽=（诙+市）•瓦5,再由向量数量积的运算即可得解.

【详解】设刀与丽的夹角为夕，则0"4兀，

BPBD=（BA+APyBD=TA^+~APBD

=2x2V2cos45°+lx3/2co的

=4+2^2COS6，

因为-1COS01,

所以4-2后《丽・丽（4+26，

故选：C

5.已知16cos?——3cos2。=3,贝ljcos6=（）.

2

A.一屿B.--C.fD.叵

3333

【答案】B

【分析】根据倍角与半角公式COS?2=生”，cos20=2cos20-l

22

2

将题目化为3cos2。-4cos0-4=0,因式分解，然后根据三角函数的有界性对cos。的值进行取舍，由此得

解.

nni.「eqn

【详解】解：由16cos2?-3COS20=3,将(^2=了°,cos26=2cos?8-1代入化简

222

^8(1+COS6>)-3(2COS26>-1)=3,

2

即3cos之e-4cos6-4=0,解得cos6=2(舍去)或cos6=-§,

故选；B.

6.已知函数/(x)=|x|+sin2x,设毛，x2eR,则/(%)>/(%)成立的一个必要不充分条件是()

A.再〉工2B.工2〉玉

C.再+%2>0D.卜1|〉工2

【答案】D

【分析】根据函数的单调性和奇偶性可知函数/(%)为偶函数，且在(0,+8)上单调递增，所以"%)在(-8,0)

上单调递减，结合可得举例说明即可判断选项A、B,将选项C、D变形即可判断.

【详解】函数〃x)的定义域为及，

则函数/(-x)=\-x\+sin2(-x)=|x|+sin2x=f(x),

所以函数/(x)是偶函数，

当x>0时，/(x)=x+sin2x,

f(x)=l+2sinxcosx=(sinx+cosjc)2>0,

所以/(x)在(0,+s)上单调递增，所以“X)在(-叫0)上单调递减.

若/(不)>/(七)，则㈤>周，即

A：若再=1,马=-2,满足士>马，但/⑴</(-2)=/(2),反之也不成立，故选项A错误；

B：若再=4,%=5,满足%>无1，则/(4)</(5),反之，若/'(占)>/仁)，不一定马>玉，故选项B错

误；

C：由演+々>。可得玉>-々，但不一定有了(占)>/@2),所以充分性不成立，故选项C错误；

D：由同可得/(不)>/(%)，但由［(XJA/G)不一定能推出|网|八2，故D正确.

故选：D.

7.小明买了4个大小相同颜色不同的冰墩墩(北京冬奥会吉祥物)随机放入3个不同袋子中，则每个袋

子至少放入一个冰墩墩的概率是()

【答案】D

【分析】由计数原理可求出4个冰墩墩随机放入3个不同袋子的种数，利用组合中的分组分配问题求出每

个袋子至少放入一个冰墩墩的种数，根据古典概型概率公式可求得结果.

【详解】小明将4个大小相同颜色不同的冰墩墩随机放入3个不同袋子中，有3'=81种不同的放法，

若每个袋子至少放入一个冰墩墩，则分2步进行分析：

①将4个冰墩墩分为3组，有C；=6种分组方法，②将分好的3组放入3个不同的袋子中，有A；=6种情

况，则有6x6=36种方法，所以所求的概率为3失6=不4

o19

故选：D

8.设函数f(x)=cos(s+e)(是常数，。>0,0<夕苫)，若〃x)在区间上具有单调性，且

/1一2］=一/［*］=一/［野)’则函数是“X)的最小正周期是，)

兀3

A.—B.乃C.一兀D.2兀

22

【答案】B

【分析】根据单调性可求出0<。46,再根据题意得函数关于点［己,。］对称，关于直线x=g对称，得到

3

等式组，通过作差分析可得。=2或。=6,最后检验即可.

【详解】若/“)在区间上具有单调性，则卜生2曾+刍,.』46,

L2424J2co2424

・,・«曰=-/悌=-4引

则/(X)的图象关于点对称,“X)的图象关于直线X=三对称，

7T7兀7r

：.CDX—+(p=kTt+—,KEZ｛l),

兀

且+O=〃兀，左,〃cz,②

两式相减，可得G=4(〃-左)-2,又因为0<G«6,故①=2或G=6.

当°=2时，则结合0<夕<］和①式可得夕=(，/(%)=cos(2x+m；

JT

当0=6时,则结合0<夕<5和②可得夕不存在，

综上/(x)=cos^2x+y^.

故它的最小正周期为42兀=兀，

2

故选：B.

23

9.已知。=一，,c=ln5-ln4,则。也。的大小关系为()

5"AC

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

［答案］c

【分析】构造函数对函数求导利用导函数的单调性比较值的大小.

【详解】设〃x)=e'-x-l,

则广(x)=e=l,

当x>0时，/z(x)>0,当x<0时，/(x)<0,

所以/(%)在(0,+动上单调递增，在(-",0)单调递减，

所以/(X)mm="°)=°，

所以/(x)20ne、—x—INOndNx+l,在R上恒成立，

N32

所以b=e5>---\-\=—=a，

55

设g(x)=lnx-x+l,

则W(x),-1，

当了>1时，gr(x)<0,当0<%<1时，gz(x)>0,

所以g(x)在(L+8)上单调递减，在(0」)单调递增，

所以gOOmaxngOblT+lH，

所以g(x)<Onlnx—x+lWOnlnxVx—l,在(0,+。)上恒成立，

5512

所以。=In5-In4=In—<—\=—<—=a,

4445

从而有b>a>c,

故选：C.

10.已知数列｛4｝满足%+1=〃；-%+1(〃EN*),且q=2023,若存在正偶数次使得

(―1)〃；+(—1)靖+…+(-1)a；+加=2022〃］〃2…〃冽成立'则加二()

A.2016B.2018C.2020D.2022

4

【答案】D

a—1

【分析】由。“+1=d-+1得。“=，由此可得化简为“2…%;

an

由%=4-%+1及正偶数m得㈠广+(T/X=*「心,由此可化简

(-1)14；+(_])2W+卜(—1)小靖，最后建立等式关系求得m值.

Q—1

【详解】由题意，a^=an+l+an-l,故

an

2022a四.••%,=2022,

ax-1a2-1am-1

,：m为正偶数,J(—l)'i%-+(—15%=一(品+41-1)+(金+1+篇T)=am+x-am_x,

「・左边=(。3_。1)+(〃5一/)+…+(5+1_%-1)+加=am+l~a\+m，

此时，Q冽+i-4+加=am+l-1,

m=ax—l=2022.

故选：D.

【点睛】关键点点睛:⑴化简生出…册的方法是用累乘法，利用％二④1?各项相乘相消后即可.

anT

(2)化简(-1)'普+(-1)2片+--+(-1)"'al的方法是用累加法，利用(-Ipa,ti+(f"'力=。,用一%_各项相力口

相消后即可.

11.已知两点/,M在双曲C：W-g=l(a>0,b>0)的右支上，点N与点8关于原点对称，W交y轴于点

ab

N,若在_1_刘7，且丽?+8次.凉=0，则双曲线C的离心率为()

A.V5B.y/6C.V?D.2V2

【答案】D

【分析】设。为48的中点，设5(占,必乂再<0,“<0),可(3,%)，Q(x0,y0),x^x2,利用点差的方法

表示出⑥时=与血，结合题意继而表示出N(0,8yJ,推出七v=-?%,根据上期=左.即可求得。，

b的关

a%再

系，从而可求双曲线离心率.

如图，不妨设/在第一象限，取2”的中点。，连接。。,

因为。为N8的中点，故。0//“，

8(XQJ(X[<0,乂<0),M(x2,y2),Q(x0,y0),xl^x2)

B,M在双曲线上，贝I]£,两式相减可得，上$__上发=(),

x2y2ab

L2b2

即出而出看=%屋"

5

故凝材飞=!即七

a"o

又因为存，万7,则。8，。。，即L/°=T，

所以*•%=-1,即2=一互,所以心材=-琪，

占x0y0再a~X]

又ON2+iOA-ON=0,则|ON|2=-81OA\ON\cosZAON,

gp|OA?|=-8104|cosZAON=&削,故N（0,8%）,

所以左如=8乂一弘=一互,（fffkBM=kBN,故_"__么，

-玉X[aX[%]

故勺=7,则双曲线C的离心率为e=J"=j+g=2后,

根据双曲线的对称性可知，当/在第四象限时，同理可求得e=2行，

当/在双曲线的顶点时，由于4B_L/M,此时与双曲线相切，不合题意，

故双曲线C的离心率为e=20，

故选：D.

12.已知函数"X）的定义域为R,g（x）=（x-l）/（x）,若“2-x）是奇函数，〃l-x）是偶函数，且g（ll）=20,

50

贝1j£g（£）=（）

k=l

A.-46B.-47C.-48D.-49

【答案】c

【分析】由奇偶函数的对称性得〃尤）是周期为4的周期函数，/（2）=/（4）=---=/（50）=0,再结合

8（11）=20得〃1）=-2,进而结合对称性得〃3）=-〃1）=2,再计算求和即可；

【详解】解:因为/。-力是偶函数,所以〃l-x）=〃l+x）,即“2-尤）^（x）,

故/（x）的图象关于直线x=l对称.

因为〃2-月是奇函数，所以〃2-x）+〃2+x）=0,即/（2-x）=-/（2+x）,

故/（x）的图象关于点（2,0）对称，

所以/（2+x）=-/（x）,/（4+x）=-/（x+2）=/（x）,

所以，〃x）是周期为4的周期函数，

对于〃1一尤）=〃1+尤）,令x=l,得/（0）=/（2）,

对于〃2_x）+〃2+x）=0,令x=0,得/⑵=0

又/（x）是周期为4的周期函数，

所以/（0）=〃4）,所以〃2）=〃4）,

所以，/（2）=/（4）=-=/（50）=0

所以g（2）=g（4）=.-=g（50）=0.

因为g（ii）=io/（ii）=ioy■⑶=-10/■⑴=20,

所以7（1）=-2,

对于“2-x）+〃2+x）=0,令x=l,得/。）+/（3）=0,即7（3）一⑴,

所以/（3）=-/。）=2

所以g（l）+g⑶=0+2/（3）=2/（3）=4,g⑸+g⑺=4/⑸+6〃7）="⑴+6〃3）=2/⑶=4,

g(45)+g(47)=44/(45)+46/(47)=44/(1)+46/(3)=2/(3)=4,

50

所以£g⑹=(g(2)+g(4)+…+g(50))+(g(l)+g⑶)+(g(5)+g⑺)+

k=l

•••+(g(45)+g(47))+g(49)=4xl2+48/(l)=-48.

6

故选：c

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合奇偶函数的对称性得到函数的周期性，进而结合函数周期

性得到g（2）=g（4）=--=g（50）=0,/（3）=-/（1）=2,进而利用周期性求解.

第II卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5-3x+2力"展开式中不含y的项的系数和为64,则展开式中的常数项为.

【答案】15625

【分析】根据题意，令了的指数为0,得（5-3""，再令x=l,得（5-3x+2y）"的展开式中不含y的项的系

数和为（5-3）",解得"，再求展开式中的常数项.

【详解】（5-3x+2y）"展开式中不含y的项，即展开式中y的指数为0,即（5-3x）"的展开式，

再令x=L得（5-3工+2力"展开式中不含了的项的系数和为（5-3）"=64,，片6,

求（5-3x+2力6展开式中的常数项,由（5—3x+2y『=［5—（3工一2司）了,

所以展开式中的常数项为C：X56=15625.

故答案为：15625

14.已知点/（6,0）,点尸在抛物线V=i6x上运动，点3在曲线卜-4）2+必=1上运动，则畏的最小值

是•

【答案】2V41-6

【分析】由抛物线的定义转化后求解

【详解】抛物线/=16尤的焦点为尸（4,0）,设尸点坐标（x,y）,则|尸W=x+4

|PA|2=（x-6）2+y2=（x-6）2+16x=x?+4x+36,

由题意当|可|=|尸F|+l=x+5时，"=/+以+36,

\PB\X+5

人unil二|尸/「«-5）2+4。-5）+36户一67+4141，

令x+5=J则x=/-5,~L=1——L————L------=---------------=;+——6,

\PB\ttt

41.—

由基本不等式知神亍22回，当且仅当时等号成立

故圈■的最小值为2面一6■

故答案为：2历-6

15.已知数列｛%｝的前〃项和为'（S,产0）,7；为数列｛5｝的前"项积，满足E,+7；=S"Z（〃为正整数），

其中4=%,给出下列四个结论：①％=2;②%=，；③｛北｝为等差数列；④S”但,其中所有

正确结论的序号是.

［答案］①W

【分析】根据关系式S,+（=S“Z，当”=1时，即可求得％的值；由S,+7；=S,Z得7；=工，当〃之2

时，可得北.1=占7，两式相除整理可证明［G二］为等差数列，即可求得，，从而可求得十,凡,由此

得以判断各结论.

【详解】因为S“+（=S"Z（"eN*）,

7

所以当〃=1时，d+7]=E=2%=",解得％=2或4=0,

又s“片0,所以%W0,故%=2,故①正确;

S.

因为S“+7；=S“Z，易得'+1,所以北=

5-11

S“T

当“22时，T_=—

nx3,LT

5“，:九一1

所以,则s“

小邑-1S〃T5„-lSR

1二==]+」11

所以,则=1,

5„-l九一1九T

-11I

又----=-----=1

S「1ax-\

11

所以是以白=1为首项，1为公差的等差数列,

S「1

11+("1)X1=〃，则s"="1

所以

S“Tn

经检验，E=%=2满足上式，所以子=,故④正确；

n

〃+1

S“

所以《=n=〃+1,则北_7；1=(〃+1)_H>2,

S,T纤1_1

n

所以⑵｝为等差数列，故③正确；

〃+1nn2-l-n21

当〃22时,%=S"-S"T

nn-\

又4=2不符合上式,

2,〃二1

所以%=1故②错误・

n(n—\

故答案为：①(M).

16.为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯

由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为多，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点

的连线垂直向上折叠而成，如图②.有下列四个结论：

①经过三个顶点4B,C的球的截面圆的面积为:

②异面直线4D与CF所成的角的余弦值为£

O

③直线AD与平面DEF所成的角为y

④球离球托底面。所的最小距离为6+逅_]

3

8

F

cB

D

图①图②

其中正确的命题是.（请将正确命题的序号都填上）

［答案］②（W）

【分析】取。£,防中点N,M利用给定条件证明NN/平面DFE判断③；证明4B//MW7/DH求异面

直线夹角判断②；求出“BC外接圆半径，结合球面的截面圆性质计算判断①，④作答.

【详解】取。£,防中点N,M,连接AB,BC,AC,BM,MN,AN,如图，

CE------------K

D^-

因为正三角形，则8M_L£F,而平面班产_L平面。星，平面3E尸Pl平面。尸£=£尸，u平面

BEF,

于是得工平面DbE,同理平面。尸£,即即////N,BM=AN=6

因此，四边形4BAW是平行四边形，有4B//MW//D尸，同理/。//£/,8（?//。£,

16

AB=AC=BC=MN=—DF=1,“3C外接圆半径厂=二

23

TT

经过三个顶点4B,C的球的截面圆是“3C的外接圆，其面积为①不正确；

连接因NC//MR/C=MR=1,则四边形/CFM是平行四边形，AMIICF,

即有/M4D是异面直线4D与CF所成的角或其补角，AM=CF=2,A/MD中，40=2,DM=6

2AD-AM8

jr

因/N1平面。底£,则/4DE是直线4。与平面。防所成的角，而ZADE=§,③正确；

体积为与的球半径式，由"得尺=1,由①知，球心到平面/8C的距离i=

由①，同理可得点C到平面。底£的距离为6，即平面4BC与平面。FE的距离为名,

所以球面上的点到球托底面。跖的最小距离为8河-（夫-4/）=6+4-1，④正确，

所以正确的命题是②③④.

故答案为：②（W

【点睛】易错点睛：异面直线所成的角的取值范围是（0,，，当求出角的余弦值为负时，要取其相反数作

为异面直线夹角余弦.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考

9

生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.在中，内角4民C的对边分别为生6,c,JLasin^=c(sinC-2sinS)+Z?(sinC+sinS).

(1)求角A；

(2)若A/BC为锐角三角形，求6(8-°)的取值范围.

2a

【答案】

【分析】(1)角换边，在利用余弦定理求解；

(2)边换角，将待求表达式表示成关于8的三角函数，利用锐角三角形条件求出8的范围，最后再求表达

式的范围即可.

(1)

因为asinZ=c(sinC-2sin5)+6(sinC+sinS),所以由正弦定理得/=c(c-26)+6(c+6),整理得

b2+c2-a2=be,由余弦定理得cos」="—―=^-.因为0</<乃，所以/=1.

2bc23

(2)

由正弦定理得左仅一。;jl.sinB-sinC=sinB—sinC=sinB—sin［二:工］.

2a2sin/(3)3J

2

因为△/BC为锐角三角形，所以./

为71,口兀「兀r*Lt、I兀7CTC

解得一<5<一，所以一一<B——<—,

62636

所以一;—,

故百伍一c)

的取值范围为

2a

18.某网络/尸尸在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定:

上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且

各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动.

(1)若甲第一关通过的概率为I，第二关通过的概率为:，求甲可以进入第三关的概率；

(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前

400名发放奖励，

①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励,

请说明理由；

②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请

结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.

附：若随机变量Z~N(〃,cP),则尸(〃一+o■卜0.6827；尸(〃一2。WXV〃+=0.9545；

P(〃-3bVXV〃+3o•卜0.9973.

【答案】⑴3

6

⑵①能，理由见解析；②乙所说为假

【分析】(1)利用独立事件的概率公式，结合甲闯关的可能情况求解即可；

(2)①利用正态分布的对称性及3b法则，求得前400名参赛者的最低得分即可判断；

②假设乙所说为真，利用正态分布的对称性及3b法则，证得丙的分数为430分是小概率事件，从而得以判

10

断.

【详解】（1）设4：第i次通过第一关，Bi：第i次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为P,

由题意知P=*4片）+尸（彳4耳）+尸（4万劣）+川•&瓦当）

尸⑷尸（4）+尸闾尸（4）尸⑻+尸⑷尸闯尸（员）+尸闾尸（4）尸闯尸（四）

323231-1x3.1-2X2_5_

=­x—x--1——x：x

43443443T6~'

（2）设此次闯关活动的分数记为X~N（〃Q2）.

①由题意可知〃=171,

57(〃-2bVXV〃+2司1-0,9545.,

因为^^=0.0228,且尸(X>4+2°)==

22

351-171

所以〃+2CF=351,则。=二90；

2

=400…/r/、1-尸(〃-cr4XW〃+cr)1-0.6827

而五通二。16,且尸(X〉〃+oj=»0.1587<0.16,

22

所以前400名参赛者的最低得分高于〃+。=261,

而甲的得分为270分，所以甲能够获得奖励；

②假设乙所说为真，则〃=201,

1-尸<//+2CT)_1-0.9545

P(X>ju+2a)=«0.0228,

22

57351-201.

而——=0.0228,所以=75,

25002

从而〃+3。=201+3义75=426<430,

l-P(X/-3cr<X<〃+3cr)1-09973

而尸(X2"+3b)=——-------«0.0013<0.005,

22

所以X2必+3b为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，

所以可认为乙所说为假.

19.如图①，已知△/2'C是边长为2的等边三角形，。是/夕的中点，DH±B'C,如图②，将AHD"沿

边。〃翻折至△3ZV/.

图①图②

⑴在线段BC上是否存在点尸，使得/尸〃平面8DH?若存在，求等的值；若不存在，请说明理由;

FC

（2）若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为1,求三棱锥B-DCH的体积.

BF1

【答案】⑴存在，-=-

（2）f

【分析】（1）利用线线平行证明AM〃平面5。//,MF〃平面BDH,证得平面4WF7/平面5D/7,可得/尸〃

平面BDH；

（2）利用已知二面角的余弦值，可以利用向量法或几何法求三棱锥8-OC"的高，结合体积公式求解.

11

BF

【详解】（1）存在点尸满足题意，且黑=：1，理由如下：

在图①中，取B'C的中点M,连接力则4V/7/0H,

在图②中，AMHDH,41/0平面BOH,DHu平面BDH,

所以〃平面且与2=工；

MC2

在线段上取点厂使B黄F=11,

连接则川7/3H,同理可得W〃平面瓦汨，

又因为MFc41/=M,平面所以平面力MF〃平面跳汨，

又因为Z尸u平面所以4尸〃平面

图①图②

（2）在图②中，DH1HC,DH1HB,HCcHB=H,HC,HBu平面BHC,所以D〃_L平面8HC,

法一：以〃为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

cG）

,D0,拳0,

k27

设/即兀=6€（0㈤，则3^cos0,O,^sin^j,

1、―►

DB=—cos^,-，一sin。,DA=

2227

设平面5D4的法向量为加=（%,为z）,

z

m-DB=—cos0---y+—sin9=0

22?V3（l+cos0）日口一百（1+COS。）,

则，令>=1，则％=—G,z=、--------L，即加=

一R1sin。sineJ

m•DA=—x+7=0

22

易知平面BHC的一个法向量3=（0,1,0）,

1

若平面5"。与平面以切所成的二面角的余弦值为;，则2

1+COS03

3+1+3

sin。

化简整理得：*5

所以哈B,sin。=^^,cos6=工，所以5!1，c°，^^|，

54408081

12

则三棱锥3-OCH的高为姮，.

8

又因为底面积S='*2、也=逋，

“DCH2228

所以三棱锥8-。的体积为外口侬=」x述

B-DCH38864

法二：延长40,CH相交于点N,事实上点N即为点9，

则平面BHCc平面BDA=BN,

过H作HTLBN,垂足为7,连接。T,

因为£>〃_L平面BHC,BNu平面BHC,所以DHLBN,

又HTcDH=H,HT,DHuBN工平面DTH,所以3N,平面D7H,

DTu平面DTH,则BN_LZ）r,所以NOTH即为平面与平面8D4所成的二面角的平面角,

即cos/DTH=；,所以tan/DTH=272，

W2,即I

即tanZDTH^—2

THTH

又BH=NH=g,所以BN=2NT=M

24

在中，设点3到NH的距离为为，由等面积法可得儿9=BMW,解得/,=巫

8

即三棱锥8-。CH的高人=姮，又ADS的面积为上叵,

88

所以三棱锥的体积为忆=1姮=

38864

20.P为圆/:（x+2y+j?=36上一动点，点B的坐标为（2,0）,线段尸3的垂直平分线交直线/P于点。.

（1）求点。的轨迹方程C;

⑵在（1）中曲线C与X轴的两个交点分别为4和4，M,N为曲线C上异于4、4的两点，直线跖V不

过坐标原点，且不与坐标轴平行.点M关于原点。的对称点为S,若直线4s与直线4N相交于点7,直

线。7与直线儿W相交于点R,证明：在曲线。上存在定点E,使得△砂E的面积为定值，并求该定值.

22

【答案】⑴二+匕=1

95

⑵证明见解析，胃25

6

【分析】（1）依题意可得忸。|=|尸。即可得到|/。|+忸。|=6>4=|/创，根据椭圆的定义得到点0的轨迹

是以A、3为焦点的椭圆，从求出。、c、b,即可得解；

（2）设”（%,必）、N（x2,y2）,直线MM的方程为尤=〃"+”（加/0,〃/0）,联立直线与椭圆方程，消元、

2x6加

列出韦达定理，设7（%/。），由7、S、4三点共线及7、N、4三点共线得到3=_从而得到直

线。7的方程，再联立直线。7与直线及W的方程，求出&在定直线/:x=-3上，要使A助E的面积为定值，

此时点E一定为过点3且与直线/平行的直线x=2与椭圆C的交点，求出E点坐标，即可求出三角形的面

积.

【详解】（1）解：•.•直线8尸的垂直平分线交直线/尸于点。

13

■■\BQ\=\PQ\,.-.\AQ\+\BQ\=\AQ\+\PQ\=6＞4回,

,由椭圆的定义可知，点。的轨迹是以A、8为焦点的椭圆，且2a=6,2c=4

22

a=3、c=2,贝Ib=yja-c=V5，

22

・・•点。的轨迹方程为土+匕=1.

95

（2）证明：设”（再,必）、N（x2,y2）,直线7W的方程为l=叩+〃（冽

x=my+n

，22得(5冽2+9)/+10冽砂+5〃2-45=0,

与椭圆方程联立，得xy1

—+—=1

195

则A=180（5m2-n2+9）＞0由根与系数的关系得%%=号::10mn

必+%=一

5m2+9

由⑴知4（一3,0）,由（3,0）,设7（%,%）,

由7、S、4三点共线得上由7、N、a三点共线得』&=

则2%=%+3।/―3=^-3।X2-3

、九%%%y2

myx+〃-3++〃-3=2川+(〃.