2025年中考数学复习之统计与概率

2025年中考数学复习热搜题速递之统计与概

选择题（共10小题）

1.小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：

3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）

A.255分B.84分C.84.5分D.86分

2.今年我市有4万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进

行统计分析.在这个问题中，下列说法：

①这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体；

②每个考生是个体；

③2000名考生是总体的一个样本；

④样本容量是2000.

其中说法正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机

摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2,则估计

盒子中大约有红球（）

A.16个B.20个C.25个D.30个

4.XI,X2,…，尤10的平均数为a,X11,尤12,…，X50的平均数为6,则XI,X2,…，X50的平均数为（）

a+b10a+50b10a+40b

A.a+bB.------C.-------------D.-------------

26050

5.下列调查，样本具有代表性的是（）

A.了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查

B.了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查

C.了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查

D.了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查

6.学校抽查了30名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘制成了条形统计图，则30

名学生参加活动的平均次数是（）

7.下列调查中，适宜采用普查方式的是（）

A.了解一批圆珠笔的寿命

B.了解全国九年级学生身高的现状

C.考察人们保护海洋的意识

D.检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件

8.某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则

A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

C.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球

D.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4

9.当前，“低头族”已成为热门话题之一，小颖为了了解路边行人边走路边低头看手机的情况，她应采用

的收集数据的方式是（）

A.对学校的同学发放问卷进行调查

B.对在路边行走的学生随机发放问卷进行调查

C.对在图书馆里看书的人发放问卷进行调查

D.对在路边行走的路人随机发放问卷进行调查

10.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字-1、1、2.随机摸出一个小球（不放回）其

数字记为D再随机摸出另一个小球其数字记为q,则满足关于x的方程,+px+q=0有实数根的概率是

二.填空题(共5小题)

11.小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为.

12.已知一组数据XI,XI,X3,X4的平均数是5,则数据Xl+3,X2+3,尤3+3,X4+3的平均数是.

13.在一次数学测试中，某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第四组的频数分别为6,8,9,12,第

五组的频率是0.2,则第六组的频数是.

14.为了估算湖里有多少条鱼，从湖里捕上100条做上标记，然后放回湖里，经过一段时间待标记的鱼全

混合于鱼群中后，第二次捕得200条,发现其中带标记的鱼25条，我们可以估算湖里有鱼_______条.

15.已知。。的两条直径AC,2。互相垂直，分别以A3,BC,CD,为直径向外作半圆得到如图所示

的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为Pl,针尖落在O。内的概

率为尸2,贝！|二=.

三.解答题(共5小题)

16.为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对A、B、C、。四个厂家生

产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%,并根据检测数

据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图.

(1)抽查D厂家的零件为件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为

(2)抽查C厂家的合格零件为件，并将图1补充完整;

(3)通过计算说明合格率排在前两名的是哪两个厂家；

(4)若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”

或“画树形图”的方法求出(3)中两个厂家同时被选中的概率.

17.某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体

重(均为整数，单位：kg)分成五组(A：39.5-46.5；B：46.5〜53.5；C：53.5-60.5；D：60.5-67.5；

E：67.5〜74.5),并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图.

解答下列问题：

(1)这次抽样调查的样本容量是,并补全频数分布直方图；

(2)C组学生的频率为，在扇形统计图中。组的圆心角是度；

(3)请你估计该校初三年级体重超过604的学生大约有多少名？

18.一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸

1

出1个球，是白球的概率为1

(1)布袋里红球有多少个？

(2)先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的

球都是白球的概率.

19.某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽

样调查(每位同学只选最关注的一个)，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图.根据图中提供的信

息，解答下列问题：

人数名

90

80

70

60

50

40

30

20

10

(1)这次调查的学生共有多少名？

(2)请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数.

(3)如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据(2)中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选

到学生关注最多的两个主题的概率(将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、。、E).

(3)已知甲队成绩的方差是1.4,则成绩较为整齐的是队.

2025年中考数学复习热搜题速递之统计与概率（2024年7月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：

3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）

A.255分B.84分C.84.5分D.86分

【考点】加权平均数.

【专题】计算题.

【答案】D

【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果.

【解答】解：根据题意得：85X以，q+80X二土+9.以鼠:=17+24+45=86（分），

乙I。IJ乙IOIJ乙I。IJ

故选：D.

【点评】此题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解本题的关键.

2.今年我市有4万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进

行统计分析.在这个问题中，下列说法：

①这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体；

②每个考生是个体；

③2000名考生是总体的一个样本；

④样本容量是2000.

其中说法正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【考点】总体、个体、样本、样本容量.

【答案】C

【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部

分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念

时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体.再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再

根据样本确定出样本容量.

【解答】解：这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体；

每个考生的数学中考成绩是个体；

2000名考生的中考数学成绩是总体的一个样本，样本容量是2000.

故正确的是①④.

故选：C.

【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，

关键是明确考查的对象.总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小.样本容量是

样本中包含的个体的数目，不能带单位.

3.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机

摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2,则估计

盒子中大约有红球（）

A.16个B.20个C.25个D.30个

【考点】利用频率估计概率.

【答案】A

【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，

根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.

【解答】解：设红球有x个，根据题意得，

4：（4+x）=1：5,

解得x=16.

故选：A.

【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键.

4.XI,X2,…，尤10的平均数为a,XU,X12,■■■,X50的平均数为6,贝Ijxi,X2,…，X50的平均数为（）

a+b10a+50o10a+40b

A.a+bB.-------------------D.-------------

26050

【考点】算术平均数.

【专题】计算题.

【答案】D

【分析】先求前10个数的和，再求后40个数的和，然后利用平均数的定义求出50个数的平均数.

【解答】解：前10个数的和为10。，后40个数的和为406,50个数的平均数为

50

故选：D.

【点评】正确理解算术平均数的概念是解题的关键.

5.下列调查，样本具有代表性的是（）

A.了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查

B.了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查

C.了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查

D.了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查

【考点】抽样调查的可靠性.

【答案】D

【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是

随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现.

【解答】解：A、了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查，不具代表性、广泛性，故

A错误；

2、了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查，调查不具代表性、广泛性，故B错误；

C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，调查不具有代表性、广泛性，故C错误；

。、了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查，调查具有代表性、广泛性，故

。正确.

故选：D.

【点评】样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现.

6.学校抽查了30名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘制成了条形统计图，则30

【考点】加权平均数；条形统计图.

【答案】C

【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数.注意本题不是求3,5,11,

11这四个数的平均数.

【解答】解：(3X1+5X2+11X3+11X4)4-30

=(3+10+33+44)4-30

=904-30

=3.

故30名学生参加活动的平均次数是3.

故选：C.

【点评】本题考查加权平均数，条形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必

须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

7.下列调查中，适宜采用普查方式的是（）

A.了解一批圆珠笔的寿命

B.了解全国九年级学生身高的现状

C.考察人们保护海洋的意识

D.检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件

【考点】全面调查与抽样调查.

【答案】D

【分析】普查和抽样调查的选择.调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来,

具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普

查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时,

普查就受到限制，这时就应选择抽样调查.

【解答】解：A、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，由于具有破坏性，应当使用抽样调查，故本选项错误；

8、了解全国九年级学生身高的现状，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误；

C、考察人们保护海洋的意识，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误；

。、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，事关重大，应用普查方式，故本选项正确；

故选：D.

【点评】此题考查了抽样调查和全面调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间

较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似.

8.某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则

符合这一结果的实验最有可能的是（）

A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

C.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球

D.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4

【考点】利用频率估计概率；折线统计图.

【答案】D

【分析】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率尸七0.17,计算四个选项的概率，约为

0.17者即为正确答案.

【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为点故A选项错

误；

131

B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是：—故3选项

524

错误；

C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为右故C选

项错误；

1

D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为二七0.17,故。选项正确.

6

故选：D.

【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为：频率=

所求情况数与总情况数之比.同时此题在解答中要用到概率公式.

9.当前，“低头族”已成为热门话题之一，小颖为了了解路边行人边走路边低头看手机的情况，她应采用

的收集数据的方式是（）

A.对学校的同学发放问卷进行调查

B.对在路边行走的学生随机发放问卷进行调查

C.对在图书馆里看书的人发放问卷进行调查

D.对在路边行走的路人随机发放问卷进行调查

【考点】调查收集数据的过程与方法.

【答案】D

【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果

比较近似.

【解答】解：A、对学校的同学发放问卷进行调查不具代表性、广泛性，故A不合理；

8、对在路边行走的学生随机发放问卷进行调查不具代表性、广泛性，故8不合理；

C、对在图书馆里看书的人发放问卷进行调查不具代表性、广泛性，故C不合理；

。、对在路边行走的行人随机发放问卷进行调查具代表性、广泛性，故。合理；

故选：D.

【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征

灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调

查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.

10.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字-1、1、2.随机摸出一个小球(不放回)其

数字记为p,再随机摸出另一个小球其数字记为q,则满足关于％的方程f+px+9=0有实数根的概率是

()

1125

A.—B.-C.一D.一

2336

【考点】列表法与树状图法；解一元二次方程-公式法；根的判别式.

【专题】压轴题.

【答案】A

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与满足关于x的方程f+px+q

=0有实数根的情况，继而利用概率公式即可求得答案.

【解答】解:画树状图得：

：/+px+q=0有实数根，

A—b1-4ac=p2-4q20,

•.•共有6种等可能的结果，满足关于x的方程/+p尤+4=0有实数根的有(1,-1),(2,7),(2,1)

共3种情况，

31

满足关于x的方程/+px+g=0有实数根的概率是：-=

62

故选：A.

开始

p-112

/\/\z\

q12-i2-1i

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与一元二次方程判别式的知识.注意树状图法与列表

法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步

以上完成的事件；注意此题是放回实验还是不放回实验；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

二.填空题(共5小题)

n.小燕抛一枚硬币io次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为:.

【考点】概率的意义.

【答案】见试题解答内容

【分析】求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可.

【解答】解：•..抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，

1

正面向上的概率为1

,,,1

故答案为：—.

【点评】本题考查的是概率的意义，注意抛硬币只有两种情况，每次抛出的概率都是一致的，与次数无

关.

12.已知一组数据尤1,X2,X3,X4的平均数是5,则数据尤1+3,X2+3,X3+3,X4+3的平均数是8.

【考点】算术平均数.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据平均数的性质知，要求Xl+3,X2+3,X3+3,X4+3的平均数，只要把数尤1,尤2,X3,X4的和

表示出即可.

【解答】解：..”1,X2,X3,X4的平均数为5

XI+X2+X3+X4=4X5=20,

.'.XI+3,尤2+3,X3+3,X4+3的平均数为：

=(X1+3+X2+3+无3+3+X4+3)4-4

=(20+12)+4

=8,

故答案为：8.

【点评】本题考查的是算术平均数的求法.解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平

均数.

13.在一次数学测试中，某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第四组的频数分别为6,8,9,12,第

五组的频率是0.2,则第六组的频数是5.

【考点】频数与频率.

【答案】见试题解答内容

【分析】一个容量为50的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别为6,8,9,12,根据第

五组的频率是0.2,求出第五组的频数，用样本容量减去前五组的频数，得到第六组的频数.

【解答】解：•••一个容量为50的样本，

把它分成6组，

第一组到第四组的频数分别为6,8,9,12,

第五组的频率是0.2,则第五组的频数是0.2X50=10,

.•.第六组的频数是50-6-8-9-10-12=5.

故答案为：5.

【点评】此题考查频数与频率问题，关键是利用频数、频率和样本容量三者之间的关系进行分析.

14.为了估算湖里有多少条鱼，从湖里捕上100条做上标记，然后放回湖里，经过一段时间待标记的鱼全

混合于鱼群中后，第二次捕得200条，发现其中带标记的鱼25条，我们可以估算湖里有鱼800条.

【考点】用样本估计总体.

【专题】应用题；压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】第二次捕得200条所占总体的比例=标记的鱼25条所占有标记的总数的比例，据此直接解答.

【解答】解：设湖里有鱼无条，则迎=金，解可得尤=800.

x100

故答案为：800.

【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可.

15.已知。。的两条直径AC,8。互相垂直，分别以A8,BC,CD,0A为直径向外作半圆得到如图所示

的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为尸1,针尖落在。。内的概

率为P2,则,=~.

【考点】几何概率.

【答案】见试题解答内容

【分析】直接利用圆的面积求法结合正方形的性质得出尸1,尸2的值即可得出答案.

【解答】解：设O。的半径为1,则AD=V2,

故S圆0=71,

阴影部分面积为：TC(¥)2X2+V2xV2-n=2,

则Pl=急'P2=备'

故以:•

22兀

,,,2

故答案为：—.

7T

【点评】此题主要考查了几何概率，正确得出各部分面积是解题关键.

三.解答题(共5小题)

16.为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对A、B、C、。四个厂家生

产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%,并根据检测数

据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图.

(1)抽查。厂家的零件为500件,扇形统计图中£)厂家对应的圆心角为90°；

(2)抽查C厂家的合格零件为380件,并将图1补充完整；

(3)通过计算说明合格率排在前两名的是哪两个厂家；

(4)若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”

或“画树形图”的方法求出(3)中两个厂家同时被选中的概率.

【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)计算出。厂的零件比例，则。厂的零件数=总数X所占比例，。厂家对应的圆心角为360。

义所占比例；

(2)C厂的零件数=总数X所占比例；

(3)计算出各厂的合格率后，进一步比较得出答案即可；

(4)利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解.

【解答】解：(1)。厂的零件比例=1-20%-20%-35%=25%,

D厂的零件数=2000X25%=500件；

D厂家对应的圆心角为360°X25%=90°；

(2)C厂的零件数=2000X20%=400件,

C厂的合格零件数=400X95%=380件，

图1

(3)A厂家合格率=630+(2000X35%)=90%,

B厂家合格率=370+(2000X20%)=92.5%,

C厂家合格率=95%,

。厂家合格率4704-500=94%,

合格率排在前两名的是C、。两个厂家；

(4)根据题意画树形图如下:

△BCD

GG/hG

共有12种情况，选中C、。的有2种，

71

则尸（选中C、D）=迨=+

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要

的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总

体的百分比大小.

17.某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体

重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5-46.5；B：46.5〜53.5；C：53.5-60.5；D：60.5-67.5；

E：67.5〜74.5）,并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图.

解答下列问题：

（1）这次抽样调查的样本容量是3,并补全频数分布直方图；

（2）C组学生的频率为0.32,在扇形统计图中。组的圆心角是72度;

（3）请你估计该校初三年级体重超过60依的学生大约有多少名？

【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本估计总体.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据A组的百分比和频数得出样本容量，并计算出8组的频数补全频数分布直方图即可;

（2）由图表得出C组学生的频率，并计算出。组的圆心角即可；

（3）根据样本估计总体即可.

【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是4+8%=50,8组的频数=50-4-16-10-8=12,

补全频数分布直方图，如图：

献

(2)C组学生的频率是0.32；。组的圆心角=前义360。=72。；

(3)样本中体重超过60饭的学生是10+8=18(人)，

该校初三年级体重超过60kg的学生大约=x100%x1000=360(人)，

故答案为:(1)50；(2)0.32；72.

【点评】此题考查频数分布直方图，关键是根据频数分布直方图得出信息进行计算.

18.一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸

1

出1个球，是白球的概率为3

(1)布袋里红球有多少个？

(2)先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的

球都是白球的概率.

【考点】列表法与树状图法；概率公式.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)设红球的个数为x,根据白球的概率可得关于x的方程，解方程即可；

(2)画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率.

【解答】解：(1)设红球的个数为X,由题意可得：

21

2+1+x—2'

解得：x=l,经检验x=l是方程的根，

即红球的个数为1个；

(2)画树状图如下：

第一个球

第二个球

:.P(摸得两白)=条』

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,

适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是

不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

19.某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽

样调查(每位同学只选最关注的一个)，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图.根据图中提供的信

息，解答下列问题：

A人数名

o肛

o

g

o

Q

O

O

O

(1)这次调查的学生共有多少名？

(2)请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数.

(3)如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据(2)中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选

到学生关注最多的两个主题的概率(将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E).

【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；

(2)求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可；

(3)列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“C”与“E”的情况数，即可求出所求

的概率.

【解答】解：（1）56+20%=280（名），

答：这次调查的学生共有280名；

（2）280X15%=42（名），280-42-56-28-70=84（名）,

补全条形统计图，如图所示，

根据题意得：84+280=30%,360°X30%=108°,

答：“进取”所对应的圆心角是108°；

（3）由（2）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为:

ABcDE

A(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)

B(B,A)(B,C)(B,D)(B,E)

C(C,A)(C,B)(C,D)(C,E)

D(D,A)(D,B)(D,C)(D,E)

E(£,A)(E,B)(£,C)(E,D)

用树状图为:

开始

AA介GEA4h

共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种，

恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是2.

10

小人数名

9町

8O

7O

6Q

5O

4Q

3O

2O

1O

0

【点评】此题考查了列表法与树状图法，扇形统计图，以及条形统计图，熟练掌握运算法则是解本题的

关键.

20.八(2)班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表(10分制):

甲789710109101010

乙10879810109109

(1)甲队成绩的中位数是9.5分,乙队成绩的众数是10分;

(2)计算乙队的平均成绩和方差；

(3)已知甲队成绩的方差是1.4,则成绩较为整齐的是乙队.

【考点】方差；加权平均数；中位数；众数.

【专题】计算题；图表型.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即

可；

(2)先求出乙队的平均成绩，再根据方差公式进行计算；

(3)先比较出甲队和乙队的方差，再根据方差的意义即可得出答案.

【解答】解：⑴把甲队的成绩从小到大排列为：7,7,8,9,9,10,10,10,10,10,最中间两个

数的平均数是(9+10)+2=9.5(分)，

则中位数是9.(5分)；

乙队成绩中10出现了4次，出现的次数最多，

则乙队成绩的众数是(10分)；

故答案为:9.5,10；

1

(2)乙队的平均成绩是：一X(10X4+8X2+7+9X3)=9,

10

1

则方差是：—x[4X(10-9)2+2X(8-9)2+(7-9)2+3X(9-9)2]=1；

10

(3)二.甲队成绩的方差是1.4,乙队成绩的方差是1,

成绩较为整齐的是乙队；

故答案为：乙.

【点评】本题考查方差、中位数和众数：中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最

中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，一般地设“个数据，XI,X2,…物的平均数为礼则方差$2=

%（xi-x）2+（X2-X）2+-+（Xn-X）2],它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反

之也成立.

考点卡片

1.解一元二次方程-公式法

(1)把x=b±ga~^生(.b2-4ac^0)叫做一元二次方程or2+bx+c=0(aWO)的求根公式.

(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式，进而确定。，b,。的值(注意符号)；

②求出廿一4℃的值(若庐-4ac<0,方程无实数根)；

③在廿-4ac,0的前提下，把°、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①aWO；②房-4就力0.

2.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式(△=庐-4℃)判断方程的根的情况.

一元二次方程a^+bx+c—O(aWO)的根与△=/-4ac有如下关系：

①当4>0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△<◊时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

3.调查收集数据的过程与方法

(1)在统计调查中，我们利用调查问卷收集数据，利用表格整理数据，利用统计图描述数据，通过分析

表和图来了解情况.

(2)统计图通常有条形统计图，扇形统计图，折线统计图.

(3)设计调查问卷分以下三步：①确定调查目的；②选择调查对象；③设计调查问题.

(4)统计调查的一般过程：

①问卷调查法---------收集数据；

②列统计表---------整理数据；

③画统计图---------描述数据.

4.全面调查与抽样调查

1、统计调查的方法有全面调查(即普查)和抽样调查.

2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且

某些调查不宜用全面调查.②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关

系到对总体估计的准确程度.

3、如何选择调查方法要根据具体情况而定.一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，

但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查.其一，调查者能力有限，不能进行普查.如：

个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查.其二，调查过程带有破坏性.如：调查一批灯泡的使

用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验.其三，有些被调查的对象无法进行普查.如:

某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查.

5.总体、个体、样本、样本容量

（1）定义

①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；

②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；

③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；

④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量.

（2）关于样本容量

样本容量只是个数字，没有单位.

6.抽样调查的可靠性

（1）抽样调查是实际中经常采用的调查方式.

（2）如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况.

（3）抽样调查除了具有花费少，省时的特点外，还适用一些不宜使用全面调查的情况（如具有破坏性的

调查）.

（4）分层抽样获取的样本与直接进行简单的随机抽样相比一般能更好地反映总体.其特点是：通过划类

分层，增大了各类型中单位间的共同性，容易抽出具有代表性的调查样本，该方法适用于总体情况复杂，

各单位之间差异较大，单位较多的情况.

7.用样本估计总体

用样本估计总体是统计的基本思想.

1、用样本的频率分布估计总体分布：

从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息.这时,

我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况.

2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差）.

一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确.

8.频数与频率

(1)频数是指每个对象出现的次数.

(2)频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比).即频率=频数+总数

一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率.频率反映了各组频数的

大小在总数中所占的分量.

9.频数(率)分布直方图

画频率分布直方图的步骤：

(1)计算极差，即计算最大值与最小值的差.(2)决定组距与组数(组数与样本容量有关，一般来说样

本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5〜12组).(3)确定分点，

将数据分组.(4)列频率分布表.(5)绘制频率分布直方图.

注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小

来表示在各个区间内取值的频率.直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积=组距x

舞=频率.②各组频率的和等于1,即所有长方形面积的和等于1.③频率分布表在数量表示上比较确

组距

切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势.④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布

的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容.

10.扇形统计图

(1)扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数.通过扇形

统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.用整个圆的面积表示总数(单位1),用圆的扇

形面积表示各部分占总数的百分数.

(2)扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系.

(3)制作扇形图的步骤

①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆

心角的度数=部分占总体的百分比X360。.—②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用

量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；

④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来.

11.条形统计图

(1)定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序

把这些直条排列起来.

(2)特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较.

(3)制作条形图的一般步骤：

①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线.

②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔.

③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少.

④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量.

12.折线统计图

(1)定义：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连

接起来.以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化.

(2)特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况.

(3)绘制折线图的步骤

①根据统计资料整理数据.

②先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量.—③根

据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来.

13.算术平均数

(1)平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标.

(2)算术平均数：对于九个数XLXI,Xn,则元=：(X1+X2+…+X")就叫做这〃个数的算术平均数.

(3)算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等

时，就是算术平均数.

14.加权平均数

(1)加权平均数：若n个数尤1,尤2,%3,…，X"的权分别是wi,wi,wi,则Hwl+x2w2x\-xnwnwl+wl+-

+wn叫做这n个数的加权平