2022-2024年高考数学试题分类汇编：坐标系与参数方程、不等式选讲（四大考点）（解析版）

三年真题

14坐标系与参照方程、系萼式迄褂

目制鲁港。绢施留

考点三年考情（2022-2024）命题趋势

考点1:不等式选讲之2023年高考全国甲卷数学（理）真题

面积问题

2023年高考全国乙卷数学（理）真题

2024年高考全国甲卷数学（理）真题

考点2：不等式选讲之

高考对选做题的考查相对稳定，

证明不等式、范围问题2022年高考全国甲卷数学（理）真题

考查内容、频率、题型、难度均

2022年高考全国乙卷数学（理）真题

变化不大.不等式选讲主要以证

明不等式为主，坐标系与参数方

2023年高考全国甲卷数学（理）真题

程主要以考察直角坐标方程与极

考点3：直角坐标方程

2023年高考全国乙卷数学（理）真题坐标方程互化为主.

与极坐标方程互化

2022年高考全国甲卷数学（理）真题

2022年高考全国乙卷数学（理）真题

考点4：的几何意义2024年高考全国甲卷数学（理）真题

曾窟飨缀。阖滔运温

考点1:不等式选讲之面积问题

1.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)设a>0,函数/(x)=2|x-4-a.

⑴求不等式〃x)<x的解集；

⑵若曲线y=〃x)与尤轴所围成的图形的面积为2,求

【解析】(1)若xVa,贝ljf(x)=2a-2x-a<x,

即3*>即解得即■|<xVa,

若%>4,贝|J/(%)=2%-2。一Q<%,

解得％v3a,即av%v3a,

综上，不等式的解集为

[-2x+a,x<a

(2)〃x)=.

\2x-3a,x>a

画出fM的草图，则f(x)与x轴围成AABC,

△ABC的高为。,叱,0),《吊,0),所以|明=凡

所以S.c=口4例4=：/=2,解得。=2.

2.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)已知〃x)=2国+|x-2].

⑴求不等式〃x)W6-x的解集；

f/(x)<

(2)在直角坐标系中，求不等式组；y/八所确定的平面区域的面积.

[x+y—640

3x-2,x>2

【解析】(1)依题意，/(%)=x+2,0<x<2,

—3x+2,%<0

x>20<x<2fx<0

不等式/(x)46-x化为:或

3x-2<6-x^%+2«6-xI-3x+2W6-x

x>2|0<x<2Ix<0

解得无解；解e6*得0g'解3+2-得一2"<0,因此-2X2,

3x-2<6-x

所以原不等式的解集为：［-2,2］

ff(x)<y

(2)作出不等式组八表示的平面区域，如图中阴影AABC,

［x+y—640

由\y二=-3=x+62，解得…由\「y=x+坨2解得以2,又的,2",

所以AABC的面积£枷=3|8。冈％-乙|=；|6-2冈2-(-2)|=8.

考点2：不等式选讲之证明不等式'范围问题

3.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)己知实数。力满足a+6'3.

⑴证明：2a2+2">°+6；

(2)证明：,一2残+卜一2a2t6.

2222

【解析】(1)^2a+2b-(a+bf=a-2ab+b=(a-bf>0,

当a=6时等号成立，贝。2/+2/2(4+6)2,

因为〃+人之3,所以2〃2+2从之(〃+与2>Q+b；

2212

(2)，-2町+1—2々2|>^a—2b+b—2a^=^2a+2Z?—(4z+Z?)|

—2cr+2b2—(Q+b)之(a+Z?)2—(a+Z?)=(〃+b)(a+Z?—1)23x2=6

4.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)已知a,b,。均为正数，且〃2+〃+公2=3,证明:

(l)a+Z?+2c<3；

(2)若Z?=2c,则一+—23.

ac

【解析】(1)［方法一］:【最优解】柯西不等式

由柯西不等式有[a2+b2+(2C)2](12+12+12)>(G+Z?+2C)2,

所以a+b+2c<3,当且仅当a=〃=2c=l时，取等号，所以a+b+2cK3.

[方法二]:基本不等式

由。2+22ab，b2+4c2>4bc，a1+4c2>4ac，

(Q+Z?+2cJ=a2+b2+4c2+2ab+4bc+4ac<3(a1+/?2+4c2j=9,

当且仅当a=h=2c=l时，取等号，所以a+〃+2cK3.

(2)证明：因为b=2c,a>0fZ?>0,c>0,由(1)得a+〃+2c=a+4c<3,

BP0<a+4c<3,所以一-—>—,

a+4c3

由权方和不等式知工+工=上+2Jl+2)：923,

aca4ca+4ca+4c

当且仅当上1=7:，即。=1,c=1:时取等号，

a4c2

所以’+123.

ac

333

5.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)已知a,6,c都是正数，且C二L+I方U+IC*_-1，证明:

(l)a&c<^；

abc,1

(2)----1---------------1------------<—/；

b+ca+ca+blyjabc

333

【角军析】(1)证明：因为a>0,b>0,c>0,贝(1/>0，房>o，c2>0

333

所以正士巳

3

BP(«Z?c)2<1,所以赤当且仅当即4=8=C=R时取等号.

(2)证明：因为a>0,b>0,c>0,

所以b+c2l4bc,a+c>2ac,a+b>2y[ab,

333

所以a£a_”，bb侨cc_c2

----------———=—,.

b+c2y[bc2y1abca+c2y[ac2y1abca+blyfablyjabc

333333

abca1"9层->^+^_1

-------------1---------------1-------------——/

b+ca+ca+b2y1abc2yjabc2y[abc2abclyJabc

当且仅当a=/?=。时取等号.

考点3：直角坐标方程与极坐标方程互化

6-（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知点石），直线八日+旃为参数），a为,的倾斜

角，/与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A,8两点，且|PA|-|PB|=4.

⑴求a;

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求/的极坐标方程.

【解析】（1）因为/与龙轴，y轴正半轴交于AB两点，所以巳<2<兀，

令％=0,%=---，令y=o,t=--—,

cosasma2

24

所以|尸却产用=1^1=--------=--=4,所以sin2a=±l,

sinacosasin2a

jrjr1

即2a=5+E,解得a=—+—k7i,keZf

因为兀，所以&=亨.

24

（2）由（1）可知，直线/的斜率为tana=-1,且过点（2,1）,

所以直线/的普通方程为：y-l=-（x-2）,即x+y-3=0,

由％=X7COs6,y=psin夕可得直线/的极坐标方程为夕cos，+/?sine—3=0.

7.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在直角坐标系xQy中，以坐标原点。为极点，龙轴正半轴为极

（Ti兀、1x=2cosa

轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕=,曲线。2：c.（a为参数，

[42）[y=2sma

71、

—<a<7i）.

2

⑴写出C1的直角坐标方程；

（2）若直线,=%+利既与G没有公共点，也与。2没有公共点，求加的取值范围.

【解析】（1）因为夕=2sin，，即夕2=20sin。，可得Y+y2=2y,

整理得炉+（y-1）2=1,表示以（0,1）为圆心，半径为1的圆，

又因为％=pcos0=2sin0cos=sin20,y=psin0=2sin20=l-cos20,

且:W9«],则方<26W兀，贝Ux=sin28£[0,1],y=1—cos26G[1,2],

故Ci:x2+（y-l）2=l,xe[0,l],yG[1,2].

fx=2coscrTT

（2）因为。2：｛。.（。为参数，-<^<7l）,

[y=2sma2

整理得f+y2=4,表示圆心为。（0,0）,半径为2,且位于第二象限的圆弧，

如图所示，若直线y=尤+加过。,1）,贝|1=1+m，解得机=o；

m\

=2

若直线、=x+根，即x-y+m=0与C?相切，则|忘，解得力=20,

m>0

若直线y=x+，〃与c”c?均没有公共点,则7〃＞2应或加＜o,

2+/

x=-----

8.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为6。为参

2+s

x=-------

数），曲线C?的参数方程为6（s为参数）.

[>=一

（1）写出G的普通方程;

（2）以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为2cos，-sin，=0,求G与G

交点的直角坐标，及C3与G交点的直角坐标.

nI*2+/

【解析】（1）因为x=U，y=&,所以尤=,即C1的普通方程为J=6x—2（yW。）.

66

2+s

（2）因为兀=一所以6x=-2-y:即。2的普通方程为/=-6》一2（）；＜0）,

6

由2cose-sine=0n2/?cose-/?sine=0,即C3的普通方程为2x-y=0.

1

x=l

联立解得：“2或,即交点坐标为（1,2）；

y=2

J=1

1

七龙-2仔）,解得一x=-l

联立'一一5或,即交点坐标为,（-L-2）.

2x-y=0y=-2

>=T

x=6cos2t/

9.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为。

y=2sinZ

为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为

0sin〔6>+方+m=0.

（1）写出/的直角坐标方程;

（2）若/与C有公共点，求，"的取值范围.

【解析】（）因为：所以1

1/psinl0+|U/?I=0,-^-p-cos0+m=O,

2

又因为0-sinO=y,0-cosd=x,所以化简为;>+?；（；+m=0,

整理得/的直角坐标方程：JIx+y+2HI=0

(2)［方法一］:【最优解】参数方程

联立/与C的方程，即将x=V^cos2f,y=2sinr代入氐+y+2〃z=0中，

可得3cos2/■+2sinf+2m=0=>3(1-2sin2?)+2sinr+2m=0,

化简为-6sin2f+2sinf+3+2根=0，

要使/与C有公共点，则27n=6siE"2sinf-3有解,

令sin/=a,贝令/(a)=6/-2a-3,(-IWaWl),

对称轴为。=,，开口向上，

6

••/(%=/(-D=6+2-3=5,

1I?19

oo6o

IQ「195-

.-.~<2m<5,即比的取值范围为

6L122.

［方法二］:直角坐标方程

由曲线C的参数方程为卜=6cos2f,f为参数，消去参数/,可得2=-R1X+2,

［y=2sinf3

•x+y+2m=0

,^3y2-2y-4m-6=0(-2<y<2),QR4m=3y2-2y-6=3(yf-y，即有

联立273「

y2=-------x+2

3

19IQ5195

-y<4/?i<10,即一万，山的取值范围是

12,2

【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解；

方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质

上差不多，但容易忽视y的范围限制而出错.

考点4：/的几何意义

10.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴

建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为0=/?cosO+l.

(1)写出C