高考数学一轮复习：函数的单调性与最值

专题3.2函数的单调性与最值

利用单调性比较大小®

利用单调性确定参数取值范围

函数的单调性和最值(值域)问题

抽象函数的单调性问题

【核心素养】

1.以常见函数为载体，考查函数的单调性，凸显数学运算的核心素养.

2.与不等式、方程等相结合考查函数的单调性或求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心

素养.

3.与函数、不等式结合，考查单调性在求最值方面的应用，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素

养.

<r

乜*f知识概栗:

知识点一函数的单调性

1.增函数：若对于定义域/内的某个区间上的任意两个自变量再、x2,当时，都有

/(%)</(x2),那么就说函数“X)在区间D上是增函数；

2.减函数：若对于定义域/内的某个区间。(。1/)上的任意两个自变量再、4，当时，都有

/(^)>/(x2),那么就说函数/(%)在区间D上是减函数.

3.单调区间的定义

若函数y=f(x)在区间」上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间

〃叫做函数y=f{x)的单调区间.

4.【特别警示】

(1)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数了=：在(一8,0)U(0,+8)上是

减函数，而只能写成在(一8,0)和(0,+8)上是减函数.

(2)区间端点的写法；对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在

单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就

不包括这些点.

知识点二函数的最值

1.最大值：一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数"满足:

(1)对于任意的xe/,都有

(2)存在/e/,使得/(%)=〃.

那么，我们称“是函数y=/(x)的最大值.

2.最小值：一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数加满足：

(1)对于任意的xe/,都有

(2)存在九0e/,使得

那么，我们称加是函数丁=/(%)的最小值.

知识点三常用结论

(1)函数五x)与火x)+c(。为常数)具有相同的单调性.

(2火>0时，函数1x)与破x)单调性相同；4<0时，函数式x)与领㈤单调性相反.

(3)若_/(x)恒为正值或恒为负值，则/(x)与」一具有相反的单调性.

(4)若g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时,/(x>g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时,40点尤)

是减(增)函数.

(5)在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增—减=增，减—增=减.

(6)复合函数y=/[g(x)]的单调性判断方法：“同增异减”.

〈一•一•一■一•一■一,一•一■一•一■一・

帚专题型勃析/

题型一：单调性的判定和证明

【典例分析】

例1-1.（2021•全国•高考真题）下列函数中是增函数的为（）

A.f(x)=-xB./(x)=f|jC./(x)=x2

D.=

例1-2.（2023•河南•校联考模拟预测）下列函数中，在区间（0,+e）上单调递增的是（）

A.y=x2-xB.y=ex-xC.y—Inv-xD.y=|x|-x

【规律方法】

掌握确定函数单调性（区间）的4种常用方法

（1）定义法：一般步骤为设元一作差一变形一判断符号一得出结论.其关键是作差变形，为了便于判断差的

符号，通常将差变成因式连乘（除）或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及

不等式的性质进行判断.

（2）图象法：如果f（x）是以图象形式给出的，或者f（x）的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调

性.

（3）熟悉一些常见的基本初等函数的单调性.

（4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性.

【变式训练】

变式1-1.（2023•北京海淀•校考三模）下列函数中，在区间（口,0）上是减函数的是（）

C.y=logi(-x)D.y=x

2

变式1-2.【多选题】（2021•全国高一课时练习）设函数兀c）在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是（）

1

A.尸"，\］在［上为减函数B.y=|A尤）1在R上为增函数

I/WI

1

C.丫=一二）在R上为增函数D.在R上为减函数

/（x）

题型二：求函数的单调区间

例2T.函数/(x)=7x2-2x—8的单调递增区间是()

A.(—00,—2]B.(—8,1]C.[1,+8)D.[4,+00)

例2-2.（2023•北京密云•统考三模）设函数了（力=、一。

\~x+2x,%<a

①当a=2时，的单调递增区间为；

②若AeR且XHO,使得〃l+x)=/(l-x)成立，则实数a的一个取值范围________.

【规律方法】

确定函数的单调区间常见方法：

1.利用基本初等函数的单调区间

2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.

3.复合函数法：对于函数y=/[g(x)],可设内层函数为a=8(耳，外层函数为y=/(M),可以利用复

合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数

y=/[g(%)]在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数y=/[g(%)]

在区间D上单调递减.

4.导数法：不等式/'(%)〉0的解集与函数/(九)的定义域的交集即为函数八％)的单调递增区间，不等式

/'(£)<0的解集与函数/(%)的定义域的交集即为函数/(力的单调递减区间.

【变式训练】

变式2-1.(2023•海南海口•统考模拟预测)函数/(x)=/-4|x|+3的单调递减区间是()

A.(—8,-2)B.(—8,-2)和(0,2)

C.(—2,2)D.(―2,0)和(2,+oo)

变式2-2.函数y=唯式久2-3%+2)的单调递增区间是()

2

A(—8,1)B(2,+8)C(―8,|)D(|,+8)

题型三：利用单调性比较大小

【典例分析】

例3-1.(2023•全国•统考高考真题)已知函数〃上….记用)=/•⑶,。=/臼，则()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

例3-2.(2023・全国•高三专题练习)已知则()

1111aQ

A.->—B.-------C.ln(x—y)>0D.x3<y3

xyxy

【规律方法】

1.一般地，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一

个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.

2.先构造函数，确定函数的单调性，再比较函数值大小.

【变式训练】

变式3-1.（2023•甘肃金昌・永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知为是函数=-x+4的一个零点,

若占e(2,%),9€(%,+<»),贝I]()

A.%e(2,4)B./(%,)>/(%,)

C./(^)<0,/(%2)<0D.〃再)>0,/。)>0

变式3-2.（2023•新疆阿勒泰•统考三模）正数。,6满足2。-4〃=log2b-log2a,贝lj。与如大小关系为

题型四：利用单调性确定参数取值范围

【典例分析】

例4-1.（2023•全国•统考高考真题）设函数〃"=2代"）在区间（0,1）上单调递减，贝心的取值范围是（）

A.(-co,-2]B.[-2,0)

C.（0,2]D.[2,司

（3。-1）尤+4々（尤＜1）

例4-2.（2023・全国•高三专题练习）已知函数〃尤）=a,、，满足对任意的实数占，羽且占R%，

二（Ml）

都有[/（%）-/（当）]（%-W）＜0,则实数。的取值范围为（）

abc

--H]-[?l]D.m

【规律方法】

1.利用单调性求参数的范围（或值）的方法

（1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数;

（2）需注意若函数在区间[a,6]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.

（3）注意函数单调性呈现的三种方式：定义式、比值式（庭二空11）、&一为与八尤2）—五尤1）关系式.

%2%]

2.利用分离参数法；

3.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）。/x）恒成立=°次劝"皿；（2）4勺＞）恒成立㈤"血.

【变式训练】

-2

“、x-ax-3a,x>l

变式4-1.若函数，(x)={是R上的增函数，则实数。的取值范围是()

2ax-l,x<l

1

A.「§，OJB.[0jC.^-oo,D.一,+00

3

变式4-2.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃尤)=(£|-尤(尤>3),对Vxe(3,a)都有〃x)<〃z成立,

则实数优的取值范围是.

题型五：利用函数的单调性解决不等式问题

【典例分析】

例5-1.(2020・北京・统考高考真题)已知函数/(；0=2工-苫-1,则不等式/。)>0的解集是().

A.(-1,1)B.(-QO,一l)U(l，+°o)

C.(0,1)D.(-oo,0)u(l,+oo)

i91

例5-2.(2023•陕西・西北工业大学附属中学校联考模拟预测)已知函数++1+—7,则不

―2x+24x-4x-1

等式/'(2x+3)>/(f)的解集为.

【总结提升】

1.给定具体函数，确定函数不等式的解，首先要判断函数的单调性；

2.求解含“产的函数不等式的解题思路

先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))>FS(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“尸，得到一

般的不等式g(x)>尔x)(或g(x)<h3.

【变式训练】

变式5-1.己知定义在R上的函数/(无)满足"1)=2,对任意的实数苞，/且王〈尤2，

/(%1)-/(%2)<x1-x2,则不等式的解集为()

A.2)B.(2,+?)

C.(^o,-l)u(l,+co)D.(f-2)U(2,+co)

x2-3x,x<3

变式52(2023•辽宁葫芦岛•统考二模)已知函数/(幻=1，则关于x的不等式/(lr)</(2-%)

—x—1,x>3

13

的解集为.

题型六：函数的单调性和最值(值域)问题

【典例分析】

例6-1.(2023•全国•校联考三模)已知函数/(乃=用—(6+3*在［-1,1］上的最小值为一3,则实数b的取值

范围是()

「9-

A.(-oo,-4］B.［9,+oo)C.［T,9］D.--,9

-ax+1,x<a,

例62(2022・北京・统考高考真题)设函数/(x)=?若存在最小值，则a的一个取值为

(%-2),x>a.

;a的最大值为•

【规律方法】

1.函数最大值和最小值定义中两个关键词：

①“存在”:

M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，

如函数>=/(尤GR)的最小值是0,有火0)=0.

②“任意”：

最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，

都有_/(x)qW(Ax巨跖成立，也就是说，函数y=/(x)的图象不能位于直线y=M的上(下)方.

2.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

(1)<2>/(X)恒成立=<72“X)1mx;

(2)a</(x)恒成立=a4/⑺..

3.已知函数最值(值域)求参数问题的解题步骤

(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域、值域(最值)问题转化为方程或不等式的解集问题；

(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围.

【变式训练】

变式6-1.(2021・北京.统考高考真题)已知“X)是定义在上［0,1］的函数，那么“函数了⑺在［0,1］上单调递增”

是“函数/⑴在［0,1］上的最大值为了⑴”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

变式6-2.(2023.北京.高三专题练习)已知函数〃尤)的定义域为［0』.能够说明“若〃尤)在区间［0』上的最

大值为，⑴，则/(x)是增函数”为假命题的一个函数是.

题型七：抽象函数的单调性问题

例7-1.函数八龙）是定义在（0,+8）上的减函数，对任意的尤，ye（0,+功，都有兀c+y）=#x）+〃）一1,且

A4）=5.

⑴求42）的值；

（2）解不等式角，z—2巨3.

例7-2.（2023•全国•高三对口高考）设定义在R上的函数“X）,满足当尤＞0时，/（x）＞1,且对任意x,y&R,

有〃x+y）=/（x）./（y）,〃l）=2.

⑴求A。）；

⑵求证：对任意xeR,都有/（幻＞0；

（3）解不等式/（3X-X2）＞4；

（4）解方程/（尤+3）=/（2）+1.

【总结提升】

1.所谓抽象函数，一般是指没有给出具体解析式的函数，研究抽象函数的单调性，主要是考查对函数单调性

的理解，是一类重要的题型，而证明抽象函数的单调性常采用定义法.

2.一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是7U+y）”型［即给出尤+y）所具有的性质，如本

例］,二是次孙）”型.对于犬x+y）型的函数，只需构造八无2）=力不+（*2—为）］，再利用题设条件将它用兀n）与

八忿一xi）表示出来，然后利用题设条件确定/（X2—尤1）的范围（如符号、与“1”的大小关系），从而确定式X2）与式制）

的大小关系；对加y）型的函数，则只需构造加2）=曲孑）即可.

【变式训练】

变式7-1.（2021.海南高三其他模拟）已知定义在R上的函数“X）满足〃x—y）=〃x）—〃y）,且当

x＜0时，/（%）＞0,则关于X的不等式a+m2%）+/（2力（其中0〈加〈点）的解

集为（）

，212

A.＜xm＜x＜一＞B.{%|xv根或入＞一}

mJm

，212

C.sx一＜x＜m＞D.{x|x＞加或一}

mm

变式72函数/（处的定义域为H，并满足以下条件：①对任意有了。）＞0；②对任意乂丁£尺，

有f(xy)="(x)F;③/(；)〉L

(I)求/(O)的值；

(II)求证：f(x)在R上是单调增函数；

(III)a>b>c>0,且b?=ac,求证：/(«)+/(c)>2/(Z?).

一、单选题

1.（2022秋・西藏林芝•高三校考阶段练习）函数“r）=，3+2%-1的单调递增区间是（）

A.(-8,1]B.[1,+oo)C.[1,3]D.[—1,1]

2.（2023・全国二对口IWJ考）下列函数中，在区间（1,+8）上是增函数的是（）

A.y=-2，B.-C.y=-（x-l）2D.y=loglX

\~X2

-x2—ax—9,x<\

3.（2023・全国•高三专题练习）已知函数〃%）=a在R上单调递增，则实数〃的取值范围为

—,x>l

（）

A.[-5,0）B.（—,-2）

C.[-5,-2]D.S，o）

4.(2023•北京通州・统考三模)设a=ln0.2,6=00,c=e0-2,则()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.b<c<a

\nx,x>l

5.（2023•黑龙江大庆•铁人中学校考二模）已知函数〃x）=<0,0Wx<l,若1V0,则实数a的取

<0

值范围是（）

e+1

A.-----,+co

2

C.。苫

6.（2023・全国•高三对口高考）设函数y=/（x）的定义域为R,对于给定的正数匕定义函数

人（无给出函数"》）=一"+八一2'若对任意的xeR'恒有'（尤）=/"）,则（）.

A.人的最大值为2B.4的最小值为2C.左的最大值为1D.4的最小值为1

二、多选题

7.（2022秋•福建龙岩•高三校考阶段练习）下列函数中在区间（0,1）内单调递减的是（）

11

A.-i；-2B.y=2-x

y—ArJ

C.y=ln（x+l）D.y=|l-'

8.（2022秋•山东青岛•高三青岛二中校考阶段练习）已知函数y=/（x）的定义域为［T5］,其图象如图所示,

则下列说法中正确的是（）

A.〃尤）的单调递减区间为（0,2）

B.〃尤）的最大值为3

C.“X）的最小值为T

D.f（无）的单调递增区间为（T0）U（2,5）

9.（2023・江苏•校联考模拟预测）若函数/（尤）=）,且玉<4，则（）

A.（^--^）（/（^）-/（x2））>0B.xl-f（xl）>x2-f（x2）

C./（%））-%2</（%2）-^D.

三、填空题

\x2-2x-2>\,x>a

10.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（%）=।1，对于任意两个不相等的实数X，W£R，

ax—ll,x<a

都有不等式（占-彳2）［”可）-〃々）］>0成立，则实数°取值范围是.

11.(2023•全国•高三专题练习)已知二次函数〃力=以2+法(①6为常数)满足〃尤-1)=〃3-力，且方

程〃x)=2x有两等根，〃尤)在［0月上的最大值为g⑺，则g⑺的最大值为.

四、解答题

12.(2023・高一课时练习)已知函数了⑺的定义域是(0,+8),满足"2)=1,尤>1时/(无)>0,对任意正实

数x,»都有/XW)：/。)+/(，).

⑴求/⑴"(4)的值；

(2)证明：函数了⑺在(0,+8)上是增函数；

(3)求不等式/(x)-/(x-3)>2的解集.

专题3.2函数的单调性与最值

【核心素养】

1.以常见函数为载体，考查函数的单调性，凸显数学运算的核心素养.

2.与不等式、方程等相结合考查函数的单调性或求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及

数学运算的核心素养.

3.与函数、不等式结合，考查单调性在求最值方面的应用，凸显直观想象、逻辑推理、数

学运算的核心素养.

知双概要,

知识点一］函数的单调性

1.增函数:若对于定义域/内的某个区间上的任意两个自变量苞、%,当为<马

时，都有/(%)</(%)，那么就说函数/(*)在区间。上是增函数；

2.减函数:若对于定义域/内的某个区间D(D#上的任意两个自变量再、%,当药<%

时，都有

/(%1)>/(%2),那么就说函数/(%)在区间。上是减函数.

3.单调区间的定义

若函数y=f(x)在区间。上是增函数或减函数,则称函数尸/'(x)在这一区间上具有(严格的)

单调性，区间，叫做函数尸Ax)的单调区间.

4.【特别警示】

(1)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数产=:在(-8,0)

U（0,+8）上是减函数，而只能写成在（一8,0）和（0,+8）上是减函数.

（2）区间端点的写法；对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变

化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于

某些点无意义时，单调区间就不包括这些点.

知识点二］函数的最值

1.最大值：一般地，设函数y=/（x）的定义域为/,如果存在实数“满足：

⑴对于任意的xe/,都有/（x）WAf；

（2）存在/e/,使得

那么，我们称"是函数y=/（x）的最大值.

2.最小值：一般地，设函数y=/（x）的定义域为/,如果存在实数机满足：

（1）对于任意的xe/,都有/（力2加；

（2）存在使得=

那么，我们称幽是函数y=/（x）的最小值.

知识点三常用结论

（1）函数1X）与/（x）+c（c为常数）具有相同的单调性.

（2）女>0时，函数1%）与软r）单调性相同；N0时，函数式%）与破工）单调性相反.

（3）若/（尤）恒为正值或恒为负值，则五尤）与」一具有相反的单调性.

/（x）

（4）若y（x）,g（x）都是增（减）函数，则当两者都恒大于零时，y（Dg（x）是增（减）函数；当两者都恒

小于零时，1Ax>g（x）是减（增）函数.

（5）在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增一减=增，减一增=减.

（6）复合函数y=/［g（x）］的单调性判断方法：“同增异减”.

常考题壑弱析/

题型一：单调性的判定和证明

【典例分析】

例1-1.（2021•全国•高考真题）下列函数中是增函数的为（）

A./(x)=-xB.=C./(x)=x2D.于(x)=W

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A,〃x)=-x为R上的减函数，不合题意，舍.

对于B,=为R上的减函数，不合题意，舍.

对于C,〃司=/在(-8,0)为减函数，不合题意，舍.

对于D,/(力=近为R上的增函数，符合题意，

故选：D.

例12(2023•河南•校联考模拟预测)下列函数中，在区间(0,+e)上单调递增的是()

A.y=x2-xB.y=ex-xC.y=lor_尤D.y=|x|-x

【答案】B

【分析】由二次函数的性质可判断A,利用函数的导数可判断BC,根据绝对值的意义结合

条件可判断D.

【详解】对于A,函数图象的对称轴为x=:，函数在上单调递减，在［3,上单调

递增，故A错误；

对于B,当xe(O,w)时，y=e'-l>0,所以函数在(。,+“)上单调递增，故B正确；

11—

对于c,y=；-i=子T，函数在(0,1)上单调递增，在。,内)上单调递减，故C错误；

对于D,当x>0时，y=0是常数函数，D错误，

故选：B.

【规律方法】

掌握确定函数单调性(区间)的4种常用方法

(1)定义法：一般步骤为设元一作差一变形一判断符号一得出结论.其关键是作差变形，为

了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假

定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断.

(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者/<x)的图象易作出，则可由图象的直观性

确定它的单调性.

(3)熟悉一些常见的基本初等函数的单调性.

(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性.

【变式训练】

变式1-1.（2023•北京海淀•校考三模）下列函数中，在区间（-双。）上是减函数的是（）

A.y=X3C.J=logiH)D.y=x

2

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的单调性及对数型复合函数的单调性判断即可.

【详解】对于A：y=V在定义域R上单调递增，故A错误;

对于B：y==2,在定义域R上单调递增，故B错误；

对于c：y=i°gjr）定义域为（-8,0）,因为y=-x在（-8,0）上单调递减且值域为（0,+功，

又y=logp在定义域上单调递减，所以>=1弋（-冷在（_8,0）上单调递增，故c错误；

对于D：y=X-'=^,函数在（-8,0）上单调递减，故D正确；

故选：D

变式1-2.【多选题】（2021•全国高一课时练习）设函数人龙）在R上为增函数，则下列结论不

一定正确的是（）

1

A.产在R上为减函数B.y=|#x）|在R上为增函数

I/WI

1

C.丫=一二大在尺上为增函数D.产-力劝在R上为减函数

/（x）

【答案】ABC

【解析】

令/（x）=%可判断出ABC不正确，利用单调函数的定义判断可得结果.

【详解】

11

对于A,若则、|=1，在R上不是减函数，A错误；

lf（x）||x|

对于B,若兀0=无，则y=|Xx）|=|x|,在R上不是增函数，B错误；

11

对于C,若"r）=无，则y=-在R上不是增函数，C错误；

/（x）x

对于D,函数y（x）在R上为增函数，则对于任意的Xl,X2WR,设XI<X2,必有兀X1）勺（X2）,

对于产FX），则有力->2=［1/（尤1）］一［丁/（无2）］小X2）—J（X1）>O,

则产一穴龙）在R上为减函数，D正确.

故选：ABC

题型二：求函数的单调区间

例2-1.函数f(x)==^的单调递增区间是()

A.(—co,-2]B.(—8,1]C.[1,+8)D.[4,+oo)

【答案】D

【解析】

x2-2x-8>0得x>4或x<-2,

令/—2x—8—t,则y=行为增函数，

t=x2-2x-8在[4,+8)上的增区间便是原函数的单调递增区间，

.•・原函数的单调递增区间为[4,+8),故选D.

例2-2.(2023•北京密云・统考三模)设函数〃x)='2一°

\—x+xa

①当。=2时，〃x)的单调递增区间为；

②若玉eR且xwO,使得〃l+x)=〃l-x)成立，则实数a的一个取值范围_______.

【答案】(-00,1],[2,+00)

【分析】当a=2时，作出f(x)的图象，结合图象，即可求得函数的递增区间，由

/(l+x)=〃l-力，得到〃尤)的图象关于x=l对称，结合题意，即可求得。的取值范围.

jxx22

【详解】①当a=2时，可得〃x)=:一函数的图象，如图所示，

\~x+zx,x2,

可得函数“X)的单调递增区间为(-8,1]，[2,+8).

②由〃l+x)=〃l—x),可函数“X)的图象关于X=1对称,

若NeR且XW0,使得〃l+x)=/(l-X)成立，

如图所示，贝IJ满足a>l,即实数。的取值范围为(1,—).

故答案为:(-8,1],[2,+8);(1,+CO).

【规律方法】

确定函数的单调区间常见方法：

1.利用基本初等函数的单调区间

2.图象法:对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.

3.复合函数法：对于函数y=/[1?(%)],可设内层函数为a=g(x),外层函数为y=/(«),

可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的

单调性相同，则函数y=/[g(x)]在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上

的单调性相反，则函数y=/[g(x)]在区间D上单调递减.

4.导数法：不等式/'(另>0的解集与函数/(x)的定义域的交集即为函数/(尤)的单调递

增区间，不等式/'(x)<0的解集与函数/(%)的定义域的交集即为函数/(*)的单调递减

区间.

【变式训练】

变式2-1.(2023•海南海口•统考模拟预测)函数/。)=/-4|幻+3的单调递减区间是()

A.(-00,-2)B.(—co,—2)和(0,2)

C.(-2,2)D.(—2,0)和(2,4-00)

【答案】B

【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求

X2-4x+3,%>0

【详解】/(x)=%2-4|.r|+3=

x2+4x+3,x<0

则由二次函数的性质知，当％>0时，y=4x+3=(%—2)2—1的单调递减区间为(0,2)；

当％v0,y=%2+4%+3=(4+2)2一1的单调递减区间为(一00,-2),

故f(x)的单调递减区间是(-泡-2)和(0,2).

故选：B

变式2-2.函数丫=1唯(--3%+2)的单调递增区间是()

2

A(—00,1)B(2,+oo)C(—00,-)D+co)

【答案】A

【解析】

由题可得x--3x+2>0,解得x<l或x>2,

由二次函数的性质和复合函数的单调性可得

函数y=logK%2—3久+2)的单调递增区间为：(-8,1)

故选：A.

题型三：利用单调性比较大小

【典例分析】

例3-1.(2023•全国•统考高考真题)己知函数〃9=L1尸.记

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即

可.

【详解】令g(x)=-(x-iy,则洋尤)开口向下,对称轴为x=l,

因为乎-1-1一；=屈丁gj^(^+^)2_42=9+672-16=6^-7>0,

而\右]面+右4„n\[6V3

所以^--1-1一一—=--------->0,即2!__1>1-2_

2(2)2222

由二次函数性质知g*)<g吟),

A/6..76+724

因为^--RI——1=-------而

(A/6+72)2-42=8+4A/3-16=4^-8=4(73-2)<0,

即坐一1<1一日，所以g(手)>g(手)，

综上,g*)<g吟)<g吟)，

又〉=二为增函数，t^a<c<b,^b>c>a.

故选：A.

例3-2.(2023・全国•高三专题练习)已知％—lny>y—Inx,贝|()

1111.

A.->—B.%—>>------C.ln(x—y)>0D.x3<y3

xyxy

【答案】B

【分析】首先构造函数f(x)=x+lnx,尤>0,由函数的单调性判断x>y>0,再结合不等

式的性质，结合选项，即可判断选项.

【详解】由题可得，x+lnx>y+lny,

设/(x)=x+lnx,x>0,因为增函数+增函数=增函数,

即函数/(X)在(o,+8)上递增，所以由/(x)>/(y)可得：x>y>Q.

对于A,由函数y=4在(0,+e)上递减，所以当x>y>0时，A错误；

xxy

对于B,易知函数>=》-^在(0,+8)上为增函数-减函数=增函数，所以当x>y>0时，

x-->y~—,gpx-y>~--,B正确；

xyxy

对于C,当x>y>。时，若贝l|ln(无一y)<0,C错误；

对于D,因为函数y=V在(0,+e)上递增，所以当尤>y>0时，x3>j3,D错误.

故选：B

【规律方法】

1.一般地，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性

质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求

解.

2.先构造函数，确定函数的单调性，再比较函数值大小.

【变式训练】

变式3-1.(2023・甘肃金昌・永昌县第一高级中学统考模拟预测)已知%是函数

=-x+4的一个零点，若西武2,%),々则()

A.%以2,4)B./(^)>/(x2)

C./(%1)<0,/(%2)<0D./(^)>0,/(x2)>0

【答案】B

【分析】根据指数函数及一次函数的单调性确定函数递减，再由零点存在性确定零点范围，

结合单调性判断/(&)"(%)大小.

【详解】函数y=在区间(2,+8)上单调递减，函数，=r+4在区间(2,+8)上单调递减,

故函数〃x)=g1-x+4在区间(2,+8)上单调递减，

又/⑵>0,/⑶>0,/(4)>0"⑸<0,

所以％e(4,5),

因为/(%)=0,Xj6(2,X0),X2e(x0,-H»),

由单调性知〃e)>0,/心)<。即/(%)>/(%).

故选：B

变式32（2023•新疆阿勒泰・统考三模）正数。/满足2。-4=log?b-log?。，则。与%大

小关系为.

【答案】a<2b/2b>a

【分析】构造函数〃幻=2'+1国小，并运用其单调性比较大小即可.

【详解】因为2“-4〃=log泮-log?a,

b2h2

所以2"+log,a=4+log2b=2+log2b+log22-1=2*+log22b-1,

设/（无）=2'+log2X,贝Ij于（a）=f（2b）-l,

所以/（a）<”26）,

又因为>=2'与>=log2x在（0,+8）上单调递增，

A

所以/（x）=2+log2x在（0,+■»）上单调递增，

所以a<2/7.

故答案为：a<2b.

题型四：利用单调性确定参数取值范围

【典例分析】

例4-1.（2023•全国•统考高考真题）设函数/（尤）=2代“）在区间（0,1）上单调递减，则“的取

值范围是（）

A.（—00,—2]B.[—2,0）

C.（0,2]D.[2,+8）

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数y=2*在R上单调递增，而函数/（司=2，（1）在区间（0,1）上单调递减，

则有函数y=尤（》-为=（》-殳2在区间（°/）上单调递减，因此解得a22,

所以。的取值范围是[2,+8）.

故选：D

（3a—1）x+4Q（X<1）

例4-2.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（%）=，Q/、，满足对任意的实

：（工川

数耳，巧且占*%，者B有[/（玉）一/（々）]（可一无2）<0,则实数a的取值范围为（）

A•5）B-H）C-

【答案】C

【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范

围.

【详解】对任意的实数%都有［『a)—/(x2)］a—上)<0,即"成立,

可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0,说明函数是减函数；

3d—1<0

可得：<。>。，

3a-l+4a>a

解得ae—,-^1,

1_63)

故选：C

【规律方法】

1.利用单调性求参数的范围(或值)的方法

(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调

区间比较求参数；

(2)需注意若函数在区间［a,句上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.

(3)注意函数单调性呈现的三种方式：定义式、比值式产二曲))、及一XI与加2)—人制)

X2,-V1

关系式.

2.利用分离参数法；

3.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)。次了)恒成立0。豕0，皿；(2)a#x)恒成立

加.

【变式训练】

"2

一“、犬-ax-3a.x>l

变式4-1.若函数，(x)=〈是H上的增函数，则实数。的取值范围是

2ax-l,x<1

()

1

A.---0|B.I0,-C.I-co,--D.一,+00

L3JI3」I3」3

【答案】B

【解析】

-2

“、x-ax-3a,x>l

由函数〃%)=<c、、是7?上的增函数，

2ax-l,x<