2025届高考数学试卷专项练习03函数及其应用含解析

函数及其应用一、单选题1．（2024·聊城市·山东聊城一中高三一模）果农采摘水果，采摘下来的水果会渐渐失去簇新度．已知某种水果失去簇新度h与其采摘后时间t（天）满意的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的簇新度为10%，采摘后20天，这种水果失去的簇新度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%簇新度（已知，结果取整数）（）A．23天 B．33天 C．43天 D．50天【答案】B【解析】依据题设条件先求出、，从而得到，据此可求失去50%簇新度对应的时间.【详解】，故，故，令，∴，故，故选：B.2．（2024·辽宁沈阳市·高三一模）技术的数学原理之一是闻名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽视不计.假设目前信噪比为若不变更带宽，而将最大信息传播速度提升那么信噪比要扩大到原来的约（）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】D【解析】依据题意可得，，两式联立，再利用对数函数的单调性求解.【详解】由条件可知，设将最大信息传播速度提升那么信噪比要扩大到原来的倍，则，所以，即，所以，解得，故答案为：D3．（2024·广东广州市·高三一模）2024年11月10日，我国“奋斗者”号载人深潜器在马里亚纳海沟胜利坐底，下潜深度达到惊人的，创建了我国载人深潜的新记录.当“奋斗者”号下潜至某一深度时，处于其正上方海面处的科考船用声呐装置向“奋斗者”号放射声波.已知声波在海水中传播的平均速度约为，若从发出至回收到声波所用时间为，则“奋斗者”号的实际下潜深度约为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】可得声波从海面传到“奋斗者”号的时间为3s，即可求出实际下潜深度.【详解】可得声波从海面传到“奋斗者”号的时间为，则“奋斗者”号的实际下潜深度约为.故选：B.4．（2024·全国高三专题练习（理））溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在之间，假如发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的值的范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】按题设所给公式求相应的值即可.【详解】依题意，，因此，正常人体血液的值的范围是．故选:D．5．（2024·江苏盐城市·高三二模）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于时，疫情才可能渐渐消散．广泛接种疫苗可以削减疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为，个感染者在每个传染期会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗(称为接种率)，那么个感染者新的传染人数为．已知新冠病毒在某地的基本传染数为了使个感染者传染人数不超过，该地疫苗的接种率至少为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意列不等式，即可求出结果.【详解】由题意可得：故选：C.6．（2024·全国高三专题练习）函数的大致图象为A． B．C． D．【答案】A【解析】将函数表达式化为，由函数奇偶性得到BC不正确，再由特别值得到最终结果.【详解】因为是奇函数解除，且当时，.故答案为A.7．（2024·山东烟台市·高三一模）已知是定义在上的奇函数，，当时，，则（）A． B．是的一个周期C．当时， D．的解集为【答案】D【解析】由是定义在上的奇函数、可得的最小正周期是4，即可推断A、B的正误，然后可得时，，然后结合条件可推断C、D的正误.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以所以，所以所以的最小正周期是4，故B错误，故A错误因为当时，，是定义在上的奇函数所以当时，，当时，，，故C错误因为当时，，的最小正周期是4，所以的解集为，故D正确故选：D8．（2024·江苏常州市·高三一模）若则满意的x的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】按或0，，和四种状况，分别化简解出不等式，可得x的取值范围．【详解】①当或0时，成立；②当时，，可有，解得；③当且时，若，则，解得若，则，解得所以则原不等式的解为，故选：B9．（2024·山东滨州市·高三一模）定义在上的函数满意，且，时，都有，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意可知函数为奇函数，且函数在上单调递增，比较自变量的大小，利用函数的单调性即可求解.【详解】，时，都有，所以函数在上单调递增，又函数满意，所以函数为奇函数，且，所以在上单调递增，，又，，则，所以.故选：B10．（2024·山东青岛市·高三一模）若，不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】分和两种状况分别求解，再求并集即可.【详解】当时，当时，综上不等式的解集为故选：A.11．（2024·山东济宁市·高三一模）已知，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依据正弦函数，指数函数与对数函数的单调性，分别判定的范围，即可得出结果.【详解】由知：，则；由知：，则；由知：，则，所以；故选：B.12．（2024·全国高三专题练习）已知，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知，依据各选项并结合对应函数的区间单调性，即可推断指对数式的大小关系.【详解】由题意知：，而，∴在定义域内单调减，故，则B错误；，故A错误；在第一象限的单调递增知，故C错误；定义域内单调递减，即，故D正确；故选：D13．（2024·全国高三专题练习）在一次数学试验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：在以下四个函数模型（为待定系数）中，最能反映函数关系的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】在坐标系中画出点，依据点的特征进行推断即可.【详解】依据点在坐标系中的特征可以知道，当自变量每增加1时，y的增加是不相同的，所以不是线性增加，解除A；由图象不具有反比例函数特征，解除B；因为自变量有负值，解除C；当自变量增加到3时，y增加的许多，所以符合指数的增加特征，D正确，故选：D.14．（2024·山东枣庄市·高三二模）已知函数则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先分析出时的周期性，然后依据周期性以及已知条件将问题转化为计算的值，由此求解出结果.【详解】当时，因为，所以，所以是周期为的函数，所以，又因为，所以，故选：A.结论点睛：周期性常用的几个结论如下：（1）对时，若或（）恒成立，则是的一个周期；（2）对时，若或或（）恒成立，则是的一个周期；（3）若为偶函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数；（4）若为奇函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数.15．（2024·辽宁铁岭市·高三一模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）．A． B．C． D．【答案】D【解析】将方程，转化为，在同一坐标系中作出函数与的图象，利用数形结合法求解.【详解】方程，即为，因为方程有两个不相等的实数根，所以函数与的图象有两不同的交点，在同一坐标系中作出函数与的图象如图所示：由图象知：当直线过点时，，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即，解得，所以实数的取值范围是，故选：D．16．（2024·山东烟台市·高三一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量(单位：)与时间(单位：)间的关系式为，其中为正常数.假如肯定量的废气在前的过滤过程中污染物被消退了那么污染物削减到最初含量的还须要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：)（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先由已知条件建立方程求得，再代入模型中求得时间得选项.【详解】由已知得，方程两边取自然对数得，所以，设污染物削减到最初含量的须要经过t小时，则，两边取自然对数得，解得，所以还须要经过个小时的时间使污染物削减到最初含量的，故选：B.17．（2024·山东滨州市·高三一模）定义在上的偶函数满意，当时，，设函数（为自然对数的底数），则与的图象全部交点的横坐标之和为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】依据已知条件求出的周期，利用周期性和偶函数作出在区间的图象，以及的图象，数形结合即可求解.【详解】因为满意，所以图象关于直线对称，因为是上的偶函数，所以图象关于直线对称，所以的周期为，的图象关于直线对称，由时，，作出图象如图和的图象由图知与的图象在区间有四个交点，设交点横坐标分别为，且，，所以，所以与的图象全部交点的横坐标之和为，故选：D18．（2024·山东德州市·高三一模）设函数，其中，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由原不等式可得，分两种状况探讨，求出不等式的解，依据解集在唯一整数即可求解.【详解】由可得，化简得，当时，，故当时，恒成立，故不存在唯一整数，使得成立，当时，令，解得且，所以的解为，若存在唯一整数，则，解得，故选：C19．（2024·山东日照市·高三一模）如图所示，单位圆上肯定点与坐标原点重合．若单位圆从原点动身沿轴正向滚动一周，则点形成的轨迹为（）A．

B．

C．D．【答案】A【解析】分析当单位圆向轴正向滚动个单位长度时的纵坐标，由此推断出点形成的轨迹.【详解】如图所示，记为圆上的三个四等分圆周的点，由题意可知：圆是逆时针滚动的，因为圆的周长为，所以，且圆上点的纵坐标最大值为，当圆逆时针滚动单位长度时，此时的相对位置互换，所以的纵坐标为，解除BCD，故选：A.20．（2024·山东青岛市·高三一模）已知为奇函数，为偶函数，若当时，，则（）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】由得，为偶函数得关于对称，故周期为4，则问题可解．【详解】为奇函数，且关于原点对称①∵时，∴，∴∴时，∵为偶函数关于轴对称．则关于对称②由①②可知∴，∴．∴，∴周期为4，，故选：C．21．（2024·江苏省天一中学高三二模）定义在上的函数满意，且为奇函数，则的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依据为奇函数，得到函数关于中心对称，解除，计算解除，得到答案.【详解】为奇函数，即，函数关于中心对称，解除.，解除.故选：.22．（2024·辽宁沈阳市·高三一模）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先利用方程组的方法分别求函数和的解析式，令，利用导数分析函数的单调性，以及极值点，利用函数有唯一的零点，可知微小值，利用平移可知，求正实数的值.【详解】由已知条件可知由函数奇偶性易知令，为偶函数.当时，，单调递增，当时，单调递减，仅有一个微小值点图象右移一个单位，所以仅在处有微小值，则函数只有一个零点，即，解得，故选：A23．（2024·全国高三专题练习）高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：.已知，则函数的值域为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用常数分别法将原函数解析式化为，然后分析函数的值域，再依据高斯函数的含义确定的值域.【详解】，当时，，则，故，故；但时，，则，故，；综上所述，函数的值域为.故选：C.【点睛】本题考查新定义函数及函数值域求解问题，解答本题的关键在于依据指数函数的性质分析清晰的值域，然后确定的值域.24．（2024·全国高三专题练习）设是上的奇函数，且在上是减函数，又，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析出函数在、上的单调性，以及，化简得出，结合图象可得出关于实数的不等式组，由此得出原不等式的解集.【详解】因为是上的奇函数，则，由于函数在上是减函数，则该函数在上也为减函数，，则，作出函数的大致图象如下图所示：由，可得，由，可得或，此时；由，可得或，解得.因此，不等式的解集是.故选：B.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；（2）推断函数的单调性，再依据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到详细的不等式（组），但要留意函数奇偶性的区分.二、多选题25．（2024·广东深圳市·高三一模）已知函数，若，则下列不等式肯定成立的有（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】确定函数是增函数，然后比较自变量的大小后可得正确选项．【详解】易知是上的增函数，时，成立，成立，BD肯定成立；与的大小关系不确定，A不肯定成立；同样与的大小关系也不确定，如时，，C也不肯定成立．故选：BD．26．（2024·全国高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数 B．是增函数C．最小值是2 D．最大值是4【答案】AC【解析】依据函数的奇偶性，均值不等式及特值法求解即可.【详解】的定义域为,关于原点对称，又，所以函数为偶函数，所以函数在R上不是增函数，故A正确B错误；又，当且仅当，即时等号成立，故C正确；当时，，故D错误.故选：AC27．（2024·广东汕头市·高三一模）已知定义在R上的奇函数，满意，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则m的取值可以是（）A．3.8 B．3.9 C．4 D．4.1【答案】AB【解析】由对称性和奇偶性得出函数是周期函数，作出函数和的图象，由图象视察得两个函数图象有10个交点时，的范围．【详解】是奇函数，则，又，，令得，即，所以是周期函数，周期为2，又是上的奇函数，所以，，所以，，作出和的图象，其中的周期是，如图，由图可知时，从点，10个交点依次为，点是第11个交点，，设点横坐标为，明显，，，因此，所以，于是，，即，所以可取，，时至少有11个零点，故选：AB．28．（2024·山东日照市·高三一模）已知，，则（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】依据对数函数的性质可推断AB正误，由不等式的基本性质可推断CD正误.【详解】由可得，同理可得，因为时，恒有所以，即，故A错误B正确；因为，所以，即，由不等式性质可得，即，故C正确D错误.故选：BC三、填空题29．（2024·山东济宁市·高三一模）已知函数，则______．【答案】【解析】依据分段函数解析式，代入即可求解.【详解】由，得；故答案为：.30．（2024·山东枣庄市·高三二模）写出一个图象关于直线对称且在上单调递增的偶函数______.【答案】【解析】取，再验证其奇偶性、对称性、单调性即可.【详解】如，，即为偶函数由，当时，关于直线对称由得，则由余弦函数的性质可知，函数在上单调递增故答案为：31．（2024·山东日照市·高三一模）若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则______.【答案】【解析】分析函数在区间上的单调性，可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.【详解】，所以，函数在区间上为增函数，由已知条件可得，，，解得.故答案为：.32．（2024·辽宁铁岭市·高三一模）赵先生打算通过某银行贷款5000元，然后通过分期付款的方式还款．银行与赵先生约定：每个月还款一次，分12次还清全部欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，则赵先生每个月所要还款的钱数为______元．（精确到元，参考数据）【答案】【解析】本题首先可设每一期所还款数为元，然后结合题意列出每期所还款本金，并依据贷款5000元列出方程，最终借助等比数列前项和公式进行计算即可得出结果.【详解】设每一期所还款数为元，因为贷款的月利率为，所以每期所还款本金依次为、、、、，则，即，，，，小明每个月所要还款约元，故答案为：.33．（2024·浙江高二期末）已知y=f(x)的图象关于坐标原点对称，且对随意的x∈R，f(x+2)=f(-x)恒成立，当时，f(x)=2x，则f(2024)=_____________.【答案】【解析】由已知条件推出函数的周期，利用函数的周期和奇偶性求值即可．【详解】y=f(x)的图象关于坐标原点对称，则又，可得，即的周期为故答案为：34．（2024·山东高三专题练习）设函数，若，则___________.【答案】【解析】先求出，再分和两种状况，把代入函数中列方程可求出的值【详解】∵，∴.当时，即时，，则，与相冲突，应舍去.当，即时，，则，即，满意时.故答案为：.35．（2024·广东深圳市·高三一模）已知函数的图象关于y轴对称，且与直线相切，则满意上述条件的二次函数可以为_______.【答案】（答案不唯一）．【解析】关于轴对称，函数为偶函数，可以设，然后由它与直线相切可求得的关系，取特别可得结论．【详解】因为二次函数的图象关于y轴对称，所以可设，由得，所以，即．取，，则，（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．36．（2024·全国高三专题练习）若函数满意：（1）对于随意实数，当时，都有；（2），则___________.(答案不唯一，写出满意这些条件的一个函数即可)【答案】型的都对【解析】本题属于开放性题，只需填写符合题意的答案即可，依题意可以推断函数在上单调递增，又，（且，）即可得解；【详解】解：对于随意实数，，当时，都有，说明该函数在上单调递增，又对数函数满意运算性质：，故可选一个递增的对数函数：．故答案为：．37．（2024·山东高三专题练习）已知函数在上的最大值是6，则实数的值是___________.【答案】或【解析】对进行分类探讨，结合函数的单调性和最值，求得的值.【详解】不妨设的定义域为，当时，，，不符合题意.当时，设，在区间上递增，值域为，即.即.，而，，在上为增函数，故要使函数在上的最大值是6，则或，所以或.故答案为：或38．（2024·山东枣庄市·高三二模）2024年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破、为了使扶贫工作接着推向深化，2024年某原贫困县对家庭状况较困难的农夫实行购买农资实惠政策.（1）若购买农资不超过2000元，则不赐予实惠；（2）若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价赐予9折实惠；（3）若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价赐予9折实惠，超过5000元的部分按原价赐予7折实惠.该县家境较困难的一户农夫预购买一批农资，有如下两种方案：方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3150元和4850元；方案二：一次性付款购买.若实行方案二购买这批农资，则比方案一节约______元.【答案】700【解析】依据方案一先推断出两次实际付款元与元对应的原价，然后依据两次的原价可计算出方案二的实际付款，由此可计算出所节约的钱.【详解】因为且，所以实际付款元对应的原价为元，又因为，所以实际付款元对应的原价大于元，设实际付款元对应的原价为元，所以，解得，所