2024年普通高等学校招生全国统一考试·全国甲卷·文（数学）附试卷分析

2024年普通高等学校招生全国统一考试·全国甲卷·文（数学）一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设z=2i,则z·z=A.-2 B.2 C.-2 D.22.若集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A},则A∩B=A.{1,3,4} B.{2,3,4}C.{1,2,3,4} D.{0,1,2,3,4,9}3.若x,y满足约束条件4x-3y-3≥0x-2yA.12 B.0 C.-52 4.甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是A.14 B.13 C.125.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,则a3+a7=A.-2 B.73 C.1 D.6.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为A.4 B.3 C.2 D.27.设函数f(x)=ex+2sinx1+x2,则曲线A.16 B.13 C.128.函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sinx在区间[-2.8,2.8]的图象大致为A. B.C. D.9.已知cosαcosα-sinαA.23+1 B.23-1C.32 D.1-10.已知直线ax+y+2-a=0与圆C:x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为A.2 B.3 C.4 D.611.设α,β为两个平面,m,n为两条直线,且α∩β=m,下述四个命题:①若m∥n,则n∥α或n∥β②若m⊥n,则n⊥α或n⊥β③若n∥α且n∥β,则m∥n④若n与α,β所成的角相等,则m⊥n其中所有真命题的编号是A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=π3,b2=94ac,则sinA+sinA.23913 B.3913 C.7二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数f(x)=sinx-3cosx在[0,π]上的最大值是.

14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台的母线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆台甲与乙的体积之比为.

15.已知a>1且1log8a−1log16.曲线y=x3-3x与y=-(x-1)2+a在(0,+∞)上有两个不同的交点,则a的取值范围为.

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1-3.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{Sn}的前n项和.18.(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表:优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p>p+1.65p(1-p)n附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.(12分)如图,已知AB∥CD,CD∥EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=10,AE=23,M为CD的中点.(1)证明:EM∥平面BCF;(2)求点M到平面ADE的距离.20.(12分)已知函数f(x)=a(x-1)-lnx+1.(1)求f(x)的单调区间;(2)当a≤2时,证明:当x>1时,f(x)<ex-1恒成立.21.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,点M(1,(1)求C的方程;(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:AQ⊥y轴.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=ρcosθ+1.(1)写出C的直角坐标方程;(2)设直线l:x=ty=t+a(t为参数),若C与l相交于A23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知实数a,b满足a+b≥3.(1)证明:2a2+2b2>a+b;(2)证明:|a-2b2|+|b-2a2|≥6.参考答案1.D2.C3.D4.B5.D6.C7.A8.B9.B10.C11.A12.C13.214.6417.(1)第1步:将关系式中的n换为n+1因为2Sn=3an+1-3,所以2Sn+1=3an+2-3,第2步:两式相减,利用Sn+1-Sn=an转化,求等比数列{an}的公比两式相减可得2an+1=3an+2-3an+1,即an+2=53an+1,所以等比数列{an}的公比为53第3步:利用S1=a1求出首项a1,进而得{an}的通项公式因为2S1=3a2-3=5a1-3,所以a1=1,故an=(53)n-1.(2)因为2Sn=3an+1-3,所以Sn=32(an+1-1)=32[(53)设数列{Sn}的前n项和为Tn,则Tn=32×53[1-(53)n]1−53−18.(1)第1步:填写列联表填写如下列联表:优级品非优级品甲车间2624乙车间7030第2步:作出完整的2×2列联表则完整的2×2列联表如下:优级品非优级品总计甲车间262450乙车间7030100总计9654150第3步:根据公式求K2K2=150×(26×30−70×24)2第4步:根据K2的值判断因为K2=4.6875>3.841,所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异;因为K2=4.6875<6.635,所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.(2)第1步:求出p由题意可知p=96第2步:求出p+1.65p(1-又p+1.65p(1-p)n=0.5+1.65×0.5×(1−0.5)150≈第3步:由p与p+1.65p(1-所以p>p+1.65p(1-p19.(1)第1步:证明EM∥FC由题意得,EF∥MC,且EF=MC,所以四边形EFCM是平行四边形,所以EM∥FC.第2步:利用线面平行的判定定理证明EM∥平面BCF又CF⊂平面BCF,EM⊄平面BCF,所以EM∥平面BCF.(2)第1步:取DM的中点O,连接OA,证明OA⊥平面EDM取DM的中点O,连接OA,OE,因为AB∥MC,且AB=MC,所以四边形AMCB是平行四边形,所以AM=BC=10又AD=10,故△ADM是等腰三角形,同理△EDM可得OA⊥DM,OE⊥DM,OA=AD2-(DM2又AE=23,所以OA2+OE2=AE2,故OA⊥OE.又OA⊥DM,OE∩DM=O,OE,DM⊂平面EDM,所以OA⊥平面EDM.第2步:利用等体积法求点到平面的距离易知S△EDM=12×2×在△ADE中,cos∠DEA=4+12−102×2×2所以sin∠DEA=134,S△ADE=12×2×2设点M到平面ADE的距离为d,由VM-ADE=VA-EDM,得13S△ADE·d=13S△EDM·OA,得d=故点M到平面ADE的距离为6131320.(1)第1步:求导函数因为f(x)=a(x-1)-lnx+1,所以f'(x)=a-1x=ax-1第2步:分类讨论,求f(x)的单调区间若a≤0,则f'(x)<0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,即f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;若a>0,则当0<x<1a时,f'(x)<0,当x>1a时,f'(x)>0,所以f(x)的单调递减区间为(0,1a),单调递增区间为(综上,当a≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;当a>0时,f(x)的单调递减区间为(0,1a),单调递增区间为(1a(2)解法一(放缩法)第1步:利用a的范围放缩不等式,将问题转化因为a≤2,所以当x>1时,ex-1-f(x)=ex-1-a(x-1)+lnx-1≥ex-1-2x+lnx+1.令g(x)=ex-1-2x+lnx+1,则只需证当x>1时g(x)>0.第2步:利用导数研究g(x)在(1,+∞)上的单调性,证明不等式易知g'(x)=ex-1-2+1x令h(x)=g'(x),则h'(x)=ex-1-1x则当x>1时,h'(x)>h'(1)=0,所以h(x)=g'(x)在(1,+∞)上单调递增,所以当x>1时,g'(x)>g'(1)=0,故g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以当x>1时,g(x)>g(1)=0,即当x>1时,f(x)<ex-1恒成立.解法二(作差法直接求导证明)第1步:作差并构造函数设g(x)=a(x-1)-lnx+1-ex-1,只需证当x>1时g(x)<0即可.第2步:利用导数研究g(x)的单调性,证明不等式易知g'(x)=a-1x-ex-1令h(x)=g'(x),则h'(x)=1x2-ex由基本初等函数的单调性可知h'(x)在(1,+∞)上单调递减,则当x>1时,h'(x)<h'(1)=1-1=0,所以h(x)=g'(x)在(1,+∞)上单调递减,于是当x>1时,g'(x)<g'(1)=a-2,又a≤2,所以a-2≤0,则当x>1时,g'(x)<0,故g(x)在(1,+∞)上单调递减,所以当x>1时,g(x)<g(1)=0,即当x>1时,f(x)<ex-1恒成立.21.(1)解法一(直接法)第1步:构造关于a,b,c的方程组由题意知1a2第2步:求解方程组,并写出椭圆方程得a所以椭圆C的方程为x24解法二第1步:构造关于a,b,c的方程组由题意知|MF|=第2步:求解方程组,并写出椭圆方程得a=2所以椭圆C的方程为x24解法三(巧用椭圆的定义)设F'为C的左焦点,连接MF',则|MF|=32,|FF'在Rt△MFF'中,|MF'|=|MF由椭圆的定义知2a=|MF'|+|MF|=4,2c=|FF'|=2,所以a=2,c=1,又a2=b2+c2,所以b=3,所以椭圆C的方程为x24(2)第1步:联立方程,消元得出关于y的一元二次方程,写出根与系数的关系分析知直线AB的斜率存在.易知当直线AB的斜率为0时,AQ⊥y轴.当直线AB的斜率不为0时,设直线AB:x=ty+4(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),Q(1,n),联立方程得x=消去x得(3t2+4)y2+24ty+36=0,Δ>0,则y1+y2=-24t3t2+4,y1y第2步:将三点共线代数化,建立关于n的代数式因为N为线段FP的中点,F(1,0),所以N(52由N,Q,B三点共线,得kBN=kNQ,即y2x2-52=n1−52,得-32y2=第3步:证明n=y1所以n-y1=-3y22x2-5-y1=-3y所以n=y1,所以AQ⊥y轴.22.(1)因为ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以由ρ=ρcosθ+1,可得x2+y2化简整理得y2=2x+1,所以C的直角坐标方程为y2=2x+1.(2)第1步:联立方程,消元得出关于y的一元二次方程,并写出根与系数的关系由直线l的参数方程可得直线l的普通方程为y=x+a,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得y=消去y得x2+2(a-1)x+a2-1=0,则Δ>0,由根与系数的关系得x1+x2=-2(a-1),x1x2=a2-1.第2步:利用弦长公式构建关于a的方程,并求解由弦长公式得|AB|=2×4(a-1解得a=34,经检验,a=34符合题意,所以a=323.(1)解法一(作差法+基本不等式)第1步:证明(a+b)2≥4ab∵(a+b)2=a2+b2+2ab≥2ab+2ab=4ab,当且仅当a=b时等号成立,第2步:作差比较大小,得出结论∴(2a2+2b2)-(a+b)=2(a+b)2-4ab-(a+b)≥(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1),由a+b≥3得(a+b)(a+b-1)>0,∴2a2+2b2>a+b.解法二(不等式的传递性)第1步:证明2a2+2b2≥(a+b)2∵(2a2+2b2)-(a+b)2=(a-b)2≥0,∴2a2+2b2≥(a+b)2,当且仅当a=b时等号成立,第2步:证明(a+b)2>a+b∵a+b≥3,∴(a+b)2>a+b,第3步:利用不等式的传递性得出结论∴2a2+2b2>a+b.(2)第1步:利用绝对值三角不等式去绝对值|a-2b2|+|b-2a2|≥|a-2b2+b-2a2|=|a+b-(2a2+2b2)|=2a2+2b2-(a+b).第2步:利用a+b≥3得出结论由(1)中解法一知(2a2+2b2)-(a+b)≥(a+b)(a+b-1),∵a+b≥3,∴(a+b)(a+b-1)≥3×2=6,∴|a-2b2|+|b-2a2|≥6.2024年普通高等学校招生全国统一考试·全国甲卷·文科（数学）试卷分析一、试卷总体评价2024年全国甲卷文科数学试卷在题型设置和难度控制上保持了相对的稳定性，同时体现了高考改革的方向和要求。试卷覆盖了中学数学的主干知识，突出了数学的基础性、综合性、应用性和创新性，旨在全面考查学生的数学素养和综合能力。二、题型与难度分析1.选择题选择题部分共12题，覆盖了复数、集合、线性规划、古典概型、等差数列、圆锥曲线、函数与导数、函数图像、三角恒等变换、直线与圆、立体几何和解三角形等多个知识点。前8题较为基础，难度适中，主要考查学生对基础知识的掌握情况；后4题难度逐渐增加，需要考生具备较强的综合分析和推理能力。2.填空题填空题部分共4题，分别考查了三角函数、立体几何、函数与对数运算等知识点。