鲲鹏2025届高三第一学期9月月考试卷（数学学科）解析版

第1页/共18页鲲鹏2025届高三第一学期9月月考试卷（数学学科）命题人：满分：150分限时：120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则A.（12） B.（1,2] C.（-2,1） D.[-2,1)【答案】D【解析】【详解】由得，由得，故，选D.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2.下列函数中，在区间上单调递增是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，，显然在上不单调，D错误.故选：C.3.已知，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数性质可判断b的范围，利用三角函数诱导公式求得c,并利用对数函数的性质比较的大小，即得答案.【详解】因为，所以,故选：B.4.已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.5.已知直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，则的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题知，进而得，再求解函数单调区间即可.【详解】解：直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，，即，令，解得，的单调递增区间是.故选：B.6.工厂需要将某种废气经过过滤后排放，已知该废气的污染物含量（单位：）与过滤时间（单位：）的关系为（为污染物的初始含量），则污染物减少到初始含量的大约需要（参考数据：）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由已知条件代入模型中，结合指对数转化及参考数据求得时间即可.【详解】设污染物减少到最初含量的需要经过t小时，则，两边取自然对数得，，，解得，所以大约需要经过个小时的时间使污染物减少到最初含量的，故选：C.7.设，，.若，，则最大值为（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先利用指、对数的关系，用表示，再利用基本不等式求最大值.【详解】∵，，，，∴，，∴，当且仅当，时取等号.∴的最大值为1.故选：C.8.设函数，若，则的最小值为（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.【详解】的定义域为，令，得，令，得，因为，当时，，所以，则，当时，，所以，则，故，即，所以.所以，当且仅当，时等号成立.故选：D二、选择题：（每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9.如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】CD【解析】【分析】根据不等式的解集与对应二次函数的关系，求得的取值范围，即可根据选项进行选择.【详解】由题设知，对应的判别式,即，故,所以数值中，可取到的数为1，2.故选：.10.已知，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则的最大值为D.，，使得【答案】ABC【解析】【分析】利用二倍角公式与和差角的三角函数公式化简、分析、计算即可一一判断.【详解】，（*），对于A，若，则，化简得，则，故A正确；对于B，因，由（*）可得，，，故B正确；对于C，若，，，则，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；对于D，，假设，则，，又，，则得，即，该方程无解，故D错误.故选：ABC.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的图象关于轴对称B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称D.是的极大值点【答案】BD【解析】【分析】计算可判断A；计算可判断B；由判断C，求出函数的导函数，即可判断D.【详解】对于A：函数的定义域为，但是，所以不是偶函数，则函数图象不关于轴对称，故A错误；对于B：因为，所以的图象关于点对称，故B正确；对于C：因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误；对于D：因为，所以，则，且当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递增，所以在处取得极大值，故D正确.故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数为奇函数，则实数的值为__________.【答案】##【解析】【分析】根据得到方程，求出答案.【详解】由题意得，即，故，解得.故答案为：13.已知，，，则______________.【答案】【解析】【分析】先由角的范围和题设和的值，求出和的值，再利用拆角变换展开后代入求值即得.【详解】因，，，故，,故，，则.故答案为：14.已知函数的图象过点，若在内有5个零点，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】根据题意求得，由时，得到，结合正弦函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由题意知，函数的图象过点，所以，解得，因为，所以，所以，当时，可得，因为在内有5个零点，结合正弦函数的性质可得，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）完善下面的表格并作出函数在上的图象：0

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（2）将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，解不等式.【答案】（1）答案见详解（2）【解析】【分析】（1）由表格中所给数据计算得到其他对应数据完善表格；由五点作图法绘出函数在上的图象；（2）函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，由图象的平移变换得到的解析式，进而得到三角不等式，由正弦函数的图象和性质解得答案.【小问1详解】表格如下：00010函数在上的图象如下：【小问2详解】将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，则，所以，即，则，得，所以不等式的解集为.16.已知1是函数（a，b，）的极值点，在处的切线与直线垂直.（1）求a，b的值；（2）若函数在上有最大值2，在上有最小值也有最大值，求实数m的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据极值点和切线的斜率列方程来求得.（2）利用导数求得的单调区间，根据的最大值求得，根据在上有最小值也有最大值求得的取值范围.【小问1详解】依题意，在处的切线的斜率为，，，，所以，，经检验符合题意；【小问2详解】由（1）得，，，，的变化情况如下表所示x1200递增递减递增所以在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，所以，所以，所以，又上有最大值和最小值，所以.17.已知函数.（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围.【答案】（1）最小正周期为，，（2）【解析】【分析】（1）先把函数化成的形式，再求函数的周期与单调增区间.（2）问题转化成在一定范围内有两解，利用数形结合的方法，求的取值范围.【小问1详解】，，所以，即的最小正周期为.由，，解得，，所以的单调递增区间为，【小问2详解】由.根据，的图象：由图可知，当时，方程有两个不同的实根.所以实数的取值范围是：.18.已知函数．（1）求的单调增区间（只需写出结果即可）；（2）求不等式的解集；（3）若方程在区间内有3个不等实根，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由复合函数的单调性判断即可；（2）由偶函数的对称性及单调性，结合定义域列不等式组求解即可；（3）设，将方程在区间内有3个不等实根转化为方程有两个不相等的实数根，其中，，列出不等式组，求出的范围及，再利用二次函数求最值即可．【小问1详解】由得，，解得，又因为在单调递增，在单调递增，在单调递减，所以的单调增区间为．【小问2详解】因为定义域关于原点对称，又，所以为偶函数，由（1）得，，解得．【小问3详解】设，当时，，，即，则方程有3个不等实根方程有两个不相等的实数根，其中，，所以，即，解得，所以，当即时有最小值，最小值为．19.已知函数，其中为自然对数的底数．（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个不同的根．(i)求的取值范围；(ii)证明：．【答案】（1）答案见解析（2）（i）；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）(i)参变分离可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最值，即可求出的取值范围；(ii)不妨设，则，分、两种情况讨论，当时，，利用导数说明函数的单调性，即可证明，再由基本不等式即可得证.【小问1详解】由题意得，，则，由，解得．显然，若，则当时，单调递增，当时，单调递减；若，则当时，单调递减，当时，单调递增．综上，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增．【小问2详解】（i）由，得，设，由(1)得在区间内单调递增，在区间内单调递减，又，当时，，且当时，，所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故的取值范围是．（ii）不妨设，则，且．解法一：当时，，即；当时，．设则所