广东省揭阳市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题 含解析

2024-2025学年度第一学期高三数学段考2试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件，求出和，再根据集合的运算，即可求出结果.【详解】由，得到，所以，又，所以，故，故选：D.2.若复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求出，化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.【详解】由题得，∴z=1，，其对应的点位于第四象限.故选：D．3.双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小.【详解】双曲线的两条渐近线的方程为，由直线的斜率为，可得倾斜角为，的斜率为，可得倾斜角为，所以两条渐近线的夹角的大小为，故选：B.4.在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.【详解】由题可知，，,所以有，所以，得.故选：C5.若两个等比数列的公比相等，且，则的前6项和为（）A. B. C.124 D.252【答案】B【解析】【分析】运用等比数列定义和求和公式计算即可.【详解】由，得的公比，所以的公比为，则的前6项和为．故选：B.6.若函数在区间上是减函数，且，，，则（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数表达式，根据单调性与函数值，结合正弦函数的图象，确定与的值，两式相减，即可求出的值.详解】由题知，因为，，所以，又因为在区间上是减函数，所以，两式相减，得，因，所以.故选：A.7.已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（）A.6 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值.【详解】两点，B0,3，则，直线方程为，圆的圆心，半径，点到直线的距离，因此点到直线距离的最小值为，所以面积的最小值是.故选：D8.已知函数y=fx的定义域为R，且f−x=fx，若函数y=fx的图象与函数的图象有交点，且交点个数为奇数，则A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】易证明为偶函数，根据题意，两个函数的交点必定是原点，据此求解.【详解】令，其定义域为，因为，所以为偶函数，由题易知也为偶函数，因为两个函数图象的交点个数为奇数，所以两个函数的交点，必有一个是原点，故.故选：C.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.设，为随机事件，且，是，发生的概率.，，则下列说法正确的是（）A.若，互斥，则 B.若，则，相互独立C.若，互斥，则，相互独立 D.若，独立，则【答案】ABD【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；由相互独立事件的概念可判断B选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C选项；由相互独立事件的概念，可判断D选项.【详解】对于选项A，若互斥，根据互斥事件的概率公式，则，所以选项A正确，对于选项B，由相互独立事件的概念知，若，则事件是相互独立事件，所以选项B正确，对于选项C，若互斥，则不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件：“正面朝上”，事件：“反面朝上”，事件与事件互斥，但，，不满足相互独立事件的定义，所以选项C错误，对于选项D，由相互独立事件的定义知，若，独立，则，所以选项D正确，故选：ABD.10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，内角A的平分线交BC于点D，，，以下结论正确的是（）A. B.C. D.的面积为【答案】ACD【解析】【分析】首先根据题意结合余弦定理可得，并根据二倍角公式得到，依次计算的值，根据面积公式，分析判断选项C和D.【详解】在中，∵，则，整理得，所以，由二倍角公式得，解得，在中，则，故选项A正确；在中，则，故选项B错误；由题意可知：，即，由，解得，故选项C正确；在中，∵，则，∴，故选项D正确.故选：ACD.11.设函数，则（）A.是的极小值点B.C.不等式的解集为D.当时，【答案】BD【解析】【分析】对于A：求导，利用导数判断的单调性和极值；对于B：根据解析式代入运算即可；对于C：取特值检验即可；对于D：分析可得，结合的单调性分析判断.【详解】对于选项A：因为的定义域为R，且，当时，f′x<0；当或时，f′可知在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，故A错误；对于选项B：因为，故B正确；对于选项C：对于不等式，因为，即为不等式的解，但，所以不等式的解集不为，故C错误；对于选项D：因，则，且，可得，因为函数在0,1上单调递增，所以，故D正确；故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在△ABC中，若a＝2,b＋c＝7,，则b=_________________【答案】4【解析】【详解】在△ABC中，利用余弦定理，，化简得：8c－7b＋4＝0，与题目条件联立，可解得，【考点定位】本题考查的是解三角形，考查余弦定理的应用．利用题目所给的条件列出方程组求解13.如果一个直角三角形的斜边长等于，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为________.【答案】2【解析】【分析】由题意画出图形，结合勾股定理并通过分析得知当最大值，这个直角三角形周长取最大值，根据基本不等式的取等条件即可求解.【详解】如图所示：在中，，而直角三角形周长，由勾股定理可知，若要使最大，只需最大即可，即最大即可，又，当且仅当时等号成立，所以，所以，，当且仅当等号成立，此时，其面积为.故答案为：.14.已知函数，点为曲线在点处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】对求导后，代入可求得，根据导数几何意义可求得切线，则可将问题转化为与平行且与曲线相切的切点到直线的距离的求解，设切点，由切线斜率为可构造方程求得切点坐标，利用点到直线距离公式可求得结果.【详解】，，解得：，，则，切线的方程为：，即；若最小，则为与平行且与曲线相切的切点，所求最小距离为到直线的距离，设所求切点，由，可得，所以，即，又单调递增，而时，所以，即，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角所对的边分别为．（1）若，求的值；（2）求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理可得，从而可求的值；（2）利用基本不等式可得，再根据余弦定理可得的范围，从而可得的范围，结合三角形面积公式，即可得面积的最大值．【小问1详解】由正弦定理，可得，【小问2详解】，，由余弦定理可得，，，，，当且仅当时，等号成立，此时面积取得最大值16.某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元．（1）设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；（2）设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差；（3）如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．【答案】（1）分布列见解析，，（2）分布列见解析，，．（3）应选择方案一的抽奖方式，理由见解析【解析】【分析】（1）由条件确定的可能取值，求取各值得概率，可得分布列，结合公式求期望和方差；（2）由条件确定的可能取值，判断，结合二项分布的分布列求法确定其分布列，再由公式求期望和方差，（3）通过比较随机变量期望和方差的大小，确定选择方案.【小问1详解】设方案一摸出的红球个数为X，则X的所有可能取值为，，，．X的分布列为：X123P所以，．【小问2详解】设方案二摸出的红球个数为Y，则Y的所有可能取值为．则，所以，，，，所以随机变量的分布列为：0123所以，．【小问3详解】因为，，即两种方案抽取的红球个数的数学期望一样，但方案一更稳定，所以应选择方案一的抽奖方式．17.如图，三棱柱中，侧面底面，，，点是棱的中点．（1）证明：；（2）求面与面夹角正切值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由侧面底面得底面，进而可证；（2）向量法求面与面的夹角.【小问1详解】因为三棱柱中，故四边形为菱形，又因，点是棱的中点，故，又侧面底面，侧面底面，侧面，所以底面，又底面，故.【小问2详解】因，，故为直角三角形，故，如图分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则A0,0,0，，，由（1）可知，，，故，，则，由题意平面的一个法向量为设平面的一个法向量为n=x,y,z则即，令，则，，则，设面与面夹角为，则，故，面与面夹角的正切值为.18.已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线经过点，且与相交于，两点，记的倾斜角为.（1）求的方程；（2）求弦的长（用表示）；（3）若直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，求四边形面积的最小值.【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解；（2）分和，当时，直接求出，当时，设出直线的方程为，联立椭圆方程，利用弦长公式，即可求解；（3）根据题设，先求出和时，四边形的面积，再求出时，，从而得出，再通过化简，得到，令，通过求出的最大值，即可解决问题.【小问1详解】由题知，又，得到，所以，故椭圆的方程为.【小问2详解】设，因为直线经过点，且倾斜角为，当时，直线，由，解得，，此时，当，设直线的方程为，其中，由，消得到，又，所以，即，综上，当时，；当时，.【小问3详解】直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，所以，当时，易知，，此时四边形面积为，当时，可设，其中，同理可得，当时，，，此时四边形面积为，当且时，四边形面积为①，又，代入①化简得到，即，令，令，则，所以，对称轴，又，则当，即时，，此时，所以四边形面积的最小值为，又，所以四边形面积最小值.【点睛】本题的关键在于第（3）问，分和，分别求出MN，先求出和两种情况下的面积，再根据题有，当和时，，再求出的最小值，跟特殊情况比较，即可求解.19.如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.（1）设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项；（2）设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和.①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值?②若，且，求的最小值.【答案】（1）1，3，5，7，5，3，1（2）①1012；②2025【解析】【分析】（1）根据新定义“对称数列”的定义和已知条件可求得公比，进而求得结果；（2）①根据对称数列的定义可得数列为等差数列，然后根据二次函数的性质来求解；②由条件得到数列相邻两项间的大小关系，并结合定义求得的取值范围，然后结合已知条件确定出最后的结果【小问1详解】因为数列bn是项数为7的“对称数列