2024年高二数学期末考试模拟试题二（含答案新高考地区）

新高考地区高二期末考试模拟试题二

第I卷（选择题）

一、单选题

1.在等比数列｛。“｝中，出+。3=1，/+%=2,则为+。5=（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】A

【分析】根据能+羯=«（/+%）求出9,再根据Q+%=4（4+4）可得答案.

【详解】设等比数列的公比为

由能+&=式。2+%），可得4=2,所以为+%=4（4+。4）=4.

故选：A.

2.已知直线/：3x+y-6=0和圆C：x2+y2-2y-4=0^A,B两点,则弦48所对的圆心角的大小为

（）

7171_7T2兀

A.—B.—C.—D.—

4323

【答案】c

【分析】根据弦长公式可得弦长，根据V/3C的边长关系，确定圆心角的大小.

【详解】由圆c：x2+y2-2y-4=0,可得x?+3-1）2=5,圆心C（O,1）,半径为百，

又直线/：3x+y-6=0,

所以|，州=2,5-1^=如，又修|=|。同=石，

所以|C/『+|C8『=|4却°,圆心角NNC8=],

7T

即弦AB所对的圆心角的大小为.

故选：C.

3.已知双曲线马-1=1（。＞0乃＞0）的离心率为2后，则该双曲线的渐近线方程为（）

ab

A.41x±y=0B.x+^y=OC.3x±y=0D.x土3y=0

【答案】A

【分析】根据离心率求出2即可求渐近线方程.

【详解】由双曲线的离心率为2a，得6=北）=FL产={+[/]=2后，

所以2=近，又双曲线《一口=1的渐近线方程为＞=±2》，所以渐近线方程为）=士伍，即

aaba

\/lx+y=0.

故选：A.

4.已知直线x+ay-l=O是圆C：/+/-4x-2y+1=0的对称轴，过点/（-3,。）作圆C的一条切线，切点

为B,则同等于（）

A.2B.5C.4&D.2厢

【答案】B

【分析】求出圆的圆心与半径，然后求解。，求出A的坐标，画出示意图，利用勾股定理求解H同即可.

【详解】解：圆x?+V—4龙—2y+1=0即（x—2）2+（＞—=4,圆心为C（2,1）,半径为r=2,

由题意可知/：x+即T=0过圆的圆心C（2,l）,

则2+。-1=0,解得。=-1,点A的坐标为（-3,-1）,

作示意图如图所示：

"=42+22=回忸牛1r=2,切点为3,则

所以|4B|=yl\ACf-\BCf=5.

故选：B.

5.已知过抛物线C:/=8x的焦点尸且倾斜角为45。的直线交C于/,8两点，。为弦的中点，P为C

上一点，则|尸尸|+|尸。]的最小值为（）

A.-B.8C.—D.5

32

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出直线的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求解

作答.

【详解】抛物线/=8x,焦点尸(2,0),准线/:x=-2,直线N2的方程为了=》-2,

y=x-2

由《2o消去v并整理得：/一12x+4=0,设/(再,必)，3(々,%),贝I］无1+无2=12,

1=8x

弦23中点0的横坐标和="^=6,过点。作准线/的垂线，垂足为点。，

令。。交抛物线于点P在抛物线上任取点P,过P作尸'。」/于点。以连接尸'。,尸'£。。'，

即有附=\PD\,\P'F|=|P'D'\,\P'F|+|P'Q\=\P'D'\+\P'Q\>\QD'\>\QD\=\PD\+\PQ\=|PF|+\PQ\,

当且仅当点P与P重合时取等号，

所以|尸尸|+|尸。|的最小值为|。0=v°-(-2)=8.

故选：B

6.己知正四棱柱43。-4印沦的底面边长为2,且该四棱柱的外接球表面积为17万，M为2c的中点,

则点2到平面ABXM的距离为()

A.2B.迤C9V1318

D.

713-13T

【答案】D

【分析】首先根据正四棱柱与外接球的关系，求得四棱柱的高,再以点。为原点，建立空间直角坐标系,

求平面/用M的法向量，利用向量公式求点到平面的距离.

【详解】设正四棱柱的高为九由其外接球的表面积为17万，可知4万/=17万，外接球半径为姮,

2

所以收2+22+/=后,得,7=3.

以。为坐标原点，次，皮，西的方向分别为X,V，Z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则4(2,0,0),4(2,2,3),M(l,2,0),Dt(0,0,3),所以离=(0,2,3),AM=(-1,2,0),AD,=(-2,0,3).

2y+3z=0

设平面的法向量为三(x,y,z)可取I=(6,3,—2),

-x+2y=0

—\AD}-n\-12-618

则点2到平面AB、M的距离为=

l«lJ36+9+4T

故选：D

7.已知等比数列｛。"｝满足%=16,%-。3=4,若£="%,S,是数列也｝的前"项和，对任意〃eN*,不

等式月-"仍,41恒成立，则实数加的取值范围为()

A.[4,+co)B.[3,+co)C.[2,+oo)D.[1,+(»)

【答案】C

【分析】本题首先可根据。5=16、%-%=4得出。"=2"、然后根据得出再然后根据错

S-1

位相减法求出S“=("-l)x2"+l,最后根据题意得出对任意〃eN*不等式旭2丁恒成立，根据

S—12

亍=2-；；<2(〃eN*)即可得出结果.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为9,

a,q4=16,

3.，解得4=2,q=1,a=2"~,

aq-aq2=4n

｛x

因为“=啊，所以“=〃-2”T,b,,>0,

贝(I、=1*20+2x2i+3x2?+…+"x2'i,25„=1x2*+2x22+3x23+---+wx2",

1

S.=2S-S=n2〃-2〃-i-2〃-2——21-2°=nT------=(n-1?2n+1,

nnn2\/

5-1

对任意几£N*不等式Sn-加4W1恒成立，即对任意〃£N*不等式加之S，恒成立，

"n

因为『="M=2-2<2(〃eN*),所以加》2,用的取值范围为[2,+8).

bnn,2n'/

故选：C.

【点睛】方法点睛：本题考查根据数列不等式恒成立求参数的取值范围，考查数列求和，常见的数列求和

方法有等差等比公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法，考查计算能力，是难题.

JT

8.已知椭圆和双曲线有共同的焦点片，F”p是它们的一个交点，且/月记椭圆和双曲线的离

心率分别为G，e2,则q4的最小值为（）

b.旦B.—C.1D.-

222

【答案】B

7T

【分析】利用椭圆和双曲线的定义及/百1=§可以列出关于G，02的方程，再利用均值定理即可得到

的最小值

【详解】设椭圆长轴长为2a,双曲线实轴长为23，

\PF^m,\PF2\=n,Qm>n)，闺阊=2c

m+n=2am=a+a'

则,解之得

m—n=2an=a—a'

d7im2+n2-4c21

乂cos—=-----------=—

32mn2

贝！J(Q+q')2+(。一屋)2一4c2=(Q+Q)(Q-Q)

13)

则/+3a"-4c2=0,贝1-+—=4

e\4

则4=。+捺221=当,则孝

-2口°2乙

（当且仅当q=*,e?=乎时等号成立）

则e「e2的最小值为祖

2

故选：B

二、多选题

9.等差数列｛%｝的前〃项和为S",若£<$,57=58,$8>$9.则下列结论正确的有（）

A.%+。9=0

B.S6>Sl0

C.数列｛。“｝是递减数列

D.使y>0的”的最大值为15

【答案】ABC

【分析】根据等差数列的前〃项和的定义求出网=0，%>0，%<0，由等差数列的性质可判断ABC,再

由数列的求和公式判断D.

，

【详解】由$6<$7$7=$8应>Sg可知，<77>0,a8=0,a9<0,即％>0,d<0,

由等差数列性质知%+。9=21=°，故A正确；

由S]o-$6=。7+。8+%+。10=36+%0=%0<0，所以S6>S](),故B正确；

又数列｛%｝为等差数列，所以d<0,即数列｛%｝为递减数列，故C正确;

因为'J"%；匍)=詈”=15“8=。故D错误.

故选：ABC

10.已知圆Cid+V=4,直线/:(3+Mx+4y-3+3〃?=0("?eR),则下列结论正确的是()

A.直线/恒过定点(3,3)

B.当机=0时，圆C上有且仅有三个点到直线/的距离都等于1

C.圆C与曲线/+了2-6x-8y+a=0恰有三条公切线，则加=16

D.当加=13时，直线/上动点尸向圆C引两条切线P/,PB,其中4,8为切点，则直线经过点

【答案】CD

除+3=0

【分析】对A将直线化成加(、+3)+(3%+4歹-3)=0,则解出即为定点；对B直接计算圆

[3x+4>-3=0

心到直线的距离与1的大小关系，即可判断B,对C,直接将加代入，通过几何法判断两圆位置关系即可,

对D,设点尸9-9-务)，利用两点直径式方程写出以尸C为直径的圆的方程，两圆方程作差，得到公共弦所

在直线方程，化成关于参数，的方程，即可求出定点坐标.

[x+3=0

【详解】由直线/：(3+加)x+4y-3+3加=0,(加eR),整理得：:心+3)+(3x+4y-3)=0,故解得

[3x+4y-3=0

[x=—3

2，即经过定点(-3,3),故A错误；

b=3

当加=0时，直线/为3x+4y-3=o,

二圆心(0,0)到直线3x+4y-3=0的距离

故圆C上有四个点到直线/的距离都等于1,故B错误;

圆C:f+j?=4，其半径厂=2,

圆龙2+/-6x-8y+m=0,

当加=16时，x?+/-6x-8y+16=0,整理得

(x-3)2+(y-4)2=9,其半径R=3

圆心闻巨为J(3-0)2+(4—ON=5=1+7?=2+3=5,

故两圆相外切，恰有三条公切线，故C正确；

当〃7=13时,直线/的方程为4工+歹+9=0,

设点尸(59-取),圆C：尤2+/=4的圆心。(0,0)泮径为厂=2,

以线段尸C为直径的圆M的方程为：

(x-t)x+(9+4%+y)y=0,

即x2+(-/)x+y2+9y+Aty=0,

又圆。的方程为，+/=4,

二•两圆的公共弦的方程为-b+4川+制+4=0

16

x=---

f4y-x=09

整理得(”-x)/+9y+4=0,即。「n，解得＜

।yy11一u4

y=——

9

即直线AB经过点|一个‘一；1'故口正确.

故选：CD.

11.在长方体中，44=2/3=230=2,点E,尸满足万==2戴(0＜九＜1),近=反1.下

列结论正确的有()

A.若直线BE与2尸异面，则2力；

B.若4E11.8/，则2=:

C.直线NE与平面N8GA所成角正弦值为姮

15

D.若直线/£户平面则2

【答案】ACD

【分析】建立空间坐标系，用空间向量逐项计算.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系:

41,0,0),5(1,1,0),E(0,l,l),Dx(0,0,2)

尸(1,0,22),砺=(-1,0,1),印=(1,0,22-2)

AE=(-1,1,1),而=(0,-1,22),50；=(-1,-1,2)

121

对于A：若直线8E与。尸异面，则「7^三」，则彳/：，故A正确；

—112

对于B：^AE1BF,:.AE-BF=O,z.(-1,1,1)-(0,-1,22)=0,

故B错误；

2

对于C：AB=(0,1,0),D^A=(1,0,-2),设平面48G。的法向量为力=(无”必,向)

M=°

即取元=(2,0,1)

/_24=0

直线/E与平面ABCA所成角。满足

AE-n|(一1,1,1>(2,0,1)

sin0=|cos(AE,n)\=故C正确;

nsI73x7515

对于D：设平面的法向量加=(工2，%/2)

BD1•成=0—%2—%+2z?—0

,取比=(2—24241)

"7•玩=0%2+(24—2)Z2—0

若直线/E"平面成4，则荏同=24-2+22+1=0

,2=1,故D正确;

故选：ACD

12.已知抛物线C:/=2px(p>0)的准线x=-1与x轴相交于点K,过抛物线C的焦点F的直线/与抛物线C

相交于尸、。两点，且尸、。两点在准线上的投影点分别为M、N,则下列结论正确的是（）

A.p=2B.|尸口的最小值为4

1

C鬲\MN播\为定值31D.NPKF=/QKF

【答案】ABD

【分析】由焦点到准线的距离可得P的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线的方程与

抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长归0|的表达式，再由参数的范围

可得其最小值，判断B正确；分别表示出|儿码,归司,|0司可判断C不正确；表示出限=*,

kpQ=J：1,由心K+维。=0可判断D正确.

【详解】对于A,因为抛物线C:/=2夕x（p>0）的准线％=-1,

所以5=1,则2=2,故A正确；

c\x=my+1

对于B,抛物线C:/=4x,过焦点的直线为工=冲+1,贝U2：，

[y=4x

整理可得/-4"沙-4=0,设尸（国,必）,。（X2，%）,

可得弘+%=4加，

22

x+x=m{y+y）+2=4m2+2,xx==1

12x21216

所以|?。|=再+%2+2=4加？+4,当加=。时取等号，

1尸。1最小值为4,所以B正确；

对于C,二|必—为=J（必+%）2=J16加2+16=411n?十],

|尸手=再+1,|。司=Z+L

所以卢尸尸|=（西+1）（%2+1）=再入2+再+X2+1=4加2+4,

\MN\216（///2+1）

所以回前—4"+l）=4,所以C不正确;

对于D,尸（国,必）,0（了2，%）,取一1,0）,kPK=,kPQ=,

A।-i1X,।1

k+k-切।%_M()+1)+%(X|+1)—"I4+1厂%141I)

PKKQ

xx+1x2+l(占+1)(%2+1)(X1+l)(x2+l)

必与-+%++%+%(%+%)+%+%；(-4)-4加+4加

=--------------=-----------=---------------------------=.4_____________=o

(XI+l)(x2+l)(X[+l)(x2+l)4m2+4

所以/PKF=NQKF,故D正确.

故选：ABD.

第II卷（非选择题）

三、填空题

2%,04%

13.数列｛%｝满足%+i1%=不，则数列的第2022项为一

2。〃-1,万<。〃<L

【答案】1##0.2

【分析】根据递推关系可通过计算前面〃=234,5…，发现数列｛%｝是周期为4的周期数列，进而由周期性

即可求解.

2%,04%弓，

3/—31

【详解】由%,%=M得％=2。11—2x——1=—,

C】I,

2%~V-<an<L

cc12c〜244331

%=2a2=2x—=—,/-2az=2~——%=2az-1=2--1=~,%=2〃4=2--1=—,L,

1

故数列｛%｝是周期为4的周期数列，故。2022

故答案为：—

22

14.已知耳，耳为椭圆C：土+匕=1的两个焦点，P,0为C上关于坐标原点对称的两点，且

42

IPQ1=闺囚，则四边形PFtQF2的面积为.

【答案】4

【分析】根据题意分析可得/不隼=，利用勾股定理结合椭圆定义求|尸片||%|,进而可求四边形尸耳。鸟

的面积.

22______

22

【详解】由椭圆2~+、=1可得：a=2,b=>/2,c=y/a-b=V2,|+\PF21=2tz=4,|=2c=2^2,

由题意可得：1。口二|。。|』。片1=|*1，则尸与。耳为平行四边形，

/尸。1=1耳用，则|。门=;由村，

4尸&=p则附『+1叫2=电「=8,

又

（I尸胤+1尸闻）2=|「与『+|尸£「+2户耳||尸刃=16,坨||理1=4,

则四边形PFtQF2的面积S=2s△期a=2x；归图|盟|=4.

故答案为：4.

15.在直三棱柱NBC-48c中，CA=343,CB=3®,CC；=6,ZBCA=90°,2而=函，则异面直

线CM与夹角的余弦值为.

【答案】成

15

umu

【分析】根据条件，可建立空间直角坐标系，得出07与43的坐标，利用向量法解决.

由已知可得，C4C8,cq两两垂直，可如图建立空间直角坐标系.

贝U,4卜g,0,6）,耳（0,3后,6）,C（0,0,0）,8（0,30,0）,

由2彳1?=西可得，2西-2直=函-诙,

Q1Q1

贝I］诙=：匈+：西=|（3V3,0,6）+1（0,3夜,6）=（273,V2,6）,

福=（-3>/3,3V2,-6）,|CM|=^（2V3）2+（^2）2+62=5^2，网=《一3国+0国+㈠）?=9，

而不=-18+6-36=-48,

c03砌二号-48

所以,

9x5收15

所以，异面直线CM与48夹角的余弦值为述.

15

故答案为：包1.

15

22

16.已知双曲线。:。-3=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为耳，F2,过8的直线与C的右支交于4B

ab

两点，若/小华=/^用片，优司=2优H，则C的离心率为,

【答案】|5##112

【分析】设工片的中点为连接串"BF{,由题意可得卜用=忸闾=2C,FtMLAF2,由双曲线的定义

可得|"g|=2c_2a,\MF2\=c-a,\BF2\=4c-4a,忸周=4c-2a,ZBF2Ft+ZMF2Ft=TT,

cosNBF/i+cosNMFE=0,在△龙/耳和AS片匕中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出

的关系，从而可得双曲线C的离心率.

【详解】解：如图：设/月的中点为连接耳M,BK，

因为/耳/玛=//马耳，所以|/用=内耳卜2小

因为M为/玛的中点，所以耳0，/月,

由»凰-恒闾=2%得|/g|=2c-2a,

所以=J/闾=c-a,

COSZWFMc-a

在△孙鸟中21=

2c

因为忸工|=2|/国=4c—4a,所以忸用=2a+|8闾=4c-2a,

cos/BFF=阳工『+此2-阿『=4c2+16卜一十一4（2—）24。2+12〃2—16ac

在月片中

21

2x|^|BF2\2X2CX4（C-«）

因为片+/儿里片=万，

c—a4c2+12tz2—16ac八

所以cos/BF?F[+cosZMFF=0,即-----1----------；--------=0,

212c16。（。_〃）

整理可得16/一16碇+12。2=0,即5/一8碇+3。2=0,

所以（5"3c）（a—c）=0,

所以5Q=3C或（舍），

所以离心率e，=1,

a3

故答案为：—.

四、解答题

17.若S"是公差不为0的等差数列｛%｝的前〃项和，且鸟，邑，S,成等比数列，邑=4

(1)求数列｛见｝的通项公式;

3

(2)设“=——，求数列也｝的前〃项和配

anan+\

【答案】(lM=2〃-l(〃eN+)

⑵白

【分析】(1)等差数列通项公式和求和公式列方程求解；

(2)利用裂项相消法可求和.

【详解】(1)根据题意，设等差数列｛%｝公差为d(dwO),

因为百，邑，邑成等比数列，$2=4,

丘岳5

所以

$2=4

整理得.卜「(4%+6d)=(2q+d)2

2q+d=4

%=1

解得

d=2'

故a”=2〃-l(〃eN+).

=3=3/1-1、

⑵由(1)得："(2w-l)(2n+l)2l2n-l2n+J)

目i__q=上

2«+lJJ2(2n+lJ2M+1

18.如图，直三棱柱/8C-中，ZBAC=90°,AB=AC=AA^2,£是3C中点.

⑴若棱441上存在一点M,满足qMLCH，求的长;

(2)求直线BC与平面AEC,所成角的余弦值.

【答案】⑴存在，且=l

⑵当

【分析】（1）建立空间直角坐标系，禾U用丽•空=0求得

（2）根据向量法求得直线BC与平面/EQ所成角的余弦值.

【详解】（1）依题意，建立如图所示空间直角坐标系，

耳（2,0,2）,&（0,2,2）,矶1,1,0）,设M（0,0,t）,0W2,

丽=（-2,0,…2）年=（1,-1,-2）,

若4M_LGE,贝I］丽.乎=一2-2，+4=01=1,

则棱44上存在一点〃，满足q且

（2）S（2,0,0）,C（0,2,0）,5C=（-2,2,0）,

设平面AECi的法向量为n=（x,y,z）,

n-AC,=2y+2z=0-/

则一一，故可取〃

n•AE=x+y=0

设直线3c与平面AECX所成角为仇0<9当，

sin0=..=—-r=--r=--^―,cos9=Vl-sin20=—.

附3cl272x7333

即直线BC与平面AECX所成角的余弦值为

3

19.已知抛物线C：V=2R（0>o）的焦点为尸，/（2,%）是抛物线C上的点，且同=5.

（1）求抛物线C的方程;

（2）已知直线/交抛物线C于/,N两点，且血W的中点为仁,-2,求VAWF的面积.

【答案】（l）V=12x

(2)8

【分析】（1）直接由抛物线中焦半径公式求出〃即可.

（2）用横截式设出直线的方程以及M,N的坐标，联立直线与抛物线方程，得到A>0及韦达定理，再

利用线段九W的中点坐标求出直线中的参数，再利用弦长公式求出线段九W的长度，用点到直线的距离公式

求出点尸到直线的距离，进而可求出VMVF的面积.

【详解】（1）由抛物线的定义知M司=5+%=5+2=5,解得。=6,则抛物线的方程为必=12x

故：答案为y=12x.

（2）由线段次W的中点为（永-2］知直线血W的斜率存在且不为0,

设直线祢V：x=my+b,M（XQJ,N（X2，%），联立直线与抛物线方程,

jjd"，即「一12叼一126=0,所以有△=(12/)2+486=48(3加2+6)>0,

有

y+y=12m/、°

且}9,贝l］西+工2=机(必+%)+2b=12加2+26

yiy2=-nb

12m=-41

m=——

所以,10,即，3

12m-+26=—

3b=\

\MN\=yll+m*23\-y\=^^-

所以直线MN:y=-3x+3,yi2

_-3x3+36

点下到直线的距禺d」，=『.

VI+32V10

所以凡.尸=m跖叶4=8.

故：答案为8.

20.如图，在三棱柱N8C-中，底面是边长为2的等边三角形，CG=2//CG=60°Q,E分别是线

段”C,CG的中点，二面角为直二面角.

G4

（1）求证：4。，平面8。£；

（2）若点尸为线段3c上的动点（不包括端点），求锐二面角尸--£的余弦值的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）首先证明然后证明AD/平面44GC,可得8DL4C,即可证明;

（2）首先证明平面N8C,然后以。为坐标原点，方瓦万3,其所在直线为轴建立空间直角坐标

系，设P（x,y,z）,于=4函（0<4<1）,算出两个平面的法向量，然后求出二面角的余弦值，然后可得答案.

【详解】（1）连接NG，由题设知四边形44CC为菱形，.•.4C，N£,

D,E分别为ZC,CC］中点，DE//AQ,:.4c1DE；

又。为NC中点，二台。，/。，

B

因为二面角C.-AC-B为直二面角，

即平面AA^C1平面ABC,平面4<GCA平面ABC=AC,BDu平面ABC,

BD1平面AA^C,又同Cu平面AA^C,:.BD±4C；

又BD1DE=D,BD,DEu平面ADE,，&C，平面BDE.

(2)•/CA=CCX=2,ZACC,=60°,

.•.△4。。1为等边三角形，「.。1。，4。，

•.・平面44GCJ_平面/5C,平面44ccn平面Z3C=zc,cqu平面力CCT，

..CQ.L平面ABC,

则以。为坐标原点，刀，刀,西所在直线为x/，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

则。（0,0,0）,2（石,0,0）,E。，一，G（0,0,73）,^（Al,V3）,C（0,-l,0）,4（0,2,V3）,

.•.砺=（退,0,0）,方豆=

设尸（居乃2），4?=几圾（0<4<1）,贝!][,歹/—6）=（百440）,

X=y[3A,y=4,2=V3,九下），:.DP=（S'4%,;

由（1）知：4。，平面助£，••・平面的一个法向量比=至1=（0,3,百卜

设平面PBD的法向量五=（a/,c）,

DB-n=y/ia=0

令b=G,则。=0,C=—4,.，.力=（0,6,—4）；

DP-n=V32tz+4b+43c=0

・"叶％黑2

令3-八止(2,3),则八3一,二gs(流研=乩2一1+产=H

即锐二面角尸-8。-£的余弦值的取值范围为

21.已知数列｛%｝满足q=1,<2„+i=2a„+l(«eN*).

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)若数列抄“｝满足44T妙一甲一…什1=(%+1户("eN*),证明低｝是等差数列;

「〃1见a,an

证明•----<---n<一〃£N*

⑴(3)址力•23g1-％-----F,,•H-—-----2

【答案】(1)%=2"-1

(2)证明见解析

⑶证明见解析

【分析】(1)推导出数列｛。“+1｝为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列｛见｝的通项公式；

(2)由已知条件变形可得出2色+仇+4+…+妇-2”=曲，令〃=1可求得々的值，4«>2,由

2伯+62+63+--+")-2〃=泌"可得2伍+62+&+~+6,1)-2(〃-1)=(〃-1)，7,两式作差结合等差中项法

可证得结论成立；

11a1

(推导出-不工<不，利用不等式的基本性质可证得结论成立.

3)J2"4

an+i2

【详解】(1)解：因为4=1,%+i=2%+l(〃eN*),则％讨+1=2(%+1)且4+1=2,

所以，数列｛%+1｝是等比数列，且该数列的首项和公比均为2,

.•.%+1=2X2"T=2",;.%=2"-1.

(2)解：对任意的〃eN*,”-甲-中1…44T=(%+以"=2曲，

所以，2(bx+b,+b3+---+bn')-2n^nbn,

当〃=1时，2bl_2=b「解得4=2；

当〃22时,由2佑+4+b3T----卜4)-2几=nbn可得2他+b2+b34------——=(n—\^bn_x,

上述两个等式作差可得2"-2=nbn-(1)如,即("2)4-(1)2-2,

所以，(n-l)bn+1-nbn=-2,故(〃-1功用-曲=("-2泡-("-I)”一,

化简可得6向+如=2b”,因此，数列也｝为等差数列.

a2〃一12〃一11幺+"

⑶解」亡=门＜『=5,所以，+L+&<4

a2a3%2'

an_2"-l_g(2*'T)_]]>j___1_

丁-2,,+1-l2"+1-l—-2(2"+1-l)-5-3.2"+2"-2~2~TT

1

aan111n6

所以,----i----,1------2----,r,••»-l-----%------W>-----------1---->----

a〃+122〃2233223

2

n1<%+%