2025年中考数学一轮复习之反比例函数

2025年中考数学一轮复习之反比例函数

选择题（共10小题）

1.某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该

校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情

况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是

（）

yA

\

*.丙

、、y

0x

A.甲B.乙C.丙D.T

抛物线与双曲线的交点的横坐标为。

2.-2xy=9,则直线y^ax+2-a的图象大致是()

/-r

卜

k

3.下列函数中：①y=fcx-2（左<0）；②y=£（kV0）;（1')y=ax1+l(〃>0)；@y—a(x-1)2-3(。>0),

当x>0时，y随尤的增大而增大的有（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

4.如图，在平面直角坐标系中，点尸在反比例函数y=-(x>0)的图象上，点A,2在x轴上，且

PB,垂足为尸，外交y轴于点C,AO=BO=BP,△A8P的面积是2.则%的值是（）

5.若点A(xi,-3),B(尤2,-1),C(尤3,1)都在反比例函数y=1的图象上，则尤i,X2,%3的大小关

系为()

A.X1<X2<X3B.X2<X1<X3C.X2<X3<X1D.X3<X2<X1

6.如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃,加热到100℃,停止加热，水温开始下降，

此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系.当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水

温在20℃时接通电源，水温y与通电时间尤之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是()

A.水温从20℃加热到100℃,需要4冽沅

B.水温下降过程中，y与x的函数关系式是y=竽

C.上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水

D.在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7mm

7.如图，菱形A3CQ的对角线AC,5。交于点P,且AC过原点O,轴，点。的坐标为(12,6),

A.12B.9C.8D.2

8.某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利

润率（利润和成本的比值）y与该店成本》的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个

反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（）

9.在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率尸（w）与

做功所用的时间/（s）成反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不正确的是（）

A.尸与f的函数关系式为2=詈

B.当f=5s时，P=12000w

C.当t>5s时，P>12000w

D.尸随r的增大而减小

10.伟大的古希腊物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球!”这句名言道出了“标

杆原理”的意义和价值.比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”.已知阻力为（N）

和阻力臂心（能）的函数图象如图，若小明想使动力仍不超

过200N,则动力臂工2至少需要（）m.

4（N）

A.2B.1C.3D.4

二.填空题(共5小题)

11.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-6,10),3(-6,0),C(4,0),将△ABC绕点B顺

时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在双曲线y的图象上，则该反比例函

数表达式为.

12.如图，反比例函数y=|的图象经过△AB。的顶点A,点。是04的中点，若反比例函数y=(的图象

经过点D,则k的值为

一

13.如图，点A是反比例函数y=k趣图象上的一点，过点A作AC,无轴，垂足为点C,。为AC的中点,

若△A。。的面积为1,则人的值为

y,

14.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，△0A8的顶点A,B都在第一象限，反比例函数y=/(x＞0)的图

AD5

象经过A,B两点，ACLx轴交于点C,AC与OB交于点D,若而=AABD的面积为1,则上的

15.己知y是尤的反比例函数，其部分对应值如表:

X,•,•-2-112…

••abmn…

若a<b,则mn.(填或“=”)

三.解答题(共5小题)

16.如图，菱形0ABe的边。4在x轴上，点C(3,4),反比例函数y=[(左W0)的图象经过菱形两条

对角线AC,的交点D

(1)求反比例函数的表达式;

将菱形向左平移，当点落在反比例函数)的图象上时，求平移的距离.

(2)042c8y=[(4=0

17.如图，正比例函数月=筵x和反比例函数为=[。＞0)的图象交于点A(相，2).

(1)求反比例函数的解析式;

(2)将直线0A向上平移3个单位后，与y轴交于点8,与%=20＞。)的图象交于点G求C点的

坐标.

18.某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，

消毒效果y(单位：效力)与时间x(单位：分钟)呈现三段函数图象，其中42段为渐消毒阶段，BC

段为深消毒阶段，8段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段.请根据图中信息解答下列问题：

(1)第3分钟时消毒效果为效力；

(2)求深消毒阶段和降消毒阶段中y与尤之间的函数关系式；

(3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？

19.如图，正比例函数y=-2x与反比例函数y=］的图象交于A,8两点，点8的横坐标为2.(1)求反

比例函数的表达式及点A的坐标；

(2)根据图象直接写出不等式4+2%<0的解集；

X

(3)点尸是x轴上一点，连接PB,当是直角三角形且以为直角边时，直接写出点尸的

坐标.

y,

A

ox

20.心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化.开

始上课时，学生的注意力逐步增强，10分钟后保持平稳一段时间，平稳时间持续14分钟，随后学生的

注意力开始分散.通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示,

CD为反比例函数图象的一部分.

(1)当OWxWlO时，请求出y关于x的函数解析式;

(2)数学老师计划在课堂上讲解一道23分钟的推理题，请问他能否经过适当的安排，使学生在听这道

题目的讲解时注意力指标数不低于32?并说明理由.

2025年中考数学一轮复习之反比例函数

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该

校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情

况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是

（）

yA

A.甲B.乙C.丙D.丁

【考点】反比例函数的应用.

【专题】反比例函数及其应用；应用意识.

【答案】C

【分析】根据题意可知孙的值即为该级部的优秀人数，再根据图象即可确定丙学校的优秀人数最多,

甲学校的优秀人数最少，乙、丁两学校的优秀人数相同.

【解答】解：根据题意，可知孙的值即为该校的优秀人数，

1/描述乙、丁两学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，

•••乙、丁两学校的优秀人数相同，

•.•点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面，

...丙学校的孙的值最大，即优秀人数最多，甲学校的孙的值最小，即优秀人数最少，

故选：C.

【点评】本题考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键.

2.抛物线-2、与双曲线丫=］的交点的横坐标为a,则直线y=ax+2-a的图象大致是（）

yy

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数

的图象；反比例函数的性质.

【专题】一次函数及其应用；推理能力.

【答案】A

【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，根据二次函数和反比例函数的性质画出图象，结合图象得出

a>2,即可解答.

【解答】解：把y=。代入y=x?-2x,

则x2-2尤=0,

解得：xi=0,X2=2,

.,•抛物线与x轴相交于(0,0),(2,0),

'"y=jr-2x,

...抛物线开口向上，

...抛物线图象经过第一、二、四象限，

1

=%=1>0,

；・双曲线图象位于一、三象限，

抛物线与双曲线交点位于第一象限，即。>0,

...y=czx+2-a必过一、三象限，

:抛物线与x轴相交于(0,0),(2,0)

由图可知，抛物线与双曲线交点在(2,0)右边，

.'.a>2,

.,.2-a<0,

...直线y=^+2-a的图象经过一、三、四象限,

【点评】本题考查了一次函数、反比例函数，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质

定理.

3.下列函数中：@y=kx-2(A:<0)；②y=1(k<0)；®y=ar2+l(a>0)；@y—a(x-1)2-3(a>0),

当x>0时，y随尤的增大而增大的有()

A.①②B.②③C.③④D.①④

【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质；一次函数的性质.

【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；推理能力.

【答案】B

【分析】充分运用一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断.

【解答】解：①y=fcc-2y随尤的增大而减小，不符合题意；

②y=](k<0)当天>。时，y随x的增大而增大，符合题意；

③/=〃%2+1(4?>0)当x>0时，y随x的增大而增大，符合题意；

@y=a(x-1)2-3(«>0),当x>l时，y随x的增大而增大，不符合题意，

故选：B.

【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性(单调性)，是一道难度中等的题目.

一

4.如图，在平面直角坐标系中，点尸在反比例函数y=k玄(％>0)的图象上，点A,8在x轴上，且

PB,垂足为尸，B4交y轴于点C,AO=BO=BP,ZXABP的面积是2.则左的值是()

C.V3D.2

【考点】反比例函数系数k的几何意义;反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】反比例函数及其应用；三角形;几何直观.

【答案】A

【分析】连接OP,作尸轴于。，根据三角形中线平分面积求出三角形尸的面积，再求证出三

角形POB是等边三角形，再利用反比例函数的几何意义求出k即可.

【解答】解：连接。P,作尸。,无轴于

:△AB尸的面积是2,AO=BO,

尸的面积为1,

'JPALPB,AO=BO=BP,

1

sinNB43=

Vsin30°=

：.ZPAB=30°,

：.ZPBA=6Q°,

•••△尸03为等边三角形,

.11

••S^POD—2s△尸08=29

.w_1

••一，

22

k=±1,

..•反比例函数的图象位于第一象限,

k=1.

故选：A.

【点评】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，等边三角形的确定、三角形中线平分面积是解题关

键.

5.若点A(xi,-3),B(%2,-1),C(%3,1)都在反比例函数y=彳的图象上，则xi,xi,X3的大小关

系为()

A.X1<X2<X3B.X2<X1<X3C.X2<X3<X1D.X3<X2<X1

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】反比例函数及其应用.

【答案】B

【分析】根据反比例函数的性质，结合“点A(xi,3)、B(冲，-1)、C(X3,1)在反比例函数的

图象上”，根据各个点纵坐标的正负，即可判断横坐标的正负，当x>0时，根据反比例函数>=|的增

减性，即可判断两个正数横坐标的大小，综上，可得到答案.

【解答】解：；点A(xi,3)、B(羽，-1)、C(无3,1)在反比例函数y=1的图象上，

又：y>0时，x>0,y<0时，x<0,

即Xl>0,X3>0,X2<0,

当x>0时，y随尤的增大而减小，

.".X1<X3,

综上可知：X2<X1<X3,

故选：B.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和反比例函数的增减

性是解题的关键.

6.如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃,加热到100℃,停止加热，水温开始下降，

此时水温y(℃)与通电时间尤(mm)成反比例关系.当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水

温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是()

A.水温从20℃加热到100℃,需要4加”

B.水温下降过程中，y与x的函数关系式是丫=竽

C.上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水

D.在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7加”

【考点】反比例函数的应用.

【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；应用意识.

【答案】D

【分析】根据水温升高的速度，即可求出水温从20℃加热到100C所需的时间；设水温下降过程中，y

与x的函数关系式为y=1,根据待定系数法即可求解;先求出当水温下降到20摄氏度所需时间为20加小

即一个循环为20加%30-20=10,将尤=10代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求

出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断.

【解答】解：：开机加热时每分钟上升20℃,

・•・水温从20℃加热到100℃,所需时间为坨一^=4（m加），故A选项正确，不符合题意；

20

设水温下降过程中，y与x的函数关系式为y=5，

由题意得，点（4,100）在反比例函数y=（的图象上，

・4_卜

e•4-ioo,

解得：左二400,

水温下降过程中，y与x的函数关系式是丫=竽，故8选项正确，不符合题意；

„,400

令Ay=20,则一=20,

・・%=20,

/.从开机加热到水温降至20℃需要20min,即一个循环为2Qmin,

y=20%+20(0<x<4)

水温y(℃)与通电时间x(伍历)的函数关系式为400,“_，

(y=—(4<x<20)

上午10点到10：30共30分钟，30-20=10,

.•.当尤=10时，尸带=40,

即此时的水温为40℃>38℃,故C选项正确，不符合题意；

在加热过程中，水温为40℃时，20x+20=40,

解得：x=\,

在降温过程中，水温为40℃时，40=竽，

解得：尤=10,

V10-1=9,

一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9加m故。选项错误，符合题意.

故选：D.

【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析数，解题关键在

于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题.

7.如图，菱形A3。的对角线AC,BD交于点、P,且AC过原点。，轴，点C的坐标为(12,6),

反比例函数y=］的图象经过A,P两点，则上的值是()

A.12B.9C.8D.2

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；反比例函数的性质.

【专题】反比例函数及其应用；应用意识.

【答案】C

【分析】先根据反比例函数的对称性和菱形的性质得到4。=OP=9P,OP-10C,进而求得点P坐

标即可求解.

【解答】解：,•,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点P,

：.AP=PCf

:反比例函数y=1的图象经过A,P两点，

11

；.ao=op=yp,贝|JOP=§OC,

过点尸、C分别作CE,无轴，尸尸，x轴，垂足为E,F,则尸尸〃CE,

:.△OPFs^ocE,

.PFOFOP1

"CE~OE~OC~3

:点C的坐标为(12,6),

；.0E=12,CE=6,

尸=4,PF=2

点尸坐标为(4,2),

"=4X2=8,

故选：C.

►x

【点评】本题考查了反比例函数与几何综合，解决本题的关键是综合利用相似三角形的判定和性质、反

比例函数的图象和性质、菱形的性质等，属于基础综合题型，难度适中.

8.某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利

润率(利润和成本的比值)y与该店成本x的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个

反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是()

y

o

A.甲B.乙C.丙D.丁

【考点】反比例函数的应用.

【专题】反比例函数及其应用；应用意识.

【答案】c

【分析】根据题意，可知冲的值即为该校的优秀人数，根据图象判断即可.

【解答】解：根据题意，可知孙的值即为专卖店获得利润，

:描述甲、丁两家专卖店的点恰好在同一个反比例函数的图象上，

甲、丁两家专卖店的获得利润相同，

:点丙专卖店在反比例函数图象上面，点乙在反比例函数图象下面，

丙专卖店的孙的值最大，即获得利润最多，丁专卖店的秤的值最小，即获得利润最少，

故选：C.

【点评】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图象上点的坐标特征，结合实际含义理解图象上

点的坐标含义是解题的关键.

9.在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率尸（w）与

做功所用的时间/（s）成反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不正确的是（）

B.当f=5s时，P=12000w

C.当t>5s时，P>12000w

D.尸随/的增大而减小

【考点】反比例函数的应用.

【专题】反比例函数及其应用；运算能力.

【答案】C

【分析】先设出产与才的函数解析式，再把A（15,4000）代入解析式即可.

【解答】解：设功率P（单位：w）与做功的时间/（单位：s）的函数解析式为尸（20）,

把t=15,尸=4000代入解析式得：4000=*

解得：k=60000,

功率尸（单位：W）与做功的时间f（单位：S）的函数解析式为尸=畔2

故A不符合题意;

当t=5s时，P=60000=12000w；

故8不符合题意;

当J>5s时,P<12000w；

故C符合题意;

V60000>0,

，在第一象限内，尸随，的增大而减小;

故。不符合题意;

故选：C.

【点评】本题考查反比例函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式.

10.伟大的古希腊物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球!”这句名言道出了“标

杆原理”的意义和价值.比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”.已知阻力H（N）

和阻力臂Li（m）的函数图象如图，若小明想使动力歹2不超

过200N,则动力臂工2至少需要（)m.

给我一个支点，我可以撬动地球!

—阿基米德

C.3

【考点】反比例函数的应用.

【专题】反比例函数及其应用；应用意识.

【答案】D

【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力为（N）和阻力臂L1（机）的函数关系式，然后根

据动力X动力臂=阻力又阻力臂，即可得到动力臂上的取值范围.

【解答】解：阻力尸1（N）和阻力臂心（m）的函数关系式为乃=+,

点(0.5,1200)在该函数图象上,

.,#=0.5X1200=600,

阻力为(N)和阻力臂口(m)的函数关系式为乃=警，

Li

.".FiLi=600,

F1L1—F2L2—6OO,

；.当歹2=150时，£2=4,

.,.小明想使动力尸2不超过150N,则动力臂上(单位：m)需满足心24,

.,.至少需要4米，

故选：D.

【点评】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

二.填空题(共5小题)

11.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-6,10),8(-6,0),C(4,0),将△ABC绕点B顺

时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在双曲线y=5的图象上，则该反比例函

数表达式为v=-芋.

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转.

【专题】反比例函数及其应用；推理能力.

【答案】y=-竽.

【分析】先根据题意得出AB,BC的长，再由勾股定理求出AC的长，根据图形旋转的性质得出8A'

=AB=10,BC=2C=10,A'C10V2,再由勾股定理得出。V的长，进而得出点A'的坐

标，设C'(a,b),利用两点间的距离公式得出8C'2,A'©2的表达式，进而得出a的值，求出C

点坐标，代入反比例函数的解析式即可.

【解答】解：(-6,10),8(-6,0),C(4,0),

轴,AB=1Q,BC=10,

；.AC=y/AB2+BC2=V102+102=10V2,

,/将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上,

：.BA'=AB=10,BC=3C=10,A'C=AC=10/,

在RtAOBA'中，OA'=>JA'B2-OB2=V102-62=8,

(0,8),

设C’(a,b),

2

:.BC'=(a+6)2+62=IOO①，C'2=/+(fc_8)2=200②，

①-②得6=号竺③，

把③代入①整理得/+12〃-28=0,

解得。1=-14舍去)，02=2.

当a=2时，b=-6,

：.C(2,-6),

把C(2,-6)代入y=E得％=2X(-6)=-12.

.12

••y=F

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-旋转，熟知反比例函数图象

上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键.

12.如图，反比例函数y=(的图象经过△A3。的顶点A,点。是OA的中点，若反比例函数y=1的图象

经过点D,则k的值为1.

V

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】反比例函数及其应用；推理能力.

【答案】

2a1k

【分析】设A(〃，-),由点。是04的中点可知。(一，一)，代入反比例函数求出女的值即可.

a2ax

【解答】解：.反比例函数y=［的图象经过△ABO的顶点4点。是04的中点，

2a1

・••设A(〃，—则。(一，一)，

a2a

..•反比例函数y=(的图象经过点D,

a11

k=xy==一，

za2

1

故答案为：

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此

函数的解析式是解题的关键.

13.如图，点A是反比例函数y=亍图象上的一点，过点A作AC,无轴，垂足为点C,。为AC的中点，

若△A。。的面积为1,则上的值为-4.

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】反比例函数及其应用；模型思想.

【答案】-4.

【分析】根据题意可知△AOC的面积为2,然后根据反比例函数系数上的几何意义即可求得上的值.

【解答】解：轴，垂足为点C,。为AC的中点，若△A。。的面积为1,

/.AAOC的面积为2,

VSAAOC=$4=2,且反比例函数y=1图象在第二象限，

:・k=-4,

故答案为：-4.

【点评】本题考查了反比例函数的比例系数々的几何意义：在反比例函数y=［图象中任取一点，过这

一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|炼

14.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，△042的顶点A,8都在第一象限，反比例函数y=2(x>0)的图

405

象经过A,B两点，AC,无轴交于点C,AC与0B交于点D,若而=AABD的面积为1,则上的

36

值为T1

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】反比例函数及其应用；应用意识.

【答案】y.

【分析】由题意设点4（机，得C（根，0）,D（m,薪），AD=去进而可知直线OD的解

'_4kx

析式为：y=^~2X'联立，y—加2”，可得点B的坐标为（为，至），再根据S-BO=^AD•（久B-3

/v乙D〃1乙

■y=Ar.

列出方程即可求解.

【解答】解：由题意设点/(g^)(m>0),

L一—一405…CD4AD5

•.•4。，1轴父于点C,—=则三二=二，-=-，

CD4AC9AC9

4kRk

C(m,0),D(jYifQ-),AD=Q-,

'9my9m

设直线OD的解析式为：y=ax,则---=am,得a=总勺，

9m9m£

・・・直线0。的解析式为：y=%x,

9mz

(4k(3

y=--7%x=5m

联立1,解得：2(负值舍去)，

k2A

~xv—3m

27j>

...点8的坐标为©HI,券)，

则SAABD=*AD-(xB-xD)=Ixx(|m-m)=^=1,

.36

1,fe"T-

故答案为：费.

【点评】本题主要考查反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，图形与坐标，熟练掌握反比例函

数的性质是解题的关键.

15.已知y是％的反比例函数，其部分对应值如表：

x…-2-112

yabmn

若a<b,则加<n.(填">”"V”或"=")

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的定义.

【专题】反比例函数及其应用；运算能力.

【答案】<.

【分析】根据反比例函数的变化性质判断即可.

【解答】解：v-2<-1,a<b,

，每个象限内，y随尤的增大而增大，

VI<2,

故答案为：<.

【点评】本题考查了反比例函数的性质，观察表格并得到条件是解题的关键.

三.解答题(共5小题)

16.如图，菱形0ABe的边在x轴上，点C(3,4),反比例函数的图象经过菱形两条

对角线AC,的交点D.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)将菱形0ABe向左平移，当点B落在反比例函数>=[(%#0)的图象上时，求平移的距离.

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；坐标与图形变化-平移；反比例函数图象上点

的坐标特征.

【专题】反比例函数及其应用；推理能力.

【答案】(1)y=

(2)6.

【分析】(1)延长BC交y轴于点E,交反比例函数于点R根据勾股定理求出0C的长，再由菱形的

性质得出0A的长，进而得出A点坐标，利用中点坐标公式得出D点坐标，代入反比例函数解析式求

出左的值即可；

(2)根据点C(3,4),BC=OC,得出8点坐标，再求出产点的坐标，求出8尸的长即可.

【解答】解：(1)如图，延长8c交y轴于点E,交反比例函数于点凡

,菱形O42C的边。4在无轴上，点C(3,4),

0C=y/OE2+CE2=V42+32=5,

：.OC=OA=BC=5,

：.A(5,0),

5+34„„

'.D(---，一),即(4,2),

22

・・,反比例函数(ZWO)的图象经过菱形两条对角线AC,05的交点。，

.•.%=xy=4X2=8,

反比例函数的解析式为：y=|；

(2);点C(3,4),BC=OC=5,BC//OA,

：.B(8,4),

•反比例函数的解析式为

；.4=g,

X

解得X=2,

：.F(2,4),

：.BF=8-2=6,

当点B落在反比例函数y=[(4#0)的图象上时，平移的距离是6.

【点评】本题考查的是利用待定系数法求反比例函数的解析式，菱形的性质，反比例函数图象上点的坐

标特征，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键.

17.如图，正比例函数月=上和反比例函数为的图象交于点A(相，2).

(1)求反比例函数的解析式;

(2)将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点8,与%=(。＞。)的图象交于点C，求C点的

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】反比例函数及其应用；推理能力.

【答案】(1)y=l；

(2)(2,4).

【分析】(1)先把A(m,2)代入正比例函数yi=1x,求出机的值即可得出A点坐标，再代入反比例

函数理=［的解析式，求出左的值即可；

(2)求出直线向上平移3个单位后的函数解析式，再与(1)中反比例函数的解析式联立求出交点

坐标即可.

【解答】解：⑴•••正比例函数为过点A(m,2),

・1

m=2,

2

解得m=4,

Z.A(4,2),

・・,反比例函数丫2=3。＞0)的图象过点A(4,2),

k

...­=2,

4

解得k=8,

...反比例函数的解析式为

(2)♦.•将直线0A向上平移3个单位，

...平移后的函数解析式为y=%+3,

y=1x+3

y=1

(负值舍去),

：.C(2,4).

【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意得出〃2的值是解题的关键.

18.某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，

消毒效果y(单位：效力)与时间x(单位：分钟)呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，BC

段为深消毒阶段，。段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段.请根据图中信息解答下列问题：

(1)第3分钟时消毒效果为0.9效力;

(2)求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数关系式；

(3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？

【专题】反比例函数及其应用；应用意识.

【答案】⑴0.9；(2)产却+/尸苧；⑶本次消毒有效.

【分析】(1)求得线段所在直线的解析式后代入尤=3求得y的值即可；

⑵设BC段的函数解析式为尸fcv+6,把(10,3)和(30,6)代入得求得BC段的函数解析式为y=&+

设CD段的函数解析式为y=f,把(30,6)代入求得段的函数解析式为y=写；

⑶把尸4分别代入y=*+5和k挈得到尤=孚或x=45,于是得到结论.

【解答】解：(1)设线段A8所在直线的解析式为y=履，

:经过(10,3),

；.10%=3,

解得：k=而

・••解析式为y=襦x,

当x=3时，y=njX3=0.9,

故答案为：0.9.

(2)设BC段的函数解析式为y=kx+b,

把(10.3)和(30,6)代入得口器甘=予，

i30fc+b=6

解得:卜一乳

.,.BC段的函数解析式为尸知+?(4WxW30),

设C。段的函数解析式为y=£，把(30,6)代入得6=养，

.*.m=180,

...CO段的函数解析式为丫=苧(x230)；

(3)把y=4分别代入y=+|和y=得，久=孚和x=45,

,.>45=^=281>28,

本次消毒有效.

【点评】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题

时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答.

19.如图，正比例函数y=-2r与反比例函数y=卷的图象交于A,B两点,点2的横坐标为2.(1)求反

比例函数的表达式及点A的坐标；

k

(2)根据图象直接写出不等式一+2%<0的解集；

x

(3)点P是x轴上一点，连接m，PB,当△B43是直角三角形且以A3为直角边时，直接写出点尸的

坐标.

yt

叭、

qr

【考点】反比例函数综合题.

【专题】反比例函数及其应用；运算能力.

【答案】（1）Y=一］，点A的坐标为（-2,4）；

（2）尤<-2或0<xW2；

（3）点尸的坐标为（10,0）或（-10,0）.

【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点8的坐标，由点8的坐标，利用反比例函

数图象上点的坐标特征，可求出左值，进而可求出反比例函数的表达式，再由点的坐标，结合点A,B

关于原点O对称，可求出点A的坐标；

k

⑵观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，找出不等比+23。的解集；

（3）当点尸在x轴正半轴时，过点B作BCLx轴于点C,由点8的坐标，可得出OC及的长，易

证△PBOS/VBCO,利用相似三角形的性质，可求出。尸的长，进而可得出点尸的坐标，同理，可求出

点P在无轴负半轴时点尸的坐标.

【解答】解：（1）当x=2时，y=-2X2=-4,

...点8的坐标为（2,-4）,

■:点B（2,-4）在反比例函数y=2的图象上，

:.k=-8,

反比例函数的表达式为>=-1.

又：点A,B关于原点。对称，且点3的坐标为（2,-4）,

.,.点A的坐标为（-2,4）；

（2）观察函数图象，可知：当x<-2或0<x<2时，正比例函数y=-2x的图象在反比例函数的

图象上方,

k

：.不等式一+2x<0的解集为xW-2或。〈尤W2；

x

（3）当点P在x轴正半轴时，过点B作8C，尤轴于点C,如图所示.

:点8的坐标为（2,-4）,

：.OC=2,BC=4,

：.OB=yJOC2+BC2=,22+42=2后

,：ZPBO=ZBCO=90°,ZPOB=ZBOC,

OPOB“OP2V5

—=—,即-尸=,

OBOC2<52

二。尸=10,

二点1的坐标为（10,0）；

当点P在X轴负半轴时，同理可求出点P的坐标为（-10,0）.

点尸的坐标为（10,0）或（-10,0）.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及相

似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用正（反）比例函数的对称性，求出点8的坐标；（2）

观察函数图象，找出不等式的解集；（3）构造相似三角形，利用相似三角形的性质求出点P的坐标.

20.心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化.开

始上课时，学生的注意力逐步增强，10分钟后保持平稳一段时间，平稳时间持续14分钟，随后学生的

注意力开始分散.通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示,

CD为反比例函数图象的一部分.

（1）当OWxWlO时，请求出y关于x的函数解析式；

（2）数学老师计划在课堂上讲解一道23分钟的推理题，请问他能否经过适当的安排，使学生在听这道

题目的讲解时注意力指标数不低于32?并说明理由.

【专题】反比例函数及其应用；应用意识.

【答案】(1)y=1.6x+24；

(2)经过适当的安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.

【分析】(1)分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可；

(2)分别求出注意力指数为32时的两个时间，再将两时间之差和23比较，大于23则能讲完，否则不

能.

【解答】解：(1)设反比例函数解析式为

由题意可得：C(24,40),

贝I]a=24X40=960,

,960

故+kk

则x=40时，y==24,

则D(40,24),故A(0,24)；

设线段AB所在的直线的解析式为y^kx+b,

b=24

把8(10,40),(0,24)代入得,

10k+b=40'

解得：C二町,

.•・y=1.6x+24；

(2)令直线A5函数中，y=32,

・・・32=1.6x+24,

•・5,

令反比例函数中y=32,

.960

x

，x=30,

V30-5=25>23,

经过适当的安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.

【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找

到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值.

考点卡片

1.一次函数的图象

(1)一次函数的图象的画法：经过两点(0,b)、(-p0)或(1,k+b)作直线

注