高中数学 1.3.1 等比数列（二）课时作业 北师大版必修5

3.1等比数列(二)课时目标1.进一步巩固等比数列的定义和通项公式.2.掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题．1．一般地，如果m，n，k，l为正整数，且m＋n＝k＋l，则有________________，特别地，当m＋n＝2k时，am·an＝________.2．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为________数列．3．如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列{eq\f(1,an)}，{an·bn}，{eq\f(bn,an)}，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为eq\f(1,q1)，q1q2，eq\f(q2,q1)，|q1|.一、选择题1．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5A．9B．10C．11D．122．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于()A．3B．2C．1D．－23．若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则eq\f(a,m)＋eq\f(c,n)＝()A．4B．3C．2D．14．已知各项为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则aA．5eq\r(2)B．7C．6D．4eq\r(2)5．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋logA.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．2D．3eq\f(4,3)6．在正项等比数列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则eq\f(a5,a7)等于()A.eq\f(5,6)B.eq\f(6,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)二、填空题7．在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝________.8．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．10．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则eq\f(a2－a1,b2)的值是________．三、解答题11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．12．设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．能力提升13．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a等于()A．4B．2C．－2D．－414．互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．1．等比数列的基本量是a1和q，依据题目条件建立关于a1和q的方程(组)，然后解方程(组)，求得a1和q的值，再解决其它问题．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an0，an0＋1，an0＋2，使a2n0＋1≠an0·an0＋2.3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．3．1等比数列(二)答案知识梳理1．am·an＝ak·alaeq\o\al(2,k)2.等比作业设计1．C[在等比数列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aeq\o\al(5,1)q10∵am＝a1qm－1＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.]2．B[∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.]3．C[设等比数列公比为q.由题意知：m＝eq\f(a＋b,2)，n＝eq\f(b＋c,2)，则eq\f(a,m)＋eq\f(c,n)＝eq\f(2a,a＋b)＋eq\f(2c,b＋c)＝eq\f(2,1＋q)＋eq\f(2q,1＋q)＝2.]4．A[∵a1a2a3＝aeq\o\al(3,2)＝5，∴a2＝eq\r(3,5).∵a7a8a9＝aeq\o\al(3,8)＝10，∴a8＝eq\r(3,10).∴aeq\o\al(2,5)＝a2a8＝eq\r(3,50)＝，又∵数列{an}各项为正数，∴a5＝.∴a4a5a6＝aeq\o\al(3,5)＝＝5eq\r(2).]5．A[∵a4a6＝aeq\o\al(2,5)，∴a4a5a6＝aeq\o\al(3,5)＝3，得a5＝.∵a1a9＝a2a8＝aeq\o\al(2,5)，∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)＝log3aeq\o\al(4,5)＝log3＝eq\f(4,6．D[设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1<an知0<q<1，由a2·a8＝6，得aeq\o\al(2,5)＝6.∴a5＝eq\r(6)，a4＋a6＝eq\f(\r(6),q)＋eq\r(6)q＝5.解得q＝eq\f(2,\r(6))，∴eq\f(a5,a7)＝eq\f(1,q2)＝(eq\f(\r(6),2))2＝eq\f(3,2).]7．4解析由题意知，q4＝eq\f(a5,a1)＝16，∴q2＝4，a3＝a1q2＝4.8．－6解析由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.∵a1，a3，a4成等比数列，∴aeq\o\al(2,3)＝a1a4，∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6.9．8解析设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)10.eq\f(1,2)解析∵－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，则a2－a1＝d＝eq\f(1,3)[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，∴beq\o\al(2,2)＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2.若设公比为q，则b2＝(－1)q2，∴b2<0.∴b2＝－2，∴eq\f(a2－a1,b2)＝eq\f(－1,－2)＝eq\f(1,2).11．解设这四个数分别为x，y,18－y,21－x，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝x(18－y),2(18－y)＝y＋(21－x)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(75,4)，,y＝\f(45,4))).故所求的四个数为3,6,12,18或eq\f(75,4)，eq\f(45,4)，eq\f(27,4)，eq\f(9,4).12．证明设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠0，q≠0，p≠q，cn＝an＋bn.要证{cn}不是等比数列，只需证ceq\o\al(2,2)≠c1·c3成立即可．事实上，ceq\o\al(2,2)＝(a1p＋b1q)2＝aeq\o\al(2,1)p2＋beq\o\al(2,1)q2＋2a1b1pq，c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)＝aeq\o\al(2,1)p2＋beq\o\al(2,1)q2＋a1b1(p2＋q2)．由于c1c3－ceq\o\al(2,2)＝a1b1(p－q)2≠0，因此ceq\o\al(2,2)≠c1·c3，故{cn}不是等比数列．13．D[依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，①,a2＝bc，②,a＋3b＋c＝10，③))①代入③求得b＝2.从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝4，,a2＝2c))⇒a2＋2a－8＝0，解得a＝2或a＝－4.当a＝2时，c＝2，即a＝b＝c与已知不符，∴a＝－4.]14．解设三个数为eq\f(a,q)，a，aq，∴a3＝－8，即a＝－2，∴三个数为－eq\f(2,q)，－2，－2q.(1)若－2为－eq\f(2,q)和－2q的等差中项，则eq\f(2,q)＋2q＝4，∴q2－2q＋1＝0，q＝1，与已知矛盾；(2