2024年广东省深圳市中考二模数学试题及答案

2024年广东省深圳市中考数学二模练习试卷满分100分，考试时长90分钟第一部分选择题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1.的相反数是（）11A.2025B.−C.D.202520252.下列四个手机应用图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.3.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城游泳馆区建筑总面积272000平方米，将数272000用科学记数法表示为（）A.0.272×7B.2.72×6C.2.72×5D.272×1044.如图．直线a//b，将一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直线a，b上，如果220．那∠=°么∠1度数为（）A.B.20°C.25°D.5.abc在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A.a>c>bB.c−a>b−aC.a+b<0D.ac2<bc26.如图，点O是的外接圆的圆心，若A80，则∠为（∠=°）A.°B.°C.150°130°D.7.《九章算术》中有这样一个题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值钱；现有钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为（）x+y=2xy=250x+10y=30A.B.50x+10y=30x+y=210x+50y=30x+y=210x+30y=50C.D.8.甲、乙两地相距120km，一辆汽车上午9:00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了30km/h，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程()与时间y()之间的函数关系如图所示，xh该车到达乙地的时间是当天上午（）A.10:359.如图，在中，C90M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于B.10:40C.10:45D.10:50∠=°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、AC于点AB点D，以下结论错误的是（）A.AD是∠的平分线∠ADC=60°B.D.S:△=1:2△C.点D在线段AB的垂直平分线上()，当点()满足(+)=2x+Px,yQx,yx1y2时，称点10.定义：在平面直角坐标系中，对于点112212()是点()的“倍增点”，已知点()，有下列结论：Px,yP1,011Qx,y221①点()，(−−)都是点的“倍增点”；2Q3,8Q2P11y=x+2P(4)；上的点A是点的倍增点”，则点A的坐标为②若直线1y=x2−2x−3上存在两个点是点1的倍增点；③抛物线45PPB1④若点B是点的倍增点，则的最小值是．15其中，正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4第二部分非选择题二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）若m2−n=−6，且m﹣＝﹣m+＝_____．212.一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，1摸到白球的概率为，那么黑球的个数是______．413.如图，正六边形的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______．14.如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点Fx轴正半轴上，点D在BC上，=，=3边点BE__________．15.如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，过点E作ED的垂线交BC于点F，对角线AC分别交，于点G，H，当DHAC时，则⊥的值为______．EF三、解答题（本题共7小题，共5516.计算：−212−+4cos30−12.°−3−π)0（1）（2）(a+3)(a−3)−a(a−2)．17.某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用ABCD表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答以下问题；（1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整；（2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为分、80分、分、分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______（3）若该校共有学生人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____（4A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．18.母亲节来临之际，某花店打算使用不超过30000元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花共1200束进行销售．百合与康乃馨的进货价格分别为每束30元、18元，百合每束的售价是康乃馨每束售价的1.6倍，若消费者用3200元购买百合的数量比用2400元购买康乃馨的数量少10（1）求百合与康乃馨两种鲜花的售价分别为每束多少元；束．（2）花店为了让利给消费者，决定把百合的售价每束降低4元，康乃馨的售价每束降低2元．求花店应如19.1为放置在水平桌面lAB为的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．BC，CD，使∠BCD成平角，ABC=150°（1）转动连杆．，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度（2）将（）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD165°，此时连杆端点离桌面的高度是Dl增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：2≈1.41，31.73）≈20.如图，在中，C=90°O上一点，以为半径的O与BC相切于点D是ABAB相交于点．（1）求证：AD是∠的平分线；（22，==4，求AE的长．21.如图，BC是O的直径，点A在O上，⊥AC于点G，交于点D，过点D作OEF⊥AB，分别交，BC的延长线于点E，F．（1）求证：EF是O的切线；4（2AE2，=B=O，求的半径．322.1ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：ABCDEAD==将△AEB沿翻（2中，为边上一点，且H,=,AE交CD延长边于点且求的长．折到△BEF处，延长EF交BC边于点G,D=,°（3ABCDEF中，=6，E为CD边上的三等分点，将ADE沿AE翻折得到，直线交于点BCP,求的长．△()与轴交于点B(4)．经过原点O的抛物线yA4,023.如图，在平面直角坐标系中，经过点的y=−x2++c交直线于点AC，抛物线的顶点为D．y=−x++c的表达式；2（1）求抛物线∥y=2时，求点M的坐标；（2M是线段N是抛物线上一点，当轴且（3P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点，，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2024年广东省深圳市中考数学二模练习试卷满分100分，考试时长90分钟第一部分选择题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1.的相反数是（）11A.2025B.−C.D.20252025【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义进行求解即可．【详解】解：的相反数是2025，故选A．【点睛】本题主要考查了求一个数的相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0是解题的关键．2.下列四个手机应用图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】A既是轴对称图形，又是中心对称图形;B是轴对称图形，不是中心对称图形;C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形;D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形;【详解】请在此输入详解！3.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城游泳馆区建筑总面积272000平方米，将数272000用科学记数法表示为（）A.0.272×7B.2.72×6C.2.72×5D.272×104【答案】C【解析】≤<1a，比原来nn【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a10n×的整数位数少，据此判断即可．【详解】解：2720002.72105，故选：．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a10n，其中=××1≤a<nnan为整数，且比原来的整数位数少，解题的关键是要正确确定和的值．，4.如图．直线a//b，将一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直线a，b上，如果220．那∠=°么∠1度数为（）A.B.20°C.25°D.【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：如图，过E作EF∥直线，则EF∥直线，∴∠3=1，∠4=∠2=20，∴∠1=45°-∠2=25°；故选：．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行内错角相等是解题的关键．5.abc在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A.a>c>b【答案】DB.c−a>b−aC.a+b<0D.ac<bc22【解析】，，c【分析】根据对应的点在数轴上的位置，利用不等式的性质逐一判断即可．<<<a<b，【详解】解：由数轴得：a0cb，故选项A不符合题意；∵cb，∴<c−a<b−a，故选项B不符合题意；a<b，a<b，∴a+b>0，故选项C不符合题意；∵∵ab，c0，∴ac<≠2<bc2，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是实数与数轴，绝对值的概念，不等式的性质，掌握以上知识是解题的关键．6.如图，点O是的外接圆的圆心，若A80，则∠=°∠为（）A.°B.°C.150°130°D.【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理即可得到∠的度数．【详解】解：∵点O是的外接圆的圆心，∴∠A、∠同对着BC，∵A=80，°∴=2A=160，∠°故选：．【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．7.《九章算术》中有这样一个题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值钱；现有钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为（）x+y=2xy=250x+10y=30A.B.50x+10y=30x+y=210x+50y=30x+y=210x+30y=50C.D.【答案】A【解析】【分析】设醇酒为xy斗，根据两种酒共用钱，共2斗的等量关系列出方程组即可．【详解】设醇酒为xy斗，由题意，则有x+y=2，50x+10y=30故选A．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系列出相应的方程是解题的关键．8.甲、乙两地相距120km，一辆汽车上午9:00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了30km/h，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程()与时间y()之间的函数关系如图所示，xh该车到达乙地的时间是当天上午（）A.10:35【答案】B【解析】B.10:40C.10:45D.10:50【分析】根据路程、速度和时间的关系结合函数图像解答即可.【详解】解：∵汽车匀速行驶了一半的路程后将速度提高了30km/h，甲、乙两地相距120km，∴汽车1小时行驶了，汽车的速度为60km/h，∴1小时以后的速度为90km/h，6090×60=40汽车行驶完后面的路程需要的时间为分钟，故该车到达乙地的时间是当天上午10:40；故选：B.【点睛】本题考查了函数的图像，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键.9.如图，在中，C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，以下结论错误的是（）A.AD是∠的平分线∠ADC=60°B.D.S:△=1:2△C.点D在线段AB的垂直平分线上【答案】D【解析】【分析】本题考查的是角平分线的含义，线段的垂直平分线的判定，含°的直角三角形的性质，A根据作图的过程可以判定AD是∠的角平分线；B利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠的度数；C利用等角对等边可以证得ADDB，由线段垂直平分线的判定=可以证明点D在AB的垂直平分线上；D°角所对的直角边是斜边的一半求出11CD==S=:△1:2，则△S:=2:3．，进而可得22【详解】解：根据作图方法可得AD是∠的平分线，故A正确，不符合题意；∵C90，∠=∠=B30，°∴=°，∵AD是∠的平分线，∴∠DAC=∠DAB=30°，∴ADC60B正确，不符合题意；∠=°∵∠B=30，∠DAB=30°，∴ADDB，=∴点D在AB的垂直平分线上，故C正确，不符合题意；∵∠CAD=30°，1∴CD=AD，2∵ADDB，=1CD=∴∴则，2SS:△=1:2，△:ABC=2:3D错误，符合题意，ABD故选：D．()，当点()满足(+)=21+Px,yQx,yx1y2时，称点10.定义：在平面直角坐标系中，对于点11222()是点()“倍增点，已知点()，有下列结论：Px,yP1,0的11Qx,y221①点()，(−−)都是点的“倍增点”；2Q3,8Q2P11y=x+2P(4)；上的点A的“倍增点，则点A的坐标为②若直线1y=x2−2x−3上存在两个点是点1的倍增点；③抛物线45PPB1④若点B是点的倍增点，则的最小值是．15其中，正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】(+)，根据“倍增点定【分析】①根据题目所给“倍增点定义，分别验证1,Q即可；②点Aa,a22(−t−3)是点的倍增点，根据Dt,t2P1义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点“倍增点定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点()，根据倍增B,n2m+1=n点”定义可得()=(m−2+n=2(m+)，把代入化简并PB12n2，根据两点间距离公式可得PB12配方，即可得出的最小值为，即可判断．5()()，Q3,8P1,0【详解】解：①∵，11∴(2x+x=2×1+3=y+y=0+8=8)()，1212∴2(x+x=y+y)，则()是点的倍增点；Q3,8P112121()(−−)P1,0，Q2∵，12∴2(x+x=2×1−2=y+y=0−2=−2，)()1212∴(2x+x=y+y，则2(−2)是点的倍增点；)P11212故①正确，符合题意；(+)，Aa,a2②设点P∵点A是点的倍增点，12×1+a=0+a+2，()∴解得：a0，=()，A0,2∴故②不正确，不符合题意；(−t−3)Dt,t2P③设抛物线上点是点的倍增点”，1∴21+t=t−t−3，整理得：t)22−t−5=0，∆=(4)2−××(−)=4136>0，5∵y=x−2x−3上存在两个点是点1的“倍增点”；2∴方程有两个不相等实根，即抛物线故③正确，符合题意；④设点()，B,nP∵点B是点的“倍增点”，1∴(2m+1=n)，∵()，()P1,0，1B,nPB1=(m−)2+n22∴=(−)m122m1+(+)2=5m2+6m+52316=5m++，55∵50，>5PB2∴∴的最小值为，11645PB1=的最小值是，55故④正确，符合题意；综上：正确的有①③④，共3个．故选：．【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．第二部分非选择题二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）若m2−n=−6，且m﹣＝﹣m+＝_____．2【答案】2【解析】【分析】根据平方差公式即可求出答案．m2−n=(m+n)(m−n)=−6m﹣＝﹣3，2【详解】解：∵∴﹣m+）＝﹣，∴m+＝2，故答案为：2【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．12.一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，1摸到白球的概率为，那么黑球的个数是______．4【答案】6【解析】【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可14【详解】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为，21∴=，n+24解得=6，经检验n是原方程的根，故答案为：6【点睛】本题考查了概率公式，根据概率，运用公式建立起分式方程是解题的关键．13.如图，正六边形的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______．π43【答案】【解析】##π3【分析】延长A于G，如图所示：根据六边形是正六边形，AB=2，利用外角和求得360°∠GAB==60°，再求出正六边形内角∠=180°-GAB=180°-60°=120°，利用扇形面积公式代入数∠6值计算即可．【详解】解：延长交⊙AG，如图所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，360°∴∠GAB==60°，6∠=180°-GAB=180°-60°=120°，πr2120×π×4π∴S===，3603603π故答案为．3【点睛】本题主要考查扇形面积计算及正多边形的性质，熟练掌握扇形面积计算及正多边形的性质是解题的关键．14.如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点Fx轴正半轴上，点D在边BC上，=，=3BE__________．18y=【答案】【解析】xB2m)【分析】设正方形CDEF的边长为m，根据BC，3，得到，根据矩形对边相等得==E3+,m)3×2m=3+m)mBE到OC=318到m=3，推出y=．x【详解】解：∵四边形OABC是矩形，∴AB3，==设正方形CDEF的边长为m，∴CDCFEFm，===∵BC，=∴BC2m，=∴(B2m)，(+)，E3,mky=设反比例函数的表达式为，x3×2m=3+mm，()∴解得m=3或m=0∴()，B3,6k=3×6=18∴，18y=∴这个反比例函数的表达式是，x18y=故答案为：．xk的几何意义．15.如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，过点E作ED的垂线交BC于点F，对角线AC分别交，于点G，H，当DHAC时，则⊥的值为______．EF19309【答案】【解析】##【分析】设a，==b，根据矩形性质和勾股定理可得=a2+b2，再证得BEF，ADAEb2b2CFCD=BF=CF=a−tanCDF=tanCAD=可得，，进而可得，再由，可得，得出BEBF4a4aCDb2b2b25=，联立得a−=，求得a=b，再证得△DGH∽△DFE，即可求得答案．a4aa2四边形ABCD是矩形，设=a，=b，∴∠BAD=∠B=∠ADC=90°AD=BC=aAB=CD=b，，，∴AC=AB2+BC2=a2+b，2EF⊥DE，∴∠=90°，∴∠+∠=∠+∠=90°，∴∠ADE=∠BEF，，ADAE∴=，BEBFE是AB的中点，11∴===b，22b2∴BF=，4ab2∴CF=−=a−DH⊥AC，，4a∴∠+CAD=90°，∠ADH+∠CDF=90°，∴∠CDF=∠CAD，∴tanCDF=tanCAD，CFCDCFbb∴==，即，CDab2∴CF=，ab2b2∴a−∴a==，4aa5b，216△在Rt中，=2+2=a2+(b)=2b，22⋅=⋅CD，AD⋅CDab5∴===b，ACa2+b23∠=∠DEF=90°，∠=，∴△DGH∽△，5bb30936∴===，2309故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合运用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题（本题共7小题，共5516.计算：−212−+4cos30−12.°−3−π)0（1）（2）(a+3)(a−3)−a(a−2)．【答案】（）3（2）2a9−【解析】【分析】本题考查含特殊角三角函数值的混合运算和整式的乘法．（1）先计算负指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值和二次根式，再进行加减计算；（2）根据平方差公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可．【小问1详解】−212−+4cos30−12.°−3−π)0解：3=4+4×−1−232=4+23−1−23=3【小问2详解】(+)(−)−(−)a3a3aa2=a−9−a+2a=2a−92217.某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用ABCD表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答以下问题；（1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整；（2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为分、80分、分、分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______（3）若该校共有学生人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____（4A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．【答案】（）；；见解析（2）；；66.512（3）4）【解析】C等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°A等级人数所占比例即可得；（2）由中位数，众数，平均数的定义结合数据求解即可；（3）利用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得；（4）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．【小问1详解】本次抽取的学生人数是1640%40÷=4扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是360°×故答案为人、36°；=36°，40−(++)=40416146B等级人数为补全条形图如下：【小问2详解】由条形统计图可知众数为：70由ABC的人数相加得：4+6+16=26>20，所以中位数为：704×90+6×80+16×70+14×50=66.5平均数为：40【小问3详解】42800×=280等级达到优秀的人数大约有40【小问4详解】画树状图为：∵共有种等可能情况，1男1女有6种情况，12∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为．【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，众数，平均数，树状图等知识点，解题时注意：=所求情况数与总情况数之比．概率18.母亲节来临之际，某花店打算使用不超过30000元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花共1200束进行销售．百合与康乃馨的进货价格分别为每束30元、18元，百合每束的售价是康乃馨每束售价的1.6倍，若消费者用3200元购买百合的数量比用2400元购买康乃馨的数量少10（1）求百合与康乃馨两种鲜花的售价分别为每束多少元；束．（2）花店为了让利给消费者，决定把百合的售价每束降低4元，康乃馨的售价每束降低2元．求花店应如【答案】（）康乃馨的售价为每束元，百合的售价为每束元；（2）购进百合700束，购进康乃馨500束．【解析】【分析】本题考查了分式方程，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．（1）设康乃馨的售价为每束x元，根据消费者用3200元购买百合的数量比用2400元购买康乃馨的数量32002400+10=少10束得：，解方程并检验可得答案；1.6xxm束，根据使用不超过30000元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花，有（2）设购进百合+(−)≤30m181200m30000m700≤w，，设花店获得利润为元，可得：w64430m402181200m10m24000=(−−)+(−−)(−)=+，再根据一次函数性质可得答案；【小问1详解】设康乃馨的售价为每束元，则百合的售价为每束x1.6x元；32002400+10=根据题意得：，1.6xx解得：x，=经检验，x是原方程的解，=∴1.6x1.64064，=×=答：康乃馨的售价为每束元，百合的售价为每束元；【小问2详解】(−)束，1200mm设购进百合束，则购进康乃馨∵使用不超过元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花，+(−)≤30m181200m30000∴，m≤700解得，w设花店获得利润为元，w=(−−)+(−−)(64430m402181200m10m+24000−)=根据题意得：∵10>0，，wm∴随的增大而增大，取最大值10×700+24000=31000∴当m=700时，w此时1200m1200700500，−=−=答：购进百合700束，购进康乃馨500束．19.1为放置在水平桌面lAB为的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．BC，CD，使∠BCD成平角，ABC=150°（1）转动连杆．，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度（2）将（）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD165°，此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：2≈1.41，31.73）≈【答案】（）39.6cm（2）减少了3.2cm【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．（1）如图2中，作BO⊥于O．解直角三角形求出即可解决问题．（2DF⊥l于F，CP于，，再求出−即可解决问题．【小问1详解】⊥⊥于G，CH于H．则四边形PCHG是矩形，求出⊥如图2中，作BO于O．⊥OEA=BOE=BAE=90°∵，∴四边形ABOE是矩形，∴90，∠=°∴=150°−90°=60°，∴ODBDsin60°=203(cm)，=⋅AB203+5≈39.6(cm)=+=+=∴．【小问2详解】作DFl于F，CP于，⊥⊥于G，CH于H．则四边形PCHG是矩形，⊥∵∠CBH=60,∠CHB=90°，∴BCH30，∠=°∵BCD165，∠=°=45°，∴∴CHBCsin60°=103(cm)=CD⋅sin45°=102(cm)=⋅，，∴PGCHAB=++=++()+()1021035，=+∴下降高度：203+5−1021035−=−−=−≈()1031023.2．20.如图，在中，C=90°O上一点，以为半径的O与BC相切于点D是ABAB相交于点．（1）求证：AD是∠的平分线；（22，==4，求AE的长．【答案】（）见解析（2）6【解析】）根据切线的性质得⊥，再由C=90°，得∥，由平行线的性质得∠=，又因为等腰三角形得∠=，等量代换即可得证；（2Rt中BD2+OD2=BO2，由勾股定理即可求半径．【小问1详解】证明：连接OD；O与相切于点D∵∴⊥∴90∠=°∵C=90°，∴∴∥=∠∠=∠C∴∠∵=∴∠=∴∴AD是∠的平分线；【小问2详解】解：∵C=90°∴在Rt中BD2+OD2=BO2；∵2，==4，设圆的半径为，r+42=(2+r)22∴解得r3，∴圆的半径为3AE=6∴．【点睛】本题考查了切线的性质、角平分线的性质、勾股定理，熟悉角平分线的定义与性质是解决本题的关键．21.如图，BC是O的直径，点A在O上，⊥AC于点G，交于点D，过点D作OEF⊥AB，分别交，BC的延长线于点E，F．（1）求证：EF是O的切线；4（2AE2，=B=O，求的半径．3【答案】（）见解析（2）5【解析】BC是O的直径，点在O上，可得=°，证明∥AC，则）由A⊥EF，进而结论得证；DG=AE=2，由OD∥ABtan∠COG=tanB，即（2）证明四边形是矩形，则，可得CG43====5a，由+=，+CG，设CG4a，则OGa，勾股定理得，=22可得a+2=5a，解得a=1，则=5，进而可得结果．【小问1详解】BC是O的直径，点在O上，证明：∵A∴，即⊥，∠=°∵EFAB，⊥∴∥AC，∵AC，⊥∴EF，⊥又∵是半径，∴EF是O的切线；【小问2详解】解：∵，EF⊥AB，⊥EF，∠=°∴四边形是矩形，DG=AE=2∴，∵AC，⊥⊥，∴OD∥AB，∴∠COG=B，∴tan∠COG=tanB，即OG=aCG43=，设CG4a，则=，由勾股定理得，=∵+=，2+CG=5a，2∴a+2=5a，解得a=1，∴5，=O的半径为5．∴【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，正切，矩形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．22.1ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：ABCDEAD==将△AEB沿翻（2中，为边上一点，且H,=,AE且求的长．折到△BEF处，延长EF交BC边于点G,延长交CD边于点（3ABCDEF中，=6，为CDE边上的三等分点，P,求的长．D=,°将ADE沿AE翻折得到，直线交BC于点△936【答案】（））的长为或225【解析】）根据将AEB沿翻折到∆BEF处，四边形ABCDAB=BF是正方形，得，BFE=A=90°，即得∠BFG=90°=∠C，可证Rt≌RtBCG(HL)；7（2）延长，AD交于Q，设FH=HC=x，在RtBCH中，有82+x2=(6x)2，得x=+，36BGFG7，BG==2541174=−=，由∽BCH，得87=，=，而EQ//GB，6+33373BCCH8887===AEEF=m=DE=8−m，因DQ//CB，可得，即，，设，则DQDH736−144−mEQEFm797==，有，即解得AE的长为；25BGFG24413AD于Q，过Q作⊥CD于H，设（3DE=DC=2时，延长交6−xy=x，QE=y，则=6−x，CP=2x，由AE是∆AQF的角平分线，有=①，在623313Rt−+=x=，CP=2x=中，x)2(x)2y2②，可解得；22421⊥（Ⅱ）当CE==2时，延长交延长线于Q′AD，过D作交延长线于N，同理解36x=，CP=得．55【详解】明（1将AEB沿翻折到∆BEFABCD处，四边形是正方形，∴=，BFE=A=90°，∴∠=90°=C==，，BG=BG，∴Rt≌RtBCG(HL)；（2）解：延长，AD交于Q，如图：设FH=HC=x，在RtBCH中，BC2+CH2=BH，2∴82+x2=(6+x)2，7x=解得，3113∴DH=DC−HC=，∠BFG=∠BCH=90°，=，∴∆∽BCH，6BGFG7==∴==7，即8，6+3325474∴BG==，，//，DQ//CB，∴∆∽∽CHB，，73BCCH8∴==，即，DQDH736−88∴DQ=，7设AEEFm，则==DE=8−m，88144∴=+=8−m+=−m，77∽，144−mEQEFm77∴==，即，25BGFG449m=解得，29∴AE的长为；213（3DE=DC=2时，延长交AD于Q，过Q作⊥CD于H，如图：=x，QE=y，则=6−x，设CP//DQ，∴∆CPE∽QDE，CPCE∴==2，∴CP=2x，沿AE翻折得到，∴EF=DE=2，==6，QAE∠=FAE，∴AE是∆AQF的角平分线，AQQE6−xy∴==，即①，AFEF62D=60°，1113∴==xHE=DE−DH=2−x=3=，，x，2222中，HE2HQ2EQ2，+=在13∴−x)2+(x)2=y②，2223x=联立①②可解得，43∴CP=2x=；213⊥N交延长线于，如图：（Ⅱ）当CE==2时，延长交AD延长线于Q′，过D作∠′=∠QAEEAF同理，′′6+xyQE∴==，即，6431由HQ′2+2=′2得：(+(x4)=y+，QDx)22222x=可解得，516∴CP=x=，25365综上所述，的长为或．2【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．()的直线与轴交于点(B4)．经过原点O的抛物线A4,023.如图，在平面直角坐标系中，经过点yy=−x2++c交直线于点AC，抛物线的顶点为D．y=−x2++c的表达式；（1）求抛物线∥y=2时，求点M的坐标；（2M是线段N是抛物线上一点，当轴且（3P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点，，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．y=−x+4x2【答案】（）5−173+17,或(2)或()（2）227+51+57−51−5（3）存在，()或(−−)或2,或,2222【解析】）利用待定系数法求出抛物线的解析式；y=−x+4，设Mt,t4(−+)，(−+)，分当Nt,t2t在(2)求出直线MN点上方时，()=t+4−t2+t=t−t+4=2．和当M在N点下方时，2=t+t−(t+4)=t22+t−4=2，即可求出