全国I卷2025届高三数学第二次模拟考试题四理

PAGEPAGE20（全国I卷）2025届高三数学其次次模拟考试题（四）理留意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔干脆答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（）A． B． C． D．2．集合，，则集合与的关系是（）A． B．C． D．且3．下列关于命题的说法中正确的是（）①对于命题，使得，则，均有②“”是“”的充分不必要条件③命题“若，则”的逆否命题是“若，则”④若为假命题，则､均为假命题A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①③4．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．2048 B．1024 C．2046 D．40945．函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法不正确的是（）A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称6．已知数列满意，，则数列的前项和（）A． B．C． D．7．已知是不等式组的表示的平面区域内的一点，，为坐标原点，则的最大值（）A．2 B．3 C．5 D．68．甲､乙､丙三人手持黑白两色棋子，在3行8列的网格中，三人同时从左到右，从1号位置摆到8号位置，若甲的1号位置与乙的1号位置颜色相同，称甲乙对应位置相同，反之称甲乙对应位置不同，则下列状况可能的是（）A．甲乙丙相互有3个对应位置不同B．甲乙丙相互不行能有4个对应位置不同C．甲乙1个位置不同，甲丙3个位置不同，乙丙5个位置不同D．甲乙3个位置不同，甲丙4个位置不同，乙丙5个位置不同9．已知实数、满意，的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知是定义在上的增函数，若对于随意，均有，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．11．已知函数，，若方程有4个不同的实数根，，，（），则的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知直三棱柱的侧棱长为，，．过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若，则的绽开式中常数项为_________．14．小张安排从个沿海城市和个内陆城市中随机选择个去旅游，则他至少选择个沿海城市的概率是__________．15．已知椭圆的右顶点为P，右焦点F与抛物线的焦点重合，的顶点与的中心O重合．若与相交于点A，B，且四边形为菱形，则的离心率为____．16．在中，记角所对的边分别是，面积为，则的最大值为_________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列满意．（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为．若，(为偶数)，求的值．18．（12分）如图，在圆柱中，四边形是其轴截面，为的直径，且，，．（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角平面角的余弦值．19．（12分）2024年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2024年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参加度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长听从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到）以及的数学期望．参考数据：，．若，则．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）若矩形的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围．21．（12分）设，，其中，且．（1）试探讨的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线的参数方程为（为参数），直线过点且倾斜角为．（1）求曲线的一般方程和直线的参数方程；（2）设与的两个交点为，求．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】（1）已知函数，求的取值范围，使为常函数；（2）若，，求的最大值．理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C．2．【答案】D【解析】因为，且，，所以且，故选D．3．【答案】A【解析】①对于命题，使得，则均有，故①正确；②由“”可推得“”，反之由“”可能推出，则“”是“”的充分不必要条件，故②正确；③命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故③正确；④若为假命题，则，至少有一个为假命题，故④错误，则正确的命题的有①②③，故选A．4．【答案】C【解析】，，运行第1次，，，运行第2次，，，，运行第9次，，，运行第10次，，，结束循环，故输出的值2046，故选C．5．【答案】C【解析】因为．其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，所以的最小正周期为，故A正确；当时，，所以的图象关于直线对称，故B正确；当时，，所以在间上不单调，故C错误；当时，，所以函数的图象关于点对称，故D正确，故选C．6．【答案】A【解析】由题意可得，两式相减得，，两式相加得，故，故选A．7．【答案】D【解析】由题意可知，，令目标函数，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最大值，最大值为，故选D．8．【答案】D【解析】对A，若甲乙有3个对应位置不同，不妨设前3个对应位置不同，则后5个对应位置相同，若丙和甲、丙和乙都要有3个对应位置不同，则只能在后5个对应位置中有3个和甲乙不同，若丙和甲在后5个对应位置中有3个对应位置不同，则必和乙有6个位置不同，故A错误；对B，若甲和乙前4个对应位置不同，乙和丙后4个对应位置不同，则甲和丙后4个对应位置也不同，故存在，所以B错误；对C，若甲乙第1个位置不同，后7个位置相同，甲丙在后7个位置中有3个位置不同，此时乙丙最多有4个位置不同，故C错误；对D，若甲乙前3个位置不同，甲丙第3个到第6个位置不同，则成立，故D正确，故选D．9．【答案】B【解析】如图所示：设为圆上的随意一点，则点P到直线的距离为，点P到原点的距离为，所以，设圆与直线相切，则，解得，所以的最小值为，最大值为，所以，所以，故选B．10．【答案】A【解析】依据，，可得，由，，可得，则，又是定义在上的增函数，所以，解得，所以不等式的解集为，故选A．11．【答案】D【解析】作出，的大致图象如图所示，可知，的图象都关于直线对称，可得，．由，得，则，所以．设，则，所以在上单调递增，所以的取值范围是，故选D．12．【答案】C【解析】如下图所示，取的中点，连接，取的，连接，取的中点，连接、，，为的中点，则，平面，平面，，，平面，、分别为、的中点，则且，平面，平面，所以，平面平面，所以，平面即为平面，设平面交于点，在直棱柱中，且，所以，四边形为平行四边形，且，、分别为、的中点，且，所以，四边形为平行四边形，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，设平面平面，平面，所以，，，，所以，四边形为平行四边形，可得，所以，为的中点，延长交于点，，所以，，，又，所以，，，为的中点，因为平面平面，平面平面，平面平面，，，，，，为的中点，，，则，为的中点，，则，同理，因为直棱柱的棱长为，为的中点，，由勾股定理可得，同理可得，且，平面，平面，平面，，、分别为、的中点，则，，由勾股定理可得，同理．因此，截面的周长为，故选C．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】240【解析】，绽开式的通项公式为，令，即．的绽开式中，常数项是，故答案为240．14．【答案】【解析】由题不选沿海城市的方法有种，从9个城市随意选2个城市有种，所以所求概率，故答案为．15．【答案】【解析】设抛物线的方程为，，，．由题得，代入椭圆的方程得，所以，，所以，所以，因为，所以，故答案为．16．【答案】【解析】，令，则，故，故，又，故，当且仅当满意时，等号成立，此时，，故的最大值为，故答案为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设等差数列的公差为d，因为，所以，即，解得，，所以．经检验，符合题设，所以数列的通项公式为．（2）由（1）得，所以，，∴，因为，，所以，即．因为为偶数，所以．18．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：连接，在圆柱中中，平面，平面，，，，平面，又平面，，在中，为的中点，．（2）连接，则与该圆柱的底面垂直，以点为坐标原点，过点作垂直于直线为轴，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，，，设平面的法向量分别是，由，得，取，得，设直线与平面所成角为，由，化简得，，解得，，设平面的法向量分别是，，由，得，取，得，，由图象可知，二面角为锐角，因此，二面角的余弦值为．19．【答案】（1），；（2）（ⅰ），（ⅱ），．【解析】（1）．．（2）（ⅰ）由题知，，所以，．所以．（ⅱ）由（ⅰ）知，可得，，故的数学期望．20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），∴，又椭圆过点，∴，，∴椭圆的方程．（2）①当矩形的四条边与椭圆相切于顶点时，易知；②当矩形的各边均不与坐标轴平行时，由矩形及椭圆的对称性，设其中一边所在的直线方程为，则其对边所在的直线方程为，另外两边所在的直线方程分别为，，联立，消去并整理可得，由题意可得，整理可得，同理可得，设两平行直线与之间的距离为，则，设两平行直线与之间的距离为，则，依题意可知，为矩形的两邻边的长度，所以矩形的面积，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以，综上所述：该矩形面积的取值范围为．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），①当时，由，得，即定义域为；当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增；②当时，由，得，即定义域为；当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）由，得，即，设，则，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减