2025年高考数学复习之概率

2025年高考数学复习热搜题速递之概率（2024年7月）

选择题（共10小题）

1.如图，正方形ABC。内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正

方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

2.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡

片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）

1132

A.—B.-C.—D.一

105105

3.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表

示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次

取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，则（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各

次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）

A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312

5.某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到

达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）

1123

A.—B.—C.—D.—

3234

6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分

为阳爻“一”和阴爻“__"，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳

爻的概率是（）

7.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为°,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位

成员中使用移动支付的人数，D（X）=2.4,P（X=4）<P（X=6）,则0=（）

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

8.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,

己知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45

9.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到

红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）

7533

A.-B.-C.-D.—

108810

10.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

—.填空题（共5小题）

11.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据

前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜

的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是.

12.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次.X表示抽到的二

等品件数，则。X=.

13.盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到

取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为亭则p（m=o）=,E（©=.

14.已知随机变量X服从正态分布N（2,。2）,且尸（2VXW2.5）=0.36,则尸（X>2.5）=.

15.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为

三.解答题（共5小题）

16.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不

合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余

下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p且各件产品是否为不合格品相

互独立.

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为了（0）,求/（p）的最大值点po.

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的po作为p的值.已知每件

产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX；

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

17.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量

其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态

分布N3,o2).

(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在⑺-3。，冲3。)之外的零件

数，求尸(XN1)及X的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(u-3。，u+3。)之外的零件，就认为这条生产线在这

一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

经计算得元=^6^1=1xt=9.97,s=J心型i(%-元产=Xt2-16x2)-0.212,其中xi为

抽取的第z•个零件的尺寸，i=l,2,16.

用样本平均数元作为□的估计值”，用样本标准差s作为。的估计值。利用估计值判断是否需对当天的

生产过程进行检查？剔除(n-3o,口+3。)之外的数据，用剩下的数据估计U和。(精确到0.01).

附：若随机变量Z服从正态分布N⑺，。2),则尸(厂3。<Z</+3。)=0.9974,0.997416«0.9592,

VM08«0.09.

18.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以

额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现

需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换

的易损零件数，得如图柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台

机器三年内共需更换的易损零件数，九表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(I)求X的分布列；

(II)若要求P(XWn)》0.5,确定〃的最小值；

(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在〃=19与"=20之中选其一，应选用哪个？

频数.

40------------I—I

20----------------------I—I—

0———————.

891011更换的易损零件数

19.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一

方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时

甲得分的概率为04各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球

该局比赛结束.

(1)求尸(X=2)；

(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.

20.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,8两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一

类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机

抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，

否则得。分；8类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的

概率与回答次序无关.

(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

2025年高考数学复习热搜题速递之概率（2024年7月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正

方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

【考点】几何概型.

【专题】定义法；概率与统计.

【答案】B

【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可.

【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1,则正方形的边长为2,

则黑色部分的面积s=l，

7T_

则对应概率尸=v=不

故选：B.

【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键.

2.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡

片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）

1132

A.—B.-C.—D.一

105105

【考点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

【专题】计算题；集合思想；定义法；概率与统计.

【答案】D

【分析】先求出基本事件总数“=5X5=25,再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片

上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率.

【解答】解：从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，

基本事件总数“=5X5=25,

抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：

(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),

共有10个基本事件，

抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率P=券=|・

故选：D.

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用.

3.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表

示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次

取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，则()

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算.

【答案】B

【分析】分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可.

【解答】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),

两点数和为7的所有可能为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),

P(甲)3,P(乙)3,P(丙)=蔡=粉「(丁)=盛J

A：P(甲丙)=0/尸(甲)P(丙)，

B-.P(甲丁)=壶=尸(甲)P(丁)，

C：P(乙丙)=去力尸(乙)P(丙)，

D：P(丙丁)=0WP(丙)P(T),

故选：B.

【点评】本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题.

4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各

次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()

A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312

【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】概率与统计.

【答案】A

【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可.

【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足XsB(3,0.6),

该同学通过测试的概率为用(0.6)2*(1_0.6)+废(0.6)3=o648.

故选：A.

【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查.

5.某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到

达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()

1123

A.—B.—C.—D.—

3234

【考点】几何概型.

【专题】概率与统计.

【答案】B

【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案.

【解答】解：设小明到达时间为y,

当y在7：50至8：00,或8：20至8：30时，

小明等车时间不超过10分钟，

故尸嗡斗,

故选：B.

【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题.

6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分

为阳爻“一”和阴爻“__"，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳

爻的概率是()

5112111

A.C.——D.

16323216

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】定义法；概率与统计；数学运算.

【答案】A

【分析】基本事件总数“=26=64,该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m=Cl=20,由此能求出该重

卦恰有3个阳爻的概率.

【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，

基本事件总数"=26=64,

该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m=Cl=20,

则该重卦恰有3个阳爻的概率L费=需=粉

故选：A.

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

7.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位

成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),贝Up=()

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望).

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计.

【答案】B

【分析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可.

【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为0,看作是独立重复事件，满足X〜8(10,

P)，

P(x=4)<P(X=6),可得Cfop4(i—p)6vc*p6(l—p)4,可得l-2p<o.即p〉号.

因为£>X=2.4,可得lOp(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4(舍去).

故选：B.

【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，独立重复事件的应用，考查转化思想以

及计算能力.

8.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,

已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45

【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数据分析.

【答案】A

【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为P，则由题意可得0.75Xp=0.6,由此解得p的值.

【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为0,则由题意可得0.75Xp=0.6,

解得p=0.8,

故选：A.

【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题.

9.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到

红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）

7533

A.—B.-C.-D.—

108810

【考点】几何概型.

【专题】综合法；概率与统计.

【答案】B

【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率.

【解答】解：：红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，

•••一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，

255

至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为一=

408

故选：B.

【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型，考查学生的计算能力，比较基础.

10.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计.

【答案】D

【分析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中

全是女生的有C3?=3种，根据概率公式计算即可，

（适合文科生），设2名男生为a,b,3名女生为A,B,C,则任选2人的种数为"，aA,aB,aC,

bA,bB,Be,AB,AC,BC共10种，其中全是女生为42,AC,8C共3种，根据概率公式计算即可

【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，

其中全是女生的有C3?=3种，

故选中的2人都是女同学的概率P=磊=0.3,

（适合文科生），设2名男生为a,b,3名女生为A,B,C,

则任选2人的种数为油，aA,aB,aC,bA,bB,Be,AB,AC,BC共10种，其中全是女生为A3,AC,

2c共3种,

故选中的2人都是女同学的概率P=余=0.3,

故选：D.

【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题.

二.填空题（共5小题）

11.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据

前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜

的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是0.18.

【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】计算题；方程思想；定义法；概率与统计.

【答案】见试题解答内容

【分析】甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛

中，第二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，④前5场比赛中，第四场

负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1获胜的概率.

【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.

设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，

甲队以4：1获胜包含的情况有:

①前5场比赛中，第一场负,另外4场全胜，其概率为：pi=0.4X0.6X0.5X0.5X0.6=0.036,

②前5场比赛中，第二场负,另外4场全胜，其概率为：「2=0.6X0.4X0.5X0.5X0.6=0.036,

③前5场比赛中，第三场负,另外4场全胜，其概率为：p3=0.6X0.6义0.5X0.5X0.6=0.054,

④前5场比赛中，第四场负,另外4场全胜，其概率为：04=0.6X0.6X0.5X0.5X0.6=0.054,

则甲队以4：1获胜的概率为:

p=pi+p2+p3+p4=0.036+0.036+0.054+0.054=0.18.

故答案为：0.18.

【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

12.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次.X表示抽到的二

等品件数，则DX=1.96.

【考点】离散型随机变量的方差与标准差.

【专题】计算题；转化思想；概率与统计.

【答案】见试题解答内容

【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可.

【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02,«=100,

则OX=wpq=:a（1-p）=100X0.02X0.98=1.96.

故答案为：1.96.

【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键.

13.盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到

取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为〜则尸0=0）=1,E⑴=1.

【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）.

【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计；数学运算.

【答案】P—=0）=之，E（P=1.

【分析】【解法1】由题意知随机变量W的可能取值分别为0,1,2；根据题意分别求出对应的概率值,

写出分布列，求出数学期望值；

【解法2】由题意知随机变量S的可能取值为0,1,2；分别计算尸3=0）、产0=1）和尸（1=2）,

再求E（孑）的值.

【解答】解：【解法1】由题意知随机变量《的可能取值分别为0,1,2；

3=0表示取到红球后（停止取球）还没有取到黄球，有以下两种情况：

①第一次就取到红球（Pi=J），

②第一次取到绿球、第二次取到红球62=”!=得），

431Z

111

所以尸（m=o）=尸叶尸2=4+行=芽

211

当m=i时，有以下三种情况：①第一次取到1个黄球为1=5,第二次红球为停止取球；

211

②第一次取到1个黄球为二，第二次取到绿球为大第三次取到红球为力停止取球；

432

121

③第一次取到绿球为二，第二次取到黄球为力第三次取到红球为二，停止取球；

432

917111711

所以尸（《=1）=4X3+4X3X2+4X3X2=3;

ill

尸（m=2）=1-尸（m=o）-尸（m=i）=i弋一方=右

所以《的分布列为：

012

p111

333

数学期望为=0x1+lxi+2x1=l.

【解法2】由题意知，随机变量f的可能取值为0,1,2；

计算尸鳍=。）=4+44=最

尸廿1）=粤+曳毕1=）

AI*3

尸麓=2）=算+全料］

用AI3

ill

所以E（?）=0x可+1x耳+2x可=1.

故答案为：—,1.

【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题.

14.已知随机变量X服从正态分布N（2,。2）,且P（2<XW2.5）=0.36,则尸（X>2.5）=0.14

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】0.14.

【分析】利用正态分布曲线的对称性求解.

【解答】解：•..随机变量X服从正态分布N（2,。2）,

：.P（2VXW2.5）+P（X>2.5）=0.5,

：.P（X>2.5）=0.5-0.36=0.14,

故答案为：0.14.

【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.

15.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为三.

-ro-

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出3人，先求出基本事件总数，再求出甲、乙被选中包含的基本

事件的个数，由此求出甲、乙被选中的概率.

【解答】解：方法一：设5人为甲、乙、丙、丁、戊，

从5人中选3人有以下10个基本事件：

甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊；

甲、乙被选中的基本事件有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；

故甲、乙被选中的概率为三.

10

方法二：

由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数底=10,

甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数程=3,

根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率尸=吗=导.

cl10

【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，熟记概率的计算公式即可，属于基础题.

三.解答题(共5小题)

16.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不

合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余

下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<l),且各件产品是否为不合格品相

互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为/(p),求/(p)的最大值点po.

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的8作为p的值.己知每件

产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX；

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望).

【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计.

【答案】见试题解答内容

17

【分析】(1)求出/(p)=或op2(l-p)18,则//(p)=C^0[2p(l-P)18-18P2(1-p)]=2%p(l-

p)17(l-lOp),利用导数性质能求出/(p)的最大值点po=O.l.

(2)(力由〃=o.i,令y表示余下的18。件产品中的不合格品数，依题意知丫〜5(180,0.D,再由x

=20X2+257,即X=40+25Y,能求出E(X).

(n)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，E(X)=490>400,从而应

该对余下的产品进行检验.

【解答】解：(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为/(p),

则/")=CMp2([一5)18,

z181717

'-f(p)=c^o[2p(l-p)-18P2(1-P)]=2%p(l-p)(l-10p),

令于'(p)=0,得p=0.1,

当pe(o,o.i)时，f(p)>o,

当p€(0.1,1)时，/(p)<0,

：.f(p)的最大值点po=O.l.

(2)(z)由(1)知p=0.1,

令y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知y〜2(180,o.i),

X=20X2+25Y,即X=40+25Y,

：.E(X)=E(40+25r)=40+25E(K)=40+25X180X0.1=490.

(")如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，

,:E(X)=490>400,

应该对余下的产品进行检验.

【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查是否该对这箱余下

的所有产品作检验的判断与求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，

是中档题.

17.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量

其尺寸(单位：C7W).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态

分布N(p,o2).

(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(四-3。，u+3。)之外的零件

数，求尸(X21)及X的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(四-3。，四+3。)之外的零件，就认为这条生产线在这

一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

经计算得元=会能1xi=9.97,s=J1求i(々一为2=J兼(比1%2—16元之)=0.212,其中xi为

抽取的第z•个零件的尺寸，i=l,2,16.

用样本平均数元作为口的估计值”，用样本标准差s作为。的估计值。利用估计值判断是否需对当天的

生产过程进行检查？剔除(u-3。，冲3。)之外的数据，用剩下的数据估计四和。(精确到0.01).

附：若随机变量Z服从正态分布N⑺，。2),则P⑺-3。<Z<p_+3。)=0.9974,0.997416^0.9592,

VM08«0.09.

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】计算题；转化思想；数学模型法；概率与统计.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)通过P(X=0)可求出P(XN1)=1-P(X=0)=0.0408,利用二项分布的期望公式计

算可得结论；

(2)(i)由(1)及知落在(u-3。，口+3。)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；

(ii)通过样本平均数元、样本标准差s估计“、o■可知(〃-3。，〃+3。)=(9.334,10.606),进而需剔

除0—3。，4+3。)之外的数据9.22,利用公式计算即得结论.

【解答】解：(1)由题可知尺寸落在(H-3o,n+3o)之内的概率为0.9974,

则落在(|i-3o,|i+3o)之外的概率为1-0.9974=0,0026,

由题意知乂〜台(16,0.0026),

16

因为P(X=0)=Cf6x(1-0,9974)°X0.9974^0.9592,

所以尸(XN1)=1-尸(X=0)=0.0408,

因为X〜B(16,0.0026),

所以E(X)=16X0.0026=0.0416；

(2)(i)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(〃一3o,〃+3。)之外的概率只有0.0026,一天内抽取

的16个零件中，出现尺寸在(〃-3o,〃+3。)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此

一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生

产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.

(ii)由元=9.97,s~0.212,得四的估计值为〃=9.97,。的估计值为。=0.212,由样本数据可以看出

一个

零件的尺寸在(〃-30,”+3。)之外，因此需对当天的生产过程进行检查.

剔除(〃—3*〃+3。)之外的数据9.22,剩下的数据的平均数为

1

—(16X9.97-9.22)=10.02,

15

因此n的估计值为10.02.

22

陪xf=16X0.212+16X9,97^1591.134,

剔除(〃-3。〃+3。)之外的数据9.22,剩下的数据的样本方差为

1

—(1591.134-9.222-15X10.022)-0.008,

15

因此。的估计值为迎亍丽=0.09.

【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，

注意解题方法的积累，属于中档题.

18.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以

额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现

需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换

的易损零件数，得如图柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台

机器三年内共需更换的易损零件数，"表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(I)求X的分布列；

(II)若要求P(XWn)20.5,确定〃的最小值；

(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在”=19与〃=20之中选其一，应选用哪个？

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望).

【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计.

【答案】见试题解答内容

【分析】(I)由已知得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,分别求出相应的概率，由此能

求出X的分布列.

(II)由X的分布列求出P(XW18)=芸，尸(XW19)=芸.由此能确定满足P(XWw)N0.5中n

的最小值.

(III)法一：由X的分布列得P(XW19)=芸.求出买19个所需费用期望EXi和买20个所需费用期

望EX2,由此能求出买19个更合适.

法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购

买的费用，分别求出九=19时，费用的期望和当〃=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适.

【解答】解：(I)由已知得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,

20°I

P(X=16)=(-----)2=k

10025

(V_ir、2040Q4

P(X=l7)=IOO><IOOX2=25-

400206

P(X=18)=—)2+2(—)2.

100100

“一八c40201c,20、26

P(X—19)=2x痂x痂+2x(加=25)

尸(X=2。)=(砺T+2X同x砺=汨=

P(X=21)=2x(襦产=急

P(X=22)=(景金

；.X的分布列为:

X16171819202122

p1466121

2525252552525

(II)由(I)矢口:

P(XW18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)

=25+25+25=25'

P(XW19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)

_J_46_6_17

=25+25+25+25=25,

.,.尸(XW〃)20.5中，w的最小值为19.

(Ill)解法一：由(I)得尸(XW19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)

=25+25+25+25=25'

买19个所需费用期望：

17121

EXi=200x19x芸+(200X19+500)X会+(200X19+500X2)X券+(200X19+500X3)x克=4040,

买20个所需费用期望：

2221

EXi=200X20X||+(200X20+500)x含+(200X20+2X500)x克=4080,

；EXI<EX2,

，买19个更合适.

解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用