中考数学专项复习：全等三角形中的经典模型【六大题型】

全等三角形中的经典模型【六大题型】

【题型1平移模型】............................................................................1

【题型2轴对称模型】.........................................................................5

【题型3旋转模型】...........................................................................7

【题型4一线三等角模型】.....................................................................13

【题型5倍长中线模型】......................................................................19

【题型6截长补短模型】......................................................................24

【例1】（2022•义马市期末）如图，点A,E,F,8在直线/上，AE=BF,AC//BD,且

AC=BD,求证：AACF咨ABDE.

【分析】根据平行线的性质得到NCAP=/£)BE,根据SAS证明△ACF也ABOE即可.

【解答】证明：：AE=B凡

：.AE+EF^BF+EF,

即AF=BE；

'：AC//BD,

：.ZCAF=ZDBE,

又；AC=BD,

在△ACV与△BDE中，

AC=BD

ACAF=乙DBE,

.AF=BE

：.AACF^ABDE(SAS).

【变式1-1](2022•曾都区期末)如图，点B,E,C,尸在一条直线上，AB=DE,AC=

DF.老师说：还添加一个条件就可使△ABCgZXOEF.下面是课堂上三个同学的发言：

甲：添加8E=C尸，乙：添力口AC〃£)R丙：添加NA=/D

(1)甲、乙、丙三个同学的说法正确的是甲、丙；

(2)请你从正确的说法中，选取一种给予证明.

【分析】(1)加上条件BE=C/或NA=N。的条件即可证明两个三角形全等，添加AC

〃D尸不能证明△ABC丝ADEF；

(2)添加BE=CB可得BC=E尸，利用SSS判定△ABC之△£)£/即可，添加/A=ND可

用SAS证明△ABCZADEF.

【解答】解：(1)说法正确的是：甲、丙，

故答案为：甲、丙；

(2)选甲的做法，

证明：；BE=CF,

：.BC=EF,

在△ABC和中，

AB=DE

AC=DF,

、BC=EF

:.AABC咨ADEFCSSS).

选丙的做法，

在△ABC和△£>£1尸中，

AB=DE

N4=ZD,

.AC=DF

：.^ABC^ADEF(SAS).

【变式1-2](2022春•东坡区校级期末)如图，△ABC中，AB^Ucm,BC=llcm,AC=

6cm,点、E是BC边的中点，点。在AB边上，现将△D8E沿着BA方向向左平移至△&£)尸

的位置，则四边形DECF的周长为cm.

【分析】连接ER证明△(?£■/0△DFE(ASA),推出DE=CR可得结论.

【解答】解：连接E?

由平移的性质可知，AF=DE.EF=AD,AF//DE,EF//AD,DF//BC,

：.ZCEF=ZDFE,ZCFE=NDEF,

在△。£尸和4。在中，

Z.CEF—Z.EFD

EF=FE,

/CFE=4DEF

：.ACEF^ADFE(ASA),

：.DE=CF,

:.AF=CF=DE=3cm

是BC的中点，

EC—EB—DF—5.5cm,

四边形DECF的周长=2(3+5.5)=17cm.

故答案为：17.

【变式1-3](2022•富顺县校级月考)如图1,A,B,C,。在同一直线上，AB=CD,DE

//AF,MDE=AF,求证：AAFC^ADEB.如果将沿着AO边的方向平行移动，如

图2,3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说

【分析】可以根据已知利用SAS判定△AFCgZYDEB.如果将8。沿着A。边的方向平行

移动，如图(2)、(3)时，其余条件不变，结论仍然成立.可以利用全等三角形的常

用的判定方法进行验证.

【解答】'：AB=CD,

：.AB+BC=CD+BC,

即AC=BD.

'JDE//AF,

AF=DE

在△Af'C和△DEB中，zyl=z£),

AC=DB

.,.△AFC咨ADEB(SAS).

在(2),(3)中结论依然成立.

如在(3)中，'：AB=CD,

：.AB-BC=CD-BC,

即AC=BD,

,JAF//DE,

：.NA=ND.

AF=DE

在△ACB和ADEB中，|乙2=乙0,

.AC=DB

：.(SAS).

知识点2轴对称模型】

【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三

角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.

【常见模型】

【题型2轴对称模型】

【例2】（2022•安丘市期末）如图，已知△ACP丝ZVDBE,且点A,B,C,D在同一条直

线上，ZA=50°,ZF=40°.

（1）求△O8E各内角的度数；

（2）若AO=16,BC=10,求42的长.

【分析】（1）根据全等三角形的性质求出N。、/E,根据三角形内角和定理求出NEBO

即可；

（2）根据全等三角形的性质得出AC=BD,求出AB=C。，即可求出答案.

【解答】解：（1）AACF^ADBE,ZA=50°,ZF=40°,

；./。=/4=50°,NE=NF=40°,

ZEBD=180°-ZD-ZE=90°；

(2)V/\ACF^/\DBE,

：.AC=BD,

；.AC-BC=DB-BC,

：.AB=CD,

"：AD=\6,BC=10,

：.AB=CD^~(AD-BC)=3.

2

【变式2-1](2022•陇县一模)如图，在△ABC中，已知CQ_LAB于点。，BE_LAC于点E,

/DCB=/EBC.求证：AD=AE.

A

【分析】由“A4S”可证△AQCgZiAEB,可得4D=AE.

【解答】证明：'：CDLAB,BE±AC,ZDCB=ZEBC,

:./DBC=NECB,

：.AB=AC,

在△ADC和△4EB中,

Z.A=Z.A

/.ADC=Z.AEB=90°,

AC=AB

.♦.△AOCg△AEB(AAS),

：.AD^AE.

【变式2-2](2022•句容市期末)如图，已知△A。。g△BOC.求证：AC=BD.

【分析】根据全等三角形的性质和等式的性质解答即可.

【解答】证明：•.•△AOD之△BOC,

：.AO^BO,CO=DO,ZAOD^ZBOC,

：.Z.AOD-ZCOD=ZBOC-ACOD,

即/A0C=N80D

在△AOC和△80。中，

AO=BO

Z.AOC=乙BOD,

.CO=DO

：.AAOC^ABOD(SAS),

：.AC=BD.

【变式2-3](2022•海珠区校级期中)如图，PBLAB,PC±AC,PB=PC,D是4P上一

点.求证：ZBDP^ZCDP.

【分析】求出NABP=NACP=90°,根据乩推出咨RtZXACP,根据全等三角

形的性质得出尸£>=NCPD,根据SAS推出△3PZ泾△CPZ）,即可得出答案.

【解答】证明：-：PB±AB,PC±AC,

：.ZABP=ZACP=90°,

.•.在RtZXABP和RtAACP中

(AP=AP

tpB=PC

.•.RtAABP^RtAACP〈HL),

：.ZBPD=ZCPD,

在△BPD和△CP。中

PB=PC

乙BPD=乙CPD

、PD=PD

；./\BPD乌4CPD,

：.ZBDP=ZCDP.

彳知识点3旋转模型】X

【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这

两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共

角的条件.

【常见模型】

【题型3旋转模型】

【例3】（2022•环江县期中）如图，AB=AE,AB//DE,Zl=70°,ZD=110°.

求证：△ABCgZkEA。.

证明：VZl=70°,

Z2=110°（邻补角的性质）.

又,

Z2=ZD（等量代换）.

'SAB//DE,

：.Z3=ZE（两直线平行，内错角相等）.

在△ABC和△EA。中，

I力B=AE

：./\ABC^/\EAD（A45）.

【分析】由邻补角的性质求出/2=110。，由平行线的性质得出N3=NE,根据A4s可

证△ABC丝△£/!£）.

【解答】证明：：/1=70°,

.-.Z2=110°（邻补角的性质），

：.Z2=ZD（等量代换），

'：AB//DE,

.../3=NE（两直线平行，内错角相等），

在△ABC和△£?1£）中，

22=4D

Z3=乙E,

.AB=AE

:./\ABC空AEAD（AAS）.

故答案为：Z2=110°；邻补角的性质；Z2=ZD；等量代换；N3=/E；两直线平行,

内错角相等；/2=ND；/3=/£

【变式3-1］（2022春•济南期末）如图1,△ABE是等腰三角形，AB^AE,NBAE=45°,

过点8作8CLAE于点C,在8c上截取CD=CE,连接A。、OE并延长交BE于点

P;

（1）求证：AD=BE；

（2）试说明AO平分NBAE；

（3）如图2,将△CQE绕着点C旋转一定的角度，那么AO与出?的位置关系是否发生

变化，说明理由.

B

B

【分析】(1)利用SAS证明△BCE名△AC。，根据全等三角形的对应边相等得到AO=

BE.

(2)根据△3CE四△AC。，得到NE5C=NDAC,由N8DP=NA0C,得到N6P0=N

0c4=90°,利用等腰三角形的三线合一，即可得到A。平分NA4E；

(3)AOLBE不发生变化.由△BCE四△ACO,得至(JNEBC=NOAC,由对顶角相等得

至IJN3尸尸=NA尸C,根据三角形内角和为180°,所以N3P/=NAb=90°,即ADA.

BE.

【解答】解：(I)VBC±AE,ZBAE=45°,

：.ZCBA=ZCAB,

：.BC=CA,

在△BCE和△ACO中，

BC=AC

乙BCE="CD=90°,

CE=CD

:•△BCE"AACD(SAS),

：.AD=BE.

(2)VABCE^AACD,

ZEBC=ADAC,

ZBDP=NADC,

：.ZBPD=ZDCA=90°,

U：AB=AE,

：.AD平分NA4E1.

(3)ADLBE不发生变化.

如图2,

B

A

(图2)

VABCE^AACD,

.,.ZEBC^ZDAC,

'：NBFP=ZAFC,

：.ZBPF=ZACF=90°,

：.AD±BE.

【变式3-2](2022•高港区校级月考)已知，如图，AD,相交于。点，点E、C在8尸

上，S.BE=FC,AC=DE,AB=DF.求证：

(1)AO^DO；

(2)AC//DE.

【分析】(1)易证△ABCZ/XOBE,可得NB=/F可证△AB。丝△DR?,可得A0=

DO；

(2)易证AABC注△DFE,可得/£)£/=NACB,可得AC〃OE.

【解答】解：(1)'：BE=CF,

:.BC=FE,

在△ABC和△DEE中，

AB=DF

AC=DE,

BC=FE

：./\ABC^/\DFECSSS),

：.ZB=ZF,

,在△ABO和△DR?中，

Z.DOF=Z.AOB

Z.B=Z.F,

AB=DF

：.^ABO^ADFO(A4S),

：.AO=DO；

(2),:△ABgADFE,

ZDEF=ZACB,

J.AC//DE.

【变式3-3］（2022•锦州模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起

（图1）,△A3。不动.

（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接。E,M是。E的中点，连接MB、MC（图2）,

证明：MB=MC.

（2）若将图1中的CE向上平移，NCAE不变，连接。E,M是。E的中点，连接M8、

MC（图3）,判断并直接写出MB、的数量关系.

（3）在（2）中，若NCAE的大小改变（图4）,其他条件不变，贝I（2）中的MB、MC

的数量关系还成立吗？说明理由.

【分析】（1）连接AM,根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE,AB^AC,全等三

角形对应角相等可得再根据等腰三角形三线合一的性质得到NM4D=

ZMAE,然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即

可得证；

（2）延长£）2、AE相交于E',延长EC交AZ）于R根据等腰三角形三线合一的性质

得到BD=BE',然后求出MB//AE',再根据两直线平行，内错角相等求出

ZCAE,同理求出MC//AD,根据两直线平行，同位角相等求出/8CM=NBAZ）,然后

求出再根据等角对等边即可得证；

（3）延长&W交CE于R根据两直线平行，内错角相等可得/朋£>8=/河£尸，ZMBD

=NMFE,然后利用“角角边”证明AML啰和全等，根据全等三角形对应边相

等可得MB=MF,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可.

【解答】证明：（1）如图2,连接AM,由已知得△ABOg/kACE,

：.AD=AE,AB=AC,ZBAD=ZCAE,

,:MD=ME,

：.ZMAD=ZMAE,

：.ZMAD-ZBAD=ZMAE-ZCAE,

即N3AM=NCW,

(AB=AC

在和△ACM中，\^BAM=/.CAM,

14M=AM

：.AABM^AACM(SAS),

：.MB=MC；

(2)MB=MC.

理由如下：如图3,延长。5、AE相交于E延长EC交A。于巴

：.BD=BE',CE=CF,

・・・M是中的中点，B是DE，的中点，

J.MB//AE',

・•・NMBC=NCAE,

同理：MC//AD,

：.NBCM=NBAD,

・・・ZBAD=ZCAE,

：.NMBC=NBCM,

解法二：如图3中，延长CM交3。于点T.

图3

。：EC〃DT,

:・/CEM=/TDM,

在△ECM和△DIM中，

2CEM=乙TDM

EM=DM,

/EMC=乙DMT

:・AECMmADTM(ASA),

/.CM=MT,

VZCBT=90°,

；・BM=CM=MT.

(3)还成立.

如图4,延长交CE于产,

•:CE〃BD,

:・NMDB=/MEF,NMBD=NMFE,

又・・・/是DE的中点，

：.MD=ME,

在△MOB和中，

2MDB=Z-MEF

乙MBD=乙MFE,

、MD=ME

：.AMDB^AMEF(AAS),

：.MB=MF,

VZACE=90°,

：.ZBCF=90°,

：.MB=MC.

【题型4一线三等角模型】

【例4】(2022春•香坊区期末)已知，在△ABC中，AB^AC,D,A,£三点都在直线机

上，且。E=9c〃z,ZBDA=ZAEC=ABAC

(1)如图①，ABLAC,则与AE的数量关系为BD=AE,CE与的数量

关系为CE=AD；

(2)如图②，判断并说明线段8。，CE与DE的数量关系；

(3)如图③，若只保持2。=所=7。m，点A在线段。E上以2cm/s的

速度由点。向点E运动，同时，点C在线段所上以xcm/s的速度由点£向点尸运动，

它们运动的时间为f(s).是否存在x,使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应

的f的值；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)利用平角的定义和三角形内角和定理得NC4E=/AB。，再利用44S证明

△ABD妾ACAE,得BD=AE,CE=AD；

(2)由(1)同理可得得CE=AD,可得答案；

(3)分注△EC4或△D4B咨4c两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决

问题.

【解答】解：(1)VZBDA=ZAEC=ABAC,

：.ZBAD+ZCAE=ZBAD+ZABD,

:.NCAE=NABD,

VZBDA=ZAEC,BA=CA,

：./\ABD^/\CAE(AAS),

：.BD=AE,CE=AD,

故答案为：BD=AE,CE^AD；

(2)DE=BD+CE,

由(1)同理可得△ABO四△CAE(A4S),

：.BD=AE,CE=AD,

：.DE=BD+CE；

(3)存在，当△D48也△EC4时，

.\AD=CE=2cm,BD=AE=lcm,

t—1,此时x=2；

当△ZMB丝△E4C时，

z

,\AD=AE=4.5cmfDB=EC=7cm,

・AD9①928

••t----=>X—/—=—,

2449

综上：t=l,九=2或/=?,X=—.

49

【变式4-1]（2022•东至县期末）如图，在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线机

上，并且有/2。4=/4£。=/氏4。=01,若。£=10,BD=3,求CE的长.

C

【分析】由NAEC=NBAC=a,推出NECA=NA4D,再根据A4s证明△BA£）0z\ACE

得CE=A。，AE=BD=3,即可得出结果.

【解答】解：,.•/AEC=NA4C=a,

.\ZECA+ZCAE=180°-a,

ZBA£）+ZC4£=180°-a,

：.ZECA=ZBAD,

在△BAZ）与△ACE中，

2BDA=Z.AEC

/-BAD=/.ACE,

.AB=AC

：.ABAD^AACE（AAS）,

：.CE=AD,AE=BD=3,

'：DE=AD+AE=W,

：.AD=DE-AE=DE-BD=10-3=7.

；.CE=7.

【变式4-2]（2022春•历下区期中）CD是经过NBCA定点C的一条直线，CA=CB,E、

厂分别是直线C。上两点，且NBEC=NCEl=/[3.

（1）若直线O）经过4BC4内部，且E、歹在射线C。上，

①若N8C4=90°,Np=90°，例如图1,则BECF,EF\BE-AF\.（填“〉”，

,“="）；

②若0°<NBCA<180°,且/[3+/2CA=180°,例如图2,①中的两个结论还成立吗？

并说明理由；

（2）如图3,若直线CD经过/BC4外部，且请直接写出线段EF、BE、

A尸的数量关系（不需要证明）.

CAF,推出BE=CF,CE=A尸即可；②求出NBEC=/AFC,/CBE=NACF,根据A4s

ffiABCE^AC/lF,推出BE=C/，CE=4/即可；

(2)求出NBEC=NABC,ZCBE=ZACF,MA4SiiEABCE^ACAF,推出BE=CR

CE=AF即可.

E点在尸点的左侧，

'：BE±CD,AFLCD,NAC2=90°,

AZBEC=ZAFC=90°,

AZBCE+ZACF=90°,ZCBE+ZBCE=90°,

：.ZCBE=ZACF,

在△BCE和△CAF中，

NEBC=Z.ACF

乙BEC=^AFC,

BC=AC

.,.△BCEWACAF(A4S),

:.BE=CF,CE=AF,

；.EF=CF-CE=BE-AF,

当E在尸的右侧时，同理可证EF=AF-2E,

：.EF=\BE-AF\；

故答案为=,=.

②：①中两个结论仍然成立；

证明：如图2,

图2

•：/BEC=NCFA=/a,Za+ZACB=180°,

：./CBE=ZACFf

在△BCE和△CA/中，

2EBC=^ACF

乙BEC=Z.AFC,

BC=AC

•・•△BCE四△CA尸（A4S）,

；・BE=CF,CE=AF,

：.EF=CF-CE=BE-AF,

当月在尸的右侧时，如图3,

同理可证石尸=人尸-38,

：.EF=\BE-AF\；

(2)EF=BE+AF.

理由是：如图4,

ZBEC=ZCFA=ZafZa=ZBCA9

XVZEBC+ZBCE+ZBEC=180°,ZBCE+ZACF+ZACB=1SO°,

工ZEBC+ZBCE=NBCE+/ACF,

：.ZEBC=ZACF,

在△BEC和△CE4中，

2EBC=/-ACF

乙BEC=乙4FC,

、BC=AC

.♦.△BEgACFA(AAS),

：.AF=CE,BE=CF,

"：EF=CE+CF,

:.EF=BE+AF.

【变式4-3](2022•余杭区月考)如图①，点、B、C在NM4N的边AM、AN上，点E,F

在/M4N内部的射线上，ZKN2分别是△ABE、的外角.已知AB=AC,

Z1=Z2=ZBAC.求证：AABE沿4CAF.

应用：如图②，在△ABC中，AB^AC,点。在边3c上，且C£)=2B。，点、E,

B在线段上.Z1=Z2=ZBAC,若△ABC的面积为15,求△ABE与△CDF的面积

之和.

(2)由“ASA”可证△ABEgZXCAF,由全等三角形的性质可得以ABE=SMAF，由三角形

的面积关系可求解.

【解答】证明：(1),.•/1=N2=N2AC,S.Z1=ZBAE+ZABE,Z2=ZFAC+ZFCA,

NBAC=ZBAE+ZFAC,

：.ZBAE=ZFCA,ZABE=ZFAC,S.AB=AC,

.♦.△ABE怂△CAP(ASA)

(2)VZ1=Z2=ZBAC,且N1=NBAE+/ABE,Z2=ZFAC+ZFCA,ZBAC=Z

BAE+ZFAC,

：.ZBAE=ZFCA,ZABE=ZFAC,且AB=AC,

.♦.△ABE丝△CAF(ASA)

SAABE—SACAFJ

\'CD=2BD,ZVIBC的面积为15,

S^ACD—10—S^ABE^~S^CDF-

〃知识点5倍长中线模型模型】

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍

长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全

等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.

【常见模型】

/Dc

B'、；DC

F

【题型5倍长中线模型】

【例5】(2022秋•博兴县期末)如图，2。是△ABC的中线，AB=6,BC=4,求中线

的取值范围.

【分析】延长8。到E,使DE=BD,证明两边之和大于BE=2B。，两边之差小于

2BD,证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得

【解答】解:如图所示，延长BD到£,使DE=BD,连接AE,

：3。是△ABC的中线，

：.AD=CD,

在△ADE和△CD8中，

AD=CD

^ADE=乙CDB,

、BD=ED

.,.△ADE2ACDB(SAS),

：.AE=BC,

在△ABE中，有AB-AE<BE<AB+AE,

即2<2BD<10,

/.1<BD<5.

【变式5-1］（2022•涪城区校级月考）如图，在△ABC中，。是BC边的中点，E是上

一点，BE=AC,BE的延长线交AC于尸，求证：ZAEF^ZEAF.

【分析】延长AD到G使。G=A。，连接BG,通过△ACD四△GM,根据全等三角形的

性质得到NCAD=/G,AC=BG,等量代换得到B£=BG,由等腰三角形的性质得到/

G=NBEG,即可得到结论.

【解答】解：如图，延长AO到G使。G=A。，连接BG,

在△ACQ与△G8D中，

CD=BD

^ADC=Z.BDG,

AD=DG

.,.△ACDWAGBD,

：.ZCAD=ZG,AC=BG,

\'BE=AC,

：.BE=BG,

：.ZG=ZBEG,

/BEG=NAEF,

：.ZAEF=ZEAF.

、'；G

【变式5-2](2022•流水县校级模拟)(1)在△ABC中，为△ABC的中线，AB=6,

AC=4,则AD的取值范围是1<4£><5；

(2)如图，在△ABC4J,为△ABC的中线，点E在中线AD上，且BE=AC,连接

并延长BE交AC于点?求证：AF=FE.

【分析】(1)延长A£>到E,使£>E=A£>,连接BE,利用“边角边”证明△ACD和4

EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AC,再利用三角形的任意两边之和大

于第三边，任意两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后求解即可.

(2)延长AO到点G,使DG=DE,连接CG.证明△BOEgaCDG(SAS).由全等三

角形的性质可得出BE=CG,ZBED=ZG.得出/G=NG4C,ZAEF=ZGAC,则可

得出结论.

【解答】(1)解：如图，延长到E,使D£=A£>,连接BE,

：A£>为△ABC的中线，

：.BD=CD,

在△AC£)和△E2O中，

DE=AD

Z.ADC=乙EDB,

BD=CD

:•△ACD/XEBD(SAS),

：.BE=AC,

由三角形三边关系得，6-4VAEV6+4,

即2VAE<10,

：.1<AD<5,

故答案为：1<AO<5.

(2)证明，延长AD到点G,使r>G=DE,连接CG.

是中线，

：.BD=DC.

在和△CDG中，

BD=CD

Z.BDE=乙CDG,

DE=DG

:•△BDE/LCDG(SAS).

：.BE=CG,ZBED=ZG.

•・•/AEF=/BFD,

：.ZAEF=ZG.

•；BE=AC,

：.AC=CG,

：.ZG=ZGAC,

：.ZAFE=ZGAC,

：.AE=EF.

、»

、:E

【变式5-3](2022•丹阳市期中)八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验

活动，请你和他们一起活动吧.

【探究与发现】

(1)如图1,是△ABC的中线，延长至点E,使ED=A。，连接BE,写出图中

全等的两个三角形

【理解与应用】

(2)填空：如图2,EP是△。所的中线，若EF=5,DE=3,设£2=无，则x的取值范

围是•

(3)已知：如图3,是△ABC的中线，NA4C=NAC8,点。在BC的延长线上，

QC=BC,求证：AQ=2AD.

▲飞

B〈今、^―

图1图2图3

E

【分析】(1)根据全等三角形的判定即可得到结论；

(2)延长EP至点0,使尸。=PE,连接为2,根据全等三角形的性质得到尸。=DE=3,

根据三角形的三边关系即可得到结论；

(3)延长到M,使M£)=A£),连接于是得到AM=24。由已知条件得到

CD,根据全等三角形的性质得到BM=CA,ZM=ZCAD,于是得到NBAC=/BAM+

ZCAD=ZBAM+ZM,推出根据全等三角形的性质即可得到结论.

【解答】(1)证明：在△ADC与△E£)B中，

AD=DE

/.ADC=乙BDE,

,CD=BD

：.AADC咨AEDB；

故答案为：AADCWAEDB；

(2)解：如图2,延长EP至点。，使尸。=PE,连接产。

在△「£>£与△PQF中，

PE=PQ

/.EPD=Z.QPF,

PD=PF

：.APEP<AQFP,

：.FQ=DE=3,

在△Ef'Q中，E尸-FQ<QE<EF+FQ,

即5-3<2r<5+3,

；.无的取值范围是l<x<4；

故答案为：l<x<4；

(3)证明：如图3,延长A。到M,MD=AD,连接

：.AM=2AD,

：AD是△ABC的中线，

:,BD=CD,

在与△G4Z）中，

MD=AD

Z-BDA="DA,

、BD=CD

：.丝△CAO,

：.BM=CA,/M=NCAD,

J/BAC=/BAM+/CAD=/BAM+/M,

VZACB=ZQ+ZCAQfAB=BC,

VZACQ=180°-（NQ+NCA。）,ZMBA=18O°-（/BAM+/M）,

/.ZACQ=ZMBA.

,:QC=BC,

：.QC=ABf

在△ACQ与△"版1中，

EM=CA

乙4“=^MBA,

、QC=AB

：.AACg^AMBA,

：.AQ=AM^2AD.

图2

f【知识点6截长补短模型】

【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长，指在长线段中截取一

段等于已知线段;补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段.该类题目中常出现等腰三

角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程

［【题型6截长补短模型】

【例6】（2022秋•西岗区期末）阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1,在△ABC中，4。平分NBAC,NABC=2NC.求证：AC=AB+BD；

小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：

方法一：如图2,在AC上截取AE,使得AE=AB,连接。E,可以得到全等三角形，进

而解决问题.

方法二：如图3,延长到点£,使得BE=BD,连接DE,可以得到等腰三角形，进而

解决问题.

(1)根据阅读材料，任选一种方法证明根据自己的解题经验或参考小明

的方法，解决下面的问题；

(2)如图4,四边形A8CD中，E是BC上一点，EA=ED,ZDCB=2ZB,ZDAE+Z

8=90°,探究。C、CE、BE之间的数量关系，并证明.

【分析】(1)根据全等三角形的判定求出△ABOgZXAE。，根据全等三角形的性质得出

BD=ED,NAED=NB=2/C,求出EO=EC,BD=EC,即可得出答案；

(2)在上截取EF使得所=DC,连接AR求出根据全等三角

形的判定得出尸名△EOC,根据全等三角形的性质得出EC=AF/AFE=/C=2/B,

求出NAB产推出即可得出答案.

【解答】(1)证明：方法一：..工。平分/BAC,

ZBAD=ZCAD,

在ABAD和△£/1£)中

AD=AD

Z.BAD=Z.EAD

.AB=AE

：.^ABD^/\AED(SAS)

：.BD=ED,ZAED=ZB=2ZC,

'：NAED=NC+NEDC,

：.ZEDC=ZC,

:.ED=EC,

：.BD=EC,

：.AC=AB+BD；

(2)DC、CE、BE之间的数量关系是BE=DC+CE,

D

A

BFEC

图4

证明：在班上截取跖，使得底=OC,连接AR

,:EA=ED,

:・/EAD=/EDA,

：.2ZDAE=180°-/AED,

VZDAE+ZB=90°,

：.2ZDAE+2ZB=180°,

I./AED=2/B=/C,

,?NBED=NCDE+NDAE,

：.NAEB=NCDE,

在△AEF和△&)(7中

EF=DC

^AEF=乙EDC

AE=DE

：.AAEF^AEDC(SAS),

JEC=AFZAFE=NC=2N3,

*//AFE=/B+NBAF,

NABF=NBAF,

：.BF=AF,

:・BF=CE,

：.BE=DC+CE.

【变式6-1](2022•薪春县期中)已知：如图，在△A3C中，ZABC=60°,AABC的角

平分线AO、CE交于点0.

求证：AC=AE+CD.

【分析】在AC上取Ab=AE,连接OR即可证得△AEO2ZkA尸O,^ZAOE=ZAOF；

再证得NCOF=/C。。，则根据全等三角形的判定方法AS4即可证也ADOC,可

得DC=FC,即可得结论.

【解答】证明：在AC上取AF=AE,连接。尸，

平分/BAC、

：.ZEAO=ZFAO,

在△AEO与△AFO中，

AE=AF

/.EAO=Z.FAO,

AO=AO

：.^AEO^/\AFO(.SAS),

：.ZAOE^ZAOF；

'：AD.CE分别平分/BAC、ZACB,

11-11

AZECA+ZDAC=-2ZACB+-2ZBAC=-2(Z2ACB+ZBAC)=-(180°-ZB)=60°,

则/AOC=180°-ZECA-ZDAC=120°；

AZAOC=ZDOE=120°,ZAOE=ZCOD=ZAOF=60°,

则/CO歹=60°,

：.ZCOD=ZCOF,