模拟检测卷02（理科）（解析版）2025年高考数学二轮复习（解析版）

2025年高考数学模拟考试卷2

高三数学（理科）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1,本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3,回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：高中全部知识点。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合

题目要求的.

1.已知集合/=yi^~211,8={x[-2<x<l},则Nc(l；8)=()

A.(-2,2)B.[-1,1]C.(-<»,-2]U[2,+<»)D.(-<»,-l)u(l,+oo)

【答案】C

【分析】解不等式得/=(-s,-l)U[2,+s),再根据集合运算求解即可.

【详解】解：因为二^21等价于三20,解得x<-l或x>2,

x+1x+1

所以4=(_oo,—l)U[2,+oo),

因为5={x|-2<x<l},

所以qB=(-oo,-2]u[i,+8),

所以ZC(QB)=(-oo,-2]U[2,+oo).

故选：C

7

2.已知复数Z满足Z+l=口,则Z在复平面内所对应的点是（）

1333

A.B.C.(-1,-1)D.

55555

【答案】B

【分析】根据复数的运算求出z,即可得出z在复平面内所对应的点.

2i+1（i+l）（i+2）13.

【详解】由Z+i=告，得z=-^=；。：一i,

1-11-2（1一2）（1+2）55

所以z在复平面内所对应的点是-力.

故选：B.

3.已知等比数列｛七｝的前〃项和为S“，若%+2%=0,邑=2,S.a<S„<a+2,则实数。的取值范围是

O

1

【答案】B

【分析】设等比数列｛%｝的公比为0,由％+2%=0,邑="，列方程求出为应，进而可求出S,，结合指

O

数函数的性质求出S"的最大、小值，列不等式组即可求出。的取值范围

【详解】解：设等比数列｛%｝的公比为9,

因为q+2出=0，

%(l+2q)=0

所以《,2、9，解得生=彳国=一彳,

a^l+q+q)=-22

、o

当X为正整数且奇数时，函数y=g)，+l单调递减,

当x为正整数且偶数时，函数y=-(；)*+1单调递增,

33

所以〃=1时，s〃取得最大值5,当〃=2时,s〃取得最小值;,

',3

Q<一a

所以4,，解得

324

。+2之一

I2

故选：B.

4.已知函数"X)的定义域为R,且/1+2)=2-/(无)，/(2-3无)为偶函数，若"0)=0,⑻=123,

k=l

则〃的值为()

A.117B.118C.122D.123

【答案】C

【分析】利用函数的奇偶性和周期性求解即可.

f/(x+2)+/(x)=2

【详解】由]二]”.解得〃x+4)=/(无)，即"X)是以4为周期的周期函数，所以

"(x+4)+/(x+2)=2

/(4)=/(0)=0,

因为〃2-3x)为偶函数，所以/(2-3x)=/(3尤+2)=>/(2-x)=/(2+x),当x=l时有/⑴=/'⑶，

又因为/。)+/(3)=2,所以/⑴=/(3)=1,

所以〃2)=2-〃0)=2,/(3)=2-/(1)=1,

120

所以£/⑻=30[/(1)+42)+/(3)+/(4)]=120,

左=1

120120122

所以£/伏)+/(121)+〃122)=£/伏)+〃1)+/(2)=122即■⑻=123,

左=1左=1k=\

故选：C

5.某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如

下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行

下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一

人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛

2

双方获胜的概率都为则()

A.甲获得冠军的概率最大B.甲比乙获得冠军的概率大

C.丙获得冠军的概率最大D.甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等

【答案】C

【分析】根据比赛进行的场次进行分类讨论，结合相互独立事件概率计算公式，求得甲、乙、丙三人获得

冠军的概率，从而确定正确答案.

【详解】根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，

(1)甲获得冠军有两种情况：

①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为(1)4=5

②共比赛五场结束，并且甲获得冠军.则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况：胜胜胜负胜，

胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为(1)5,(I)',(1)4,(I)",即」，2，」，3，

222232161616

因此，甲最终获得冠军的概率为人+L+上+上+上=工

163216161632

9

(2)乙获得冠军，与(1)同理，概率也为以；

(3)丙获得冠军，概率为1-白9-99=914=—7>9，

3232321632

由此可知丙获得冠军的概率最大，即A,B,D错误，C正确，

故选：C.

6.设双曲线=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为£,F,5为双曲线E上在第一象限内的点，

ab2

线段耳8与双曲线E相交于另一点/,的中点为且耳若//片鸟=30。，则双曲线E的离

心率为()

A.75B.2C.V3D.V2

【答案】D

【分析】连结连接/与、职.设闾=忸用=机，根据双曲线的定义可推得MB1=4°,即m=2。.进而在

直角三角形中，根据勾股定理可得优叫=，2〃-勿2.结合已知条件,即可得出°2=24，从而得出离心率.

如图，连接/入、BF2.

因为M为48的中点，F2M1AB,所以|/闾=忸阊.

设I/闾=忸用=机,

因为|力引一|4周=2°,所以周=机-2a.

又因为囱|T叫|=2a,所以阿|=加+2°,

则|/8|=|明卜|/月|=4-

因为M■为48的中点,所以,则阳根=加.

设的月|=2c,在Rt△片耳M中，\F2M\=J闺闾°-闺Af「=J4c2-/,

2

在RtAAF2M中，区叫=J叫2-|/时=萩-4a,

则J4c2—洗2=J加2—4/,整理可得加之=2/+2c?,所以优叫=，2<?2一二。.

3

当乙4片凡=30。时，sinZAFF?=」2cZ-a1」,则c2=2a?,

\FxFi\2c2

所以离心率为e=£=VL故选：D.

a

x-j^+3<0,

7.记不等式组x+y+140,的解集为。，现有下面四个命题：

x+3>0

p1:V（X,J）GD,2X-J^+8>0；p2:3（x,y）eD,x-2y+4>0；

23：V（x,y）£。，x+j+3>0；p4:3（x,y）eD,x+3j/-3<0.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

［答案］c

【分析】作出不等式组所表示的区域，再逐项的作出对应直线，观察所作直线与可行域的关系，再利用存

在命题与全称命题的概念进行判断即可求解.

【详解】不等式组的解集。表示的可行域如图中阴影部分所示，依据图（1）知命题4为真命题，依据图

（2）知命题,2为真命题，

故选：C.

8.已知随机变量。的分布列如下:

012

P2P,(1-P)A2

其中:1,2,若g<B<p<l,则（）A.E信）<E值）,D（3^+l）<D（3^2+l）B.E©）<E《），

。席+1）>。铝+1）

C.E（《）>E值），。（3。+1）<。（3^+1）D.E（4）>E⑥）,。（3。+1）>。（35+1）

【答案】B

【分析】由题知。~2（2,0），进而根据二项分布的期望与方差公式，方差的性质依次讨论各选项即可得

4

答案.

【详解】解：由表中数据可知。~巩2,以），

：.E（C=2B，D侑）=2p1l-p）,

又：g＜Pl＜02＜l，

E俗）＜E值），。（。）-。值）=2（01-02）-2（”2-h）=2（2-2）（1-0］一02）＞0，

侑）＞D㈤，。（34+1）=9。G）＞9。儡）=。（3刍+1）.

故选：B

9.在正方体/BCD-44中，点P在正方形8cq与内，且不在棱上，则正确的是（）

A.在正方形。CGA内一定存在一点Q,使得尸0L/C

B.在正方形DCG2内一定存在一点。，使得尸。〃/c

C.在正方形DCG2内一定存在一点0,使得NCL平面P0G

D.在正方形DCC］。］内一定存在一点。，使得平面P0Q〃平面4BC

【答案】A

【分析】对于A,找到特殊点，说明在正方形。CGQ内一定存在一点。，使得产。，/C可判断A；对于

B,通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断B；利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断C；

利用面面平行的性质推出矛盾，判断D.

【详解】对于A,假设P为正方形3CG用的中心，0为正方形DC£2的中心，

作尸〃，8C,QG，CD,垂足分别为〃，G,连接〃，G,

则尸“G。为矩形，

则尸。〃aG,且“，G为的中点，连接GH,BD,

'：AC1BD,：.GH1AC,即PQ_L/C,故A正确；

对于B,假设在正方形DCG。内存在一点。，使得尸0〃/C,

作尸EL8C,纱，CD,垂足分别为E,F,连接E尸，

则PEFQ为矩形，且E尸与/C相交，

/.PQ//EF,PQ〃AC,/.AC||EF,

这与4C,E尸相交矛盾，故B错误；

对于C,假设在正方形DCG2内一定存在一点0,使得平面PQG，

5

G

。©<=平面/>。e，则

又cc,nG0=G,GC,GOu平面ABCD，故GCj_/C,

而CG，平面/8C2NCU平面4BCD,故GCL/C,

而QCnG。=G,GC,G0u平面DCCQi,

故/C_L平面。CCQ1,

平面。CG。，故c,D重合，与题意不符，故c错误.

对于D,在正方形DC。。内一定存在一点。，使得平面PQG〃平面NBC,

由于平面ABCc平面DCCR=CD,平面PQQ口平面DCCR=C©,

CD//C.Q,而G2〃CZ）,

则。在GA上，这与题意矛盾，故D错误；

故选：A.

10.任意写出一个正整数加，并且按照以下的规律进行变换：如果机是个奇数，则下一步变成3加+1,如

果小是个偶数，则下一步变成3%,无论根是怎样一个数字，最终必进入循环圈1-4-2-1,这就是数

3a,+1,当%为奇数时

学史上著名的“冰雹猜想”.它可以表示为数列｛4｝：%=〃7（加为正整数），。用=1上4/田翔一，

5。,”当。“为偶数时

若%=2,则他的所有可能取值之和为（）

A.188B.190C.192D.201

【答案】B

【分析】列举出生一。2­。3-。4T'。5T'。6T'%的可能情况，可得出机的所有可能取值，相加即可得解.

【详解】由题意，％—。2-。3-。4-。5―。6—。7的可能情况有：

①2314—2—1—432；②16—8—4—2—1—432；

③20—10—5316—8—4—2；④3—10—5—16—8—432；

⑤128-64—32-16->8-4->2；@21->64->32-16->8-4-2；

所以，m的可能取值集合为｛2,16,20,3,128,21｝,m的所有可能取值之和为2+16+20+3+128+21=190.

故选：B.

11.函数〃x）=，5cos2x-4sinx+5-|3cos』的最大值为（）.

A.2A/2B.273C.2>/5D.3

【答案】D

【分析】利用三角函数的平方关系将/（x）转化为点尸到点45的距离之差，再利用三角形两边之差小于第

三边，结合三角函数的值域即可求得结果.

【详解】因为

5cos%-4sinx+5=9cos晨-4cos2x-4sinx+5=9cos2x+4sin2x-4sinx+1=（3cosx）2+（2sinx—1,

所以/（尤）=J5cos-4sinx+5-|3cosx|=^（3cosx）2+（2sinx-l）2-J（3cosx）~,

故/（x）的最大值转化为点尸（3cos尤,2sinx）到N（0,l）与B（0,2sin无）的距离之差的最大值，

因为-iWsinxWl,-2<-2sinx<2,-l<l-2sinx<3,

所以1P-|尸8区[48|=J（l_2sinx『=|l-2sinx|<3,

6

当且仅当sin尤=-I时，等号成立，则|我|-|尸8归3,

经检验，此时cosx=0,f(x)=^5x02-4x(-l)+5-13x0|=3,

所以〃x)V3,即/(x)的最大值为3.

故选：D.

12.设a=,b=—,c=2In—,贝!]()

(ej202

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>b>aD.a>b>c

【答案】A

【分析】构造函数f(x)=e-ex证明6>c,构造函数g(x)证明b八<《，构造函数4x)=lnx-处R证

310

明2In二>二，从而得结论.

【详解】令函数〃x)=e=ex,贝i)r(x)=ex-e,当尤<1时，/'(x)<0,当尤>1时，f'(x)>0,所以函

数/(X)在(-00,1)上单调递减，在(1,+⑹上单调递增，^/(%)>/(1)=0,当且仅当x=l时取等号，即

II1717173

ex>ex.所以e?。>一e>—x2.7=2.295>2.25,故一>ln2.25=21n—,即6>c.

2020202

令函数g(无)=e「x-l,x>0,则g<x)=eX-l>0,g(x)在(0,+的上单调递增，所以g(x)>e°-1=0,故

g(0.3)-e°3-0.3-l>0,即e>3>1.3,故摩晨古二普.

令函数〃(x)=lnx_2(xT),则1(尤)」_二^二(:T20,故当了>1时，。(力>〃(1)=0,所以

X+1无(X+1)X(X+1)

/、2x(2.25-l)310

/z2.25)=In2.25----------------^>0,P即12n1n->一,C所CH以Ic>a.

')2,25+1213

综上b>c>a.

故选：A.

【点睛】方法点睛：

构造函数比较大小主要方法有：

1.通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入

一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他们之间的大小关系。

2.通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函

数，然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系。有些时

候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围。

第II卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量2花满足忖=5,归-耳=6,B+@=4,则向量右在向量£上的投影为.

【答案】-1

【分析】由条件根据数量积的性质求e&W，再由向量的投影的定义求向量石在向量々上的投影.

【详解】：向量2]满足忖=5,口-.=6,|£+4=4,

卜一4=25+另一2a•石=36,卜+0=25+S+2。不=16£石=-5,|^|=1,

二向量3在向量Z上的投影为W，cos(a@=|年百+=昔=y=T,

故答案为：-1.

7

14.(x-2y)3(y-2z)5(z-2x)7的展开式中不含z的各项系数之和.

【答案】128

【分析】对每一个括号利用二项展开式的通项公式进行展开，展开后对每一项进行合并，合并后使得Z项

累次为0,确定项数后即可得到答案.

【详解】(x-2y)3(y-2z)5(z-2x)7利用二项展开式的通项公式进行展开，设(x-2y)'项为M(y筌,丫项

为〃，(z-2x)7项为加.

7m

展开后得C*3Y(_2了「《产"(_2z)"-C^-(-2z『对每一项进行合并得

C©C；(-2)M+"3"y-"+"z7-i,因为展开式中不含z,所以7-小+〃=0,又冽得取值为

{0,1,2,3,4,5,6,7},“得取值为{0,1,2,3,4,5},故得俏=7,〃=0.

代入展开式得C；C；C；(-2)7+rjy5+k=C2广七°-*产3又左得取值为{0」,2,3},分别带入后各项系数

之和为C®(-2)7+C；(一2)8+C；(-2)9+C；(一21=(一2)，+3-(—2『+3•(-2)9+(-2)'°=128.

故答案为：128

15.如图，在四面体/BCD中，AB=BC=AD=CD=4,AC=2,ZBCD=ZBAD=120°,则四面体/BCD

外接球的表面积为.

・小土、208兀208

【答案】——-7t

33

【分析】通过做图，做出△BCD,△/四的外心，则外接球球心为过外心的两平面垂线的交点，后利用

正余弦定理可得外接球半径.

【详解】如图1,取3。的中点E,由48=3C=4D=CD=4,

可得AEl.BD,CELBD,

又NBCD=NBAD=120°,

可得4E=CE=2,又4c=2,所以"CE为等边三角形.

因为CELBD,NEu平面/EC,CEu平面/EC,AEC\CE=E,则平面

如图2,延长/£至0,使得4£=。£,延长CE至尸，使得CE=PE,

4

由正弦定理，可得△BCD,△/助外接圆半径为--------=4,

2sin30°

乂AE=CE=2,AE=QE,CE=PE,则P为△BCD的外心，。为的外心，过点尸作平面BCD

的垂线，过点0作平面48。的垂线，

两垂线的交点。就是四面体N8CD外接球的球心.

连接OE,因尸£=QE,EO=EO,则/PEO=AQEONZPEO=30°,

l…)pj—--P--E-----2----4-

由依=故=2,NOEP=3。。，可得一cos30°一有—6，

2

4

则在△CME中，EA=2,OE=忑,ZOEA=150°,

452

由余弦定理0/2=22+-2x2xcos(150^=-

故四面体作。外接球的表面积为4”。心亭.故答案为：.

8

图2

【点睛】方法点睛：本题涉及求几何体的外接球的表面积，解决外接球问题有以下常见手段:

(1)侧棱与底面垂直的三棱锥，可将三棱锥补形为长方体或正方体；

(2)正棱锥外接球常用斤=e-及『+厂2解决问题，其中R为外接球半径，力为正棱锥高，r为底面外接圆

半径；

(3)侧面和底面呈一定角度的几何体，常利用过外心做平面垂线确定球心位置，后结合图像及正余弦定

理解决问题.

2

16.已知点尸是椭圆二+必=1(。＞1)的右焦点，点尸(0,3)到椭圆上的动点。的距离的最大值不超过2百，

a

当椭圆的离心率取到最大值时，则|尸0|+|。川的最大值等于.

【答案】3逝+2而##2厢+3行

【分析】设。(%,%),求得|尸的表达式，对。进行分类讨论，结合二次函数的性质、椭圆的定义来求得

|尸。|+|。尸|的最大值.

【详解】设。(%,%),则可+就=1,即一°2K且为

a

因为|尸。|=J寸+(%-3)2=J/一力了：+N：-6%+9=J(1-4y：-6%+9+/,

而”＞1,即I—＜0,

3

所以，当上方＜-1,即1＜。42时,

1-a

当为=-1时，|也取得最大值，|尸0仁=442遍.

又因为椭圆的离心率e因此当〃=2时，e最大.

设椭圆的左焦点为耳，则由-G，o),因此I尸。|+|"1=1尸。|+2"|0团=|尸0|-|04|+4,

所以当Q在咫的延长线上时，|尸。H。用取得最大值，

3

因此|尸。|+|。尸|的最大值为26+4.当白y＞T，即。＞2时,

1-。

当为=二时，间I取得最大值，间L=j一白+/+9,

由J一一^+/+942后解得24/<]0,BP2<a<V10•

V\-a

又因为椭圆的离心率ee最大.

设椭圆的左焦点为片，则片(-3,0),

因此1尸@+1例=1尸a+2*。用=|尸QTQ闻+访初

所以当。在期的延长线上时，|尸oH。匐取得最大值，

(同|-3IL=附1=J(-3)2+3?=3叵，

9

因此|尸。|+|。尸|的最大值为九5+2瓦.综上所述，I尸。|+|。尸|的最大值为3亚+2厢.

故答案为：3V2+2V10

【点睛】在椭圆有关线段和差的最值问题求解的过程中，可考虑利用椭圆的定义进行转换，从而求得最值.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考

生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.(12分)已知函数/(x)=Gsin(q+x)sin(工-x)+sinxcosx.

44

(1)求函数的最小正周期；

Ajr

(2)在AZSC中,若/(---)=1,求sinB+sinC的最大值.

【答案】(1)兀；⑵技

【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数八%),再利用正弦函数性质求出周期作答.

(2)由(1)中函数式求出Z,再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求解作答.

【详解】(1)依题意，/(x)=V3sin(—+x)sin[--(―+x)]+—sin2x=V3sin(—+x)cos(—+x)+—sin2x

4242442

A/3./兀c、1♦C1•c正c./C71

=——sin(—+2x)+—sin2x=—sin2x+——cos2x=sin(2x+-4，

222223

所以函数/(X)的周期为7=T=九

(2)由(1)知，/([■-?=sin[2g■-6+?=sin(N+*)=l，

在“3C中，0</<兀，^-<A+-<—,于是/+二=巴，解得/=?,则8+C==,

6666233

sin8+sinC=sin8+sin今——=COS5-H^sin5=-^sin5-H-^cosB/3sin(B晨，

显然。—<B+—<――,因此当B+；=即5=g时，(sinB+sinC)max=V3,

3666623

所以sin3+sinC的最大值为百.

18.（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个

零件，并测量其尺寸（单位：cm）做好记录.下表是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

抽取次序12345678

零件尺寸（cm）9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

抽取次序910111213141516

零件尺寸（cm）10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

116l~t_16I1/16AFl67

经计算得一记s=-寸=｛五［卫,-16天卜0.212,J£（I-8.5）句8.439,

16

X（西-可（'8.5）=-2.78,其中西为抽取的第i个零件的尺寸。=1,2,…,16）.

i=l

⑴求2,…,16）的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而

系统地变大或变小（若卜|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；

（2）一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在伍-3sM+3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产

过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

10

②在门-3s,元+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与

标准差.（精确到0.01）

【答案】（1"=一0.18；可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小

（2）①需对当天的生产过程进行检查；②均值的估计值为10.02cm,标准差的估计值为0.09cm.

【分析】（1）将样本数据代入相关系数公式可求得-0.18,根据卜|<0.25可得结论；

（2）①计算出自-3s*+3s）对应数据，对比样本数据即可得到结论；

②剔除出数据后，重新计算出平均数和方差，由方差和标准差关系可得标准差.

16

£（X,.-X）（Z-8.5）_278

【详解】⑴由样本数据得相关系数：昌…J0212X—X18439…K

H<0.25，二可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.

（2）①•.•亍=9.97,svO.212,,-.x-35=9.334,x+35=10.606,

二抽取的第13个零件的尺寸在伍-3s,三+3s）以外，

•••需对当天的生产过程进行检查.

②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为\x（16x9.97-9.22）=10.02,

即这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02cm；

16

由S得：»16x0.2122+16X9.972«1591.134,

i=l

剔除第13个数据，乘IJ下数据的样本方差为《义（1591.134-9.22?-15*10.022卜0.008,

•••样本标准差为J0.008a0.09，

即这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.09cm.

19.（12分）如图，已知四棱锥P-/BCD,底面48CD为菱形，尸/，平面/BCD,ZABC=60°,E是

5c的中点.

⑵〃为尸D上的动点，即与平面刃。所成最大角的正切值为求异面直线尸8与4C所成的角的余弦

2

值.

V2

【答案】（1）证明见解析；（2）4.

【分析】（1）由已知条件推导出AABC为正三角形，从而得到AE1AD,再由PN_L平面48cD,

得到PALAE,由此能证明AE1平面PAD,进而证得结论；

（2）连接/H,EH,则NEH4为与平面尸4D所成的角，当/〃最短时，即当时，NEHA最

大.建立空间直角坐标系，求出而，就的坐标，利用空间向量夹角公式求解.

【详解】（1）由四边形为菱形，ZABC=60°,可得“3C为正三角形，

因为E为8C的中点，所以ZE18C,

又BCHAD,因此ZE_L月。，

因为P4_L平面48CD,/£u平面/BCD,所以

11

而平面BID,40u平面BID,PA（-\AD=A,

则4E_L平面尸/。，又尸Du平面B4。，

所以/E_LPD.

（2）设/B=2,连接/〃，EH,

由（1）知/E_L平面乃。，则NEH4为EH与平面所成的角,

因为N"u平面为。，所以4E_L/H.

所以在RtA£4〃中，AE=5

所以当最短时，即当尸。时，NEHA最大,此时tan/£9=*="=»,

AHAH2

因此=又4D=2,所以乙4DH=45。,所以尸/=2.

故以/为原点，NE所在直线为x轴，40所在直线为y轴，4P所在直线为z轴，建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(y/3,-1,0),C(1,0),P(0,0,2),

则PB=(V3,-l,-2),^C=(V3,l,0),

PB-AC2_V2

cos(PB,AC)=

\PB^AC\2亚x214

...异面直线PB与AC所成的角的余弦值也.

4

20.（12分）已知直线x+2尸2=0过抛物线C:/=2勿（0>0）的焦点.

（1）求抛物线C的方程；

（2）动点/在抛物线C的准线上，过点/作抛物线C的两条切线分别交x轴于M,N两点，当A/MN的面

积是且时，求点/的坐标.

2

【答案】（1»2=4了（2），（1,-1）或（T,T）

【分析】（1）求出焦点坐标为（0,1）,从而得到"2,求出抛物线方程;

（2）设出过点工的抛物线的切线方程设为y=-l+Mx-M，与抛物线方程联立，根据A=0得

到1642一16机上-16=0,设过点/的抛物线的两条切线方程的斜率分别为左，左2,求出左+e=加，后色=-1，

表达出|〃^=归-引=隹-匕|，S—fm』,列出方程乙4+4=、,求出加=±1,得到点/的坐

222

标.

【详解】（1）x+2>—2=0中令％=0得：>=1,

故焦点坐标为（0,1）,故5=1，解得：。=2,故抛物线方程为V=4y；

（2）抛物线准线方程为：y=-l,

设/（私-1）,过点/的抛物线的切线方程设为y=-l+M尤-加），

联立一二外得：x2-4kx+4km+4=0,

由A=16k2—16坂l-16=0,设过点4的抛物线的两条切线方程的斜率分别为左，左2,

由[k[+左2=m,k[k2=—1f

令y=-1+左（x—冽）中，令>=0得：x=—+m,

12

八111

i^\MN\=\xl-x2\^--r=^rr-=|月一勺I,

不妨设甬=—+m,x2=—+m

4142/v^/v2/v|

则S.AMN=；|ACV|x1=-储卜［Jh+3)2-纸自=”7-4=—，

乙乙4乙乙

解得：m=+l,故点/的坐标为』(1,-1)或(-1,-1).

【点睛】已知抛物线方程r=2/，点工优,为)为抛物线上一点，则过点/伉,%)的抛物线切线方程为

yoy=p(x+xo),

若点/(看,%)在抛物线外一点，过点/(x。,%)作抛物线的两条切线，切点弦方程为为y=P(x+%).

21.(12分)已知函数/(x)=xlnx和g(x)=6(x-6)0>0)有相同的最小值.

⑴求6的值；

⑵设〃(x)=/(x)+g(x),方程曲月=俏有两个不相等的实根不，巧，求证:五等>[

一2e

4

【答案】(1)6=-(2)证明见解析

e

【分析】(1)由二次函数的性质可得g(x)1mli=-t,利用导数可得/(".=/(0)=-「，再根据两函数的

最小值相同，求解即可；

(2)令"(x)=〃(x),利用导数确定"(X)即"(x)在(0,+司上单调递增，由零点存在定理可得叫3,

使〃(％)=0,由题意可设。<再<与<%<1,G(x)=/z(x)-A(2xo-x)(O<x<xo),利用导数可得G(x)是减

函数，即可得”(再)>//(2尤0-西)，再由〃(x)在(%,+⑹上的单调性即可得证.

【详解】(1)解：g(x)=b[x-4x^=b-

所以g(x)mm=g]£|=V；

函数“X)的定义域为(O,+e),f，(x)=lnx+l,

，1

令/'(x)<0,解得0<x<eLf(^)>0^x>e-,

所以〃x)在(0,「)上单调递减，在(厂,+句上单调递增.

所以〃x)mm=/(eT)=-]

因为函数/(x)=knx和8(%)=6卜-4)伍>0)有相同的最小值，

所以_§=一「

4

4

即八一；

e

(2)证明：/z(x)=xlnx+—,

"(x)=lnx+l+V

ii_3

令〃(x)="(x),MH'(x)=-+-X2>0,

所以〃(x)即“⑺在(0,+功上单调递增，

13

所以二O使”伉）=0,

于是〃（无）在（O,x0）上单调递减，在（%,+⑹上单调递增.

又入⑴=0,当%趋于0时，趋于0,

则当XE（0,1）时，A（x）<0

方程"（％）=冽有两个不相等的实根根A，巧,

不妨设0<再</<%<L

设G（x）=—力（2%-x）（0<x<x0）,

1

贝ljG，（x）=+"（2%-x）=lnx+

2^12^—xj

4

由h'（x。）=0即InX。+14—1

e

24

得M寸丽T工

22

并代入上式，得G<x）<2+2+^=C

eHe

所以G（x）是减函数，

G（再）>G%-〃（2%o-%）=0,

即〃（再）>/z（2%o—芭），

又由题意〃（再）=%（%2）,得〃（%2）〉〃（2%0-国），

而2%0-％1>%0，且%（x）在（%,+00）上单调递增,

所以％2>2%-玉,

即X]+12>2%,

又'

,,X+x1

故9>/.

【点睛】方法点睛：有关函数的单调性的问题,借助于导数进行确定；关于不等式恒成立问题，转化为函

数的最值问题进行解答.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

/、[x=2+2cos