四川省凉山州2024年中考数学最后一模试卷（含解析）

四川省凉山州重点名校2024年中考数学最后一模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.下列运算正确的是（）

112

A.5ab-ab=4B.a6-j-a2=a4C.—+—=------D.（a2b）3=a5b3

aba+b

2.直线AB、CD相交于点O,射线OM平分NAOD,点P在射线OM上（点P与点O不重合），如果以点P为圆

心的圆与直线AB相离，那么圆P与直线CD的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.不确定

3.二次函数y=ax2+fcr+c（a#0）的图象如图，下列结论正确的是（）

b

A.a<0B.b24acv0C.当lvx<3时,j>0D.〃—=1

la

4.下列运算正确的是（）

A.a3«a2=a6B.（a2）3=a5C.也=3D.2+J5=275

5.已知矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E为BC的中点，以点B为圆心，BA的长为半径画圆，交BC于点F,再

以点C为圆心，CE的长为半径画圆，交CD于点G,贝（1SI-S2=（）

AD

m

BEFC

13913

A.6B.6H-----71C.12--7tD.12-—7t

444

6.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形与小正方形的边

长之比是2：1,若随机在大正方形及其内部区域投针，则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是（）

A.0.2B.0.25C.0.4D.0.5

7.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等.交易其

一，金轻十三两.问金、银一枚各重几何？意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银

11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等.两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）.问

黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重”两，每枚白银重y两，根据题意得（）

llx=9y

A.《

(lOy+%)—(8x+y)=13

10y+%=8x+y

B.<

9x+13=lly

9x=lly

C.1

(8x+y)-(10y+x)=13

9x=lly

D.{

(10y+x)-(8x+y)=13

8.下列事件中为必然事件的是（）

A.打开电视机，正在播放茂名新闻B.早晨的太阳从东方升起

C.随机掷一枚硬币，落地后正面朝上D.下雨后，天空出现彩虹

9.在一个口袋中有4个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,随机地摸出一个小球然后放回，再随机地

摸出一个小球.则两次摸出的小球的标号的和等于6的概率为（)

113£

A.B.-C.—D.

168164

3x+2>5

不等式组〈

10.<C1的解在数轴上表示为（）

5—2x21

A.B.,C.

01012012

D.

012

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.已知扇形的弧长为万，圆心角为45。，则扇形半径为

12.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,点D是AB的中点，点E在边AC上，将AADE沿DE翻折,

使点A落在点A，处，当AELAC时，A，B=

B

13.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.2〃z,测得AB=1.6m,BC=12.4m，则建筑物CD的高是

2

14.如图，点M是反比例函数y=—（x>0）图像上任意一点，MNLy轴于N,点P是x轴上的动点，则△MNP的

15.如图，在△ABC中，NACB=90。，NA=45。，CD_LAB于点D,点P在线段DB上，若AP2-PB2=48,贝！I△PCD

的面积为一.

16.若直角三角形两边分别为6和8,则它内切圆的半径为.

17.如果2（%+兄）=6+无，那么=（用向量），石表示向量［）.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，已知NABC=90。，AB=BC.直线I与以BC为直径的圆。相切于点C.点F是圆O上异于B、C

的动点，直线BF与1相交于点E,过点F作AF的垂线交直线BC于点D.

A

E

如果BE=15,CE=9,求EF的长；证明：©ACDF^ABAF；®CD=CE；探求动点F在什

么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=J^CD,请说明你的理由.

19.（5分）为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费.若用户的月用水

量不超过15吨，每吨收水费4元；用户的月用水量超过15吨，超过15吨的部分，按每吨6元收费.

（I）根据题意，填写下表：

月用水量（吨/户）41016...

应收水费（元/户）

-----:—40:--------------...

（II）设一户居民的月用水量为x吨，应收水费」y元，写出y关于x的函数关系式；

（III）已知用户甲上个月比用户乙多用水6吨，两户共收水费126元，求他们上个月分别用水多少吨？

20.（8分）某种商品每天的销售利润y元，销售单价X元，间满足函数关系式：y=-X+bx+c,其图象如图所示.

（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？

（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于21元？

21.（10分）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次

用字母A,B,C表示这三个材料），将A,B,C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在

桌面上，比赛时小礼先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小智从中随机抽取一张卡片，他俩按

各自抽取的内容进行诵读比赛.小礼诵读《论语》的概率是；（直接写出答案）请用列表或画树状图的方法求

他俩诵读两个不同材料的概率.

22.（10分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直

角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下

如图（1）NDAB=90。，求证：a2+b2=c2

证明：连接DB,过点D作DFLBC交BC的延长线于点F,则DF=b-a

121

四边彩

SADCB=SAADC+SAABC=--b-+—ab

11

=C2

S四边彩ADCB=S8AoB+S“BCD~+~a（Jj-Cl）

1111

：.-b29+-ab=-c92+-a（b-a）化简得：a2+b2=c2

2222

请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明，如图（2）中NDAB=90。，求证：a2+b2=c2

23.（12分）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共

需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元求甲、乙型号手机每部进价为多少

元？该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两部手机共

20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案售出一部甲种型号手机，利润率为40%,乙型号手机的售价为1280

元.为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金机元，而甲型号手机售价不变，要使⑵中所有方案获

利相同，求机的值

24.（14分）如图，5。是菱形ABC。的对角线，NCB£>=75°,（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线EE,

垂足为E,交AQ于歹；（不要求写作法，保留作图痕迹）在（1）条件下，连接BE,求ND5尸的度数.

AB

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

根据同底数塞的除法，合并同类项，积的乘方的运算法则进行逐一运算即可.

【详解】

解：A、5ab-ab=4ab,此选项运算错误，

B、a64-a2=a4,此选项运算正确，

C、1+1=£±^；选项运算错误，

abab

D、（a2b）3=a6b3,此选项运算错误，

故选B.

【点睛】

此题考查了同底数塞的除法，合并同类项，积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

2、A

【解析】

根据角平分线的性质和点与直线的位置关系解答即可.

【详解】

解：如图所示；

YOM平分NAOD,以点P为圆心的圆与直线AB相离，

:.以点P为圆心的圆与直线CD相离，

故选：A.

【点睛】

此题考查直线与圆的位置关系，关键是根据角平分线的性质解答.

3、D

【解析】

试题分析：根据二次函数的图象和性质进行判断即可.

解：•.•抛物线开口向上，

・♦a>0

，A选项错误，

抛物线与x轴有两个交点，

•*.b1—4ac>0

；.B选项错误，

由图象可知，当一l<x<3时，j<0

.••c选项错误，

由抛物线的轴对称性及与x轴的两个交点分别为（-1,0）和（3,0）可知对称轴为x=l

即-？=1，

ZZJ

；.D选项正确，

故选D.

4、C

【解析】

结合选项分别进行塞的乘方和积的乘方、同底数塞的乘法、实数的运算等运算，然后选择正确选项.

【详解】

解：A.a3a2=a5,原式计算错误，故本选项错误；

B.（a2）3=a6,原式计算错误，故本选项错误；

C.79=3,原式计算正确，故本选项正确；

D.2和火不是同类项，不能合并，故本选项错误.

故选C.

【点睛】

本题考查了塞的乘方与积的乘方，实数的运算，同底数塞的乘法，解题的关键是骞的运算法则.

5、D

【解析】

根据题意可得到CE=2,然后根据S1-S2=S矩形ABCD-S扇形ABF-S扇形GCE,即可得到答案

【详解】

解：•；BC=4,E为BC的中点，

；.CE=2,

90•^x3290*^x2213i

ASi-S=3X4--12

2360360-------------4

故选D.

【点睛】

此题考查扇形面积的计算，矩形的性质及面积的计算.

6、B

【解析】

设大正方形边长为2,则小正方形边长为1,所以大正方形面积为4,小正方形面积为1,则针孔扎到小正方形（阴影

部分）的概率是0.1.

【详解】

解：设大正方形边长为2,则小正方形边长为1,

因为面积比是相似比的平方，

所以大正方形面积为4,小正方形面积为1,

则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是工=0.25；

4

故选:B.

【点睛】

本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事

件A的概率尸（A）=一.

n

7、D

【解析】

根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的

重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可.

【详解】

设每枚黄金重x两，每枚白银重y两,

9x=lly

由题意得：＜

(10y+x)~(8x+y)=13'

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.

8、B

【解析】

分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件：

A、打开电视机，正在播放茂名新闻，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故本选项错误;

B、早晨的太阳从东方升起，是必然事件，故本选项正确；

C、随机掷一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能背面朝上，故本选项错误；

D、下雨后，天空出现彩虹，可能发生，也可能不发生，故本选项错误.

故选B.

9、C

【解析】

列举出所有情况，看两次摸出的小球的标号的和等于6的情况数占总情况数的多少即可.

解：

16

故选c.

10、C

【解析】

先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法.

【详解】

解：由不等式①，得3x>5-2,解得X>1,

由不等式②，得-2x^15解得烂2,

.•.数轴表示的正确方法为C.

故选C.

【点睛】

考核知识点：解不等式组.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、1

【解析】

根据弧长公式上吧代入求解即可.

180

【详解】

解：•门=黑,

180

1801)

r=------=4.

n兀

故答案为1.

【点睛】

本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：上n旦jrr.

180

12、0或7后

【解析】

分两种情况：

①如图1,作辅助线，构建矩形，先由勾股定理求斜边AB=10,由中点的定义求出AD和BD的长，证明四边形HFGB

是矩形，根据同角的三角函数列式可以求DG和DF的长,并由翻折的性质得：NDA，E=NA,A，D=AD=5,由矩形性质和

勾股定理可以得出结论:A'B=V2；

②如图2,作辅助线，构建矩形A'MNF,同理可以求出A'B的长.

【详解】

解：分两种情况:

如图1,

过D作DG_LBC与G交A，E与F,过B作BH±A'E与H,

D为AB的中点,二BD=-AB=AD,

2

,/NC=90",AC=8,BC=6,.〔AB=10,

BD=AD=5,

DGACDG8

sinNABC=-----=------,------=—

BDAB510

DG=4,

由翻折得：ZDA'E=ZA,A'D=AD=5,

BCDF

••sinZDA'E=sinNA=-----=-------.

ABA'D

6DF.

——-----••DF=3,

10A5

..FG=4-3=1,

YAE±AC,BC±AC,

.AE//BC,..ZHFG+ZDGB=180%

•・•ZDGB=90%--ZHFG=90%-，«ZEHB=90%

四边形HFGB是矩形，

BH=FG=1,

同理得:A'E=AE=8-1=7,

A'H=A'E-EH=7-6=1,

在RtAAHB中，由勾股定理得:A'B=五+p=".

过D作MN//AC,交BC与于N,过A，作A'F//AC,交BC的延长线于F,延长A'E交直线DN于M,vA'ElAC,二A'

M±MN,A'E_LA'F,

ZM=ZMA'F=90°,vZACB=90°,

ZF=ZACB=90°,

四边形MA'FN臬矩形，

MN=A'F,FN=A'M,

由翻折得:A，D=AD=5,RtAA'MD中,DM=3,A，M=4,

FN=A'M=4,

RtABDN中,BD=5,，DN=4,BN=3,

A'F=MN=DM+DN=3+4=7,

BF=BN+FN=3+4=7,

RtAABF中，由勾股定理得:A，B=厅万=70；

综上所述,A，B的长为0或70.

故答案为:、历或7行.

【点睛】

本题主要考查三角形翻转后的性质，注意不同的情况需分情况讨论.

13、10.5

【解析】

先证AAE5s△A3C,再利用相似的性质即可求出答案.

【详解】

解：由题可知，BELAC,DC±AC

,:BEHDC,

:.△AEBs/\ADC,

.BEAB

••二,

CDAC

：.CD=10.5(m).

故答案为10.5.

【点睛】

本题考查了相似的判定和性质.利用相似的性质列出含所求边的比例式是解题的关键.

14、A

【解析】

可以设出M的坐标，△肱VP的面积即可利用M的坐标表示，据此即可求解.

【详解】

设M的坐标是则mn=2.

则MN=m,4MNP的MN边上的高等于n.

则&MNP的面积=—mn=\.

2

故选A.

【点睛】

考查反比例函数系数k的几何意义，是常考点，需要学生熟练掌握.

15、6

【解析】

根据等角对等边，可得AC=BC,由等腰三角形的“三线合一”可得AD=BD=《AB,利用直角三角形斜边的中线等于斜

2

边的一半，可得CD='AB,由AP2-PB2=48,利用平方差公式及线段的和差公式将其变形可得CD・PD=12,利用APCD

2

的面积=,CD・PD可得.

2

【详解】

解：V在△ABC中，ZACB=90°,ZA=45°,

；./B=45°,

.\AC=BC,

VCD1AB,

1

；.AD=BD=CD=-AB,

2

VAP2-PB2=48,

/.(AP+PB)(AP-PB)=48,

:.AB(AD+PD-BD+DP)=48,

/.AB-2PD=48,

.,.2CD-2PD=48,

/.CDPD=12,

/.APCD的面积=^CD-PD=6.

2

故答案为6.

【点睛】

此题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题关键在于利用等腰三角形的“三线合一

16、2或J7-1

【解析】

根据已知题意，求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求出另一边的长，

再根据内切圆半径公式求解即可.

【详解】

若8是直角边，则该三角形的斜边的长为：病许=10，

二内切圆的半径为：6+8：10=2；

2

若8是斜边，则该三角形的另一条直角边的长为：居百=2币,

・・・内切圆的半径为：6+2，^二凤］.

2

故答案为2或J7-1.

【点睛】

本题考查了勾股定理，三角形的内切圆，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键.

17、b-2a

【解析】

•；2(a+x)=B++2%=B+x,二x=B-2.,

故答案为b-2a-

点睛:本题看成平面向量、一元一次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题.

三、解答题(共7小题，满分69分)

272

18、(1)—(2)证明见解析(3)F在直径BC下方的圆弧上，且BF=—BC

53

【解析】

(1)由直线1与以BC为直径的圆O相切于点C,即可得NBCE=90。，ZBFC=ZCFE=90°,则可证得^CEF<^ABEC,

然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长；

(2)①由NFCD+NFBC=90。，ZABF+ZFBC=90°,根据同角的余角相等，即可得NABF=NFCD,同理可得

ZAFB=ZCFD,贝！|可证得△CDF^ABAF；

②由ACDFS/\BAF与△CEFsaBCF,根据相似三角形的对应边成比例，易证得三=0,又由AB=BC,即可

BABC

证得CD=CE；

(3)由CE=CD,可得BC="CD=73CE,然后在RtABCE中，求得tan/CBE的值，即可求得NCBE的度数，

则可得F在。O的下半圆上，且

3

【详解】

(1)解：•••直线I与以BC为直径的圆O相切于点C.

.\ZBCE=90°,

又•；BC为直径，

:.ZBFC=ZCFE=90°,

VZFEC=ZCEB,

/.△CEF^ABEC,

.CEEF

••—9

BECE

VBE=15,CE=9s

解得：EF=q~；

(2)证明：®VZFCD+ZFBC=90°,ZABF+ZFBC=90°,

，ZABF=ZFCD,

同理：/AFB=NCFD,

/.△CDF^ABAF；

②•.•△CDFS/\BAF,

.CFCD

••—f

BFBA

XVZFCE=ZCBF,ZBFC=ZCFE=90°,

/.△CEF^ABCF,

.CFCE

••—f

BFBC

.CDCE

••—9

BABC

又；AB=BC,

.,.CE=CD；

⑶解：VCE=CD,

.\BC=V3CD=V3CE,

CE

在RtABCE中，tanZCBE=—=

BC

.\ZCBE=30°,

故CT为60。，

2

；.F在直径BC下方的圆弧上，且BF=—BC.

3

【点睛】

考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识.此题综合性很强，解

题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.

19、(I)16；66；(II)当烂15时，y=4x；当x>15时，y=6x-30；(III)居民甲上月用水量为18吨，居民乙用水

12吨

【解析】

(I)根据题意计算即可；

(II)根据分段函数解答即可；

(in)根据题意，可以分段利用方程或方程组解决用水量问题.

【详解】

解：(I)当月用水量为4吨时，应收水费=4x4=16元；

当月用水量为16吨时，应收水费=15x4+1x6=66元；

故答案为16；66；

(II)当x<15时,y=4x；

当x>15时，y=15x4+(x-15)x6=6x-30；

(in)设居民甲上月用水量为x吨，居民乙用水(x-6)吨.

由题意：X-6V15且X>15时，4(X-6)+15x4+(X-15)x6=126

X=18,

居民甲上月用水量为18吨，居民乙用水12吨.

【点睛】

本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题.注意在实际问题中，利用方程或方程组是

解决问题的常用方法.

20、(1)10,1；(2)8<x<12.

【解析】

(1)将点(5,0),(8,21)代入了=--+云+。中，求出函数解析式，再根据二次函数的性质求出最大值即可；

(2)求出对称轴为直线x=10,可知点(8,21)关于对称轴的对称点是(12,21),再根据图象判断出x的取值范围即可.

【详解】

解：(1)丁=一f+6小+。图象过点(5,0),(8,21),

--25+5Z?+c=0

-64+8b+c=21'

仿=20

解得ru

c=-75

y——%2+20x—75.

y=-x2+20x—75=-(x-10)2+25.

y=—Y+20x-75的顶点坐标为(10,25).

1<0,

二当龙=io时，y最大=i.

答：该商品的销售单价为io元时，每天的销售利润最大，最大利润为1元.

(2)•.•函数y=—V+20%-75图象的对称轴为直线尤=10,

可知点(8,21)关于对称轴的对称点是(12,21),

又•.•函数y=—f+20x—75图象开口向下，

.,.当8WE2时,”21.

答：销售单价不少于8元且不超过12元时，该种商品每天的销售利润不低于21元.

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉待定系数法以及二次函数的性质.

21、(1)—；(2)—.

33

【解析】

(1)利用概率公式直接计算即可；

(2)列举出所有情况，看小明和小亮诵读两个不同材料的情况数占总情况数的多少即可.

【详解】

(1)•.•诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》三种,

小明诵读《论语》的概率=！,

3

(2)列表得：

小明

ABc

小亮

A(A,A)(A,B)(A,C)

B(B,A)(B,B)(B,C)

C(C,A)(C,B)(C,C)

由表格可知，共有9种等可能性结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料结果有6种.

所以小明和小亮诵读两个不同材料的概率=[=：.

【点睛】

本题考查了用列表法或画树形图发球随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求

的情况数是解决本题的易错点.

22、见解析.

【解析】

首先连结BD,过点B作DE边上的高BF,贝！|BF=b-a,表示出S五边形ACBED,两者相等，整理即可得证.

【详解】

证明：连结BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a,

图2

・・1111

•S五边形ACBED=SAAC