2025届辽宁省沈阳市重点联合体高二数学第一学期期末质量检测试题含解析

2025届辽宁省沈阳市重点联合体高二数学第一学期期末质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，则的最小值为（）A. B.C. D.2．函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（）A.2 B.3C.4 D.53．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A. B.C. D.4．过抛物线的焦点作直线l，交抛物线与A、B两点，若线段中点的纵坐标为3，则等于（）A.10 B.8C.6 D.45．椭圆的焦点为、，上顶点为，若，则（）A B.C. D.6．下列说法或运算正确的是（）A.B.用反证法证明“一个三角形至少有两个锐角”时需设“一个三角形没有锐角”C.“，”的否定形式为“，”D.直线不可能与圆相切7．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则角所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．一物体做直线运动，其位移(单位:)与时间(单位:)的关系是，则该物体在时的瞬时速度是A. B.C. D.9．在平行六面体中，，，，则（）A. B.5C. D.310．已知函数对于任意的满足，其中是函数的导函数，则下列各式正确的是（）A. B.C. D.11．已知椭圆方程为，点在椭圆上，右焦点为F，过原点的直线与椭圆交于A，B两点，若，则椭圆的方程为（）A. B.C. D.12．已知函数，为的导数，则（）A.-1 B.1C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．等差数列的前n项和分别为，若对任意正整数n都有，则的值为___________.14．中国的西气东输工程把西部地区的资源优势变为经济优势，实现了天然气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为的峡谷拐入宽为的峡谷，如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点，的连线恰好经过拐角内侧顶点(点，，在同一水平面内)，设与较宽侧峡谷悬崖壁所成的角为，则的长为______(用表示).要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于______.15．已知为曲线：上一点，，，则的最小值为______16．甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则甲、乙两组数据的中位数是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，，其中.（1）求的值；（2）设（其中、为正整数），求的值.18．（12分）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为（1）求向量在基底下的坐标；（2）求向量在基底下的模19．（12分）设等差数列的前n项和为，已知（1）求数列通项公式；（2）设，数列的前n项和为．定义为不超过x的最大整数，例如．当时，求n的值20．（12分）函数.（1）当时，解不等式；（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.21．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，.（1）求证：平面PAD；（2）求直线AB与平面PCE所成角的正弦值；22．（10分）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点，其中点A在第一象限；（1）若直线的斜率为，求的值；（2）求线段的长度的最小值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】将代数式展开，然后利用基本不等式可求出该代数式的最小值.【详解】，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故选B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于中等题.2、C【解析】根据给定的导函数的图象，结合函数的极值的定义，即可求解.【详解】如图所示，设导函数的图象与轴的交点分别为，根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，可得为函数的极大值点，为函数的极小值点，所以函数极值点的个数为4个.故选：C.3、A【解析】函数在区间上单调递增，转化为导函数在该区间上大于等于0恒成立，进而求出结果.【详解】由题意得：在区间上恒成立，而，所以.故选：A4、B【解析】根据抛物线的定义求解【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，设，则，所以，故选：B5、C【解析】分析出为等边三角形，可得出，进而可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】在椭圆中，，，，如下图所示：因为椭圆的上顶点为点，焦点为、，所以，，为等边三角形，则，即，因此，.故选：C.6、D【解析】对于A：可以解决；对于B:“一个三角形至少由两个锐角”的反面是“只有一个锐角或没有锐角”；对于C：全称否定必须是全部否定；对于D：需要观察出所给直线是过定点的.【详解】A：，故错误；B：“一个三角形至少由两个锐角”的反面是“只有一个锐角或没有锐角”，所以用反证法时应假设只有一个锐角和没有锐角两种情况，故错误；C：的否定形式是，故错误；D：直线是过定点（-1，0），而圆，圆心为（2，0），半径为4，定点（-1，0）到圆心的距离为2-（-1）=3＜4，故定点在圆内，故正确；故选：D.7、D【解析】根据题意得出的符号，进而得到的象限.【详解】由题意，，所以在第四象限.故选：D.8、A【解析】先对求导，然后将代入导数式，可得出该物体在时的瞬时速度【详解】对求导，得，，因此，该物体在时的瞬时速度为，故选A【点睛】本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题9、B【解析】由，则结合已知条件及模长公式即可求解.【详解】解：，所以，所以，故选：B.10、C【解析】令，结合题意可得，利用导数讨论函数的单调性，进而得出，变形即可得出结果.【详解】令，则，又，所以，令，令，所以函数在上单调递减，在单调递增，所以，即，则.故选：C11、A【解析】根据椭圆的性质可得，则椭圆方程可求.【详解】由点在椭圆上得，由椭圆的对称性可得，则，故椭圆方程为.故选：A.12、B【解析】由导数的乘法法则救是导函数后可得结论【详解】解：由题意，，所以.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##0.68【解析】利用等差数列求和公式与等差中项进行求解.【详解】由题意得：，同理可得：，所以故答案为：14、①.②.【解析】(1)利用三角关系分别利用表示、即可求解；(2)利用导数求最小值的方法即可求解.【详解】过点分别作，，垂足分别为，，则，在中，，则，同理可得，所以.令，则，令，，得，即，由，解得，当时，；当时，，所以当时，取得极小值，也是最小值，则，故输气管的长度不能低于m.故答案为：；.15、【解析】曲线是抛物线的右半部分，是抛物线的焦点，作出抛物线的准线，把转化为到准线的距离，则到准线的距离为所求距离和的最小值【详解】易知曲线是抛物线的右半部分，如图，因为抛物线的准线方程为，是抛物线的焦点，所以等于到直线的距离．过作该直线的垂线，垂足为，则的最小值为故答案为：16、【解析】先由极差以及平均数得出，进而得出中位数.【详解】由可得，，，因为乙得分的平均值为24，所以，所以甲、乙两组数据的中位数是.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1），，写出的展开式通项，由可得出关于的方程，解出的值，再利用赋值法可求得所求代数式的值；（2）写出的展开式，求出、的值，即可求得的值.【小问1详解】解：设，，的展开式通项为，所以，，即，，解得，所以，.【小问2详解】解：，，，因此，18、（1）（2）【解析】（1）根据向量在基底下的坐标为，得出向量在基底下的坐标；（2）根据向量在基底下的坐标直接计算模即可【小问1详解】因为向量在基底下坐标为，则，所以向量在基底下的坐标为.【小问2详解】因为向量在基底下的坐标为，所以向量在基底下的模为.19、（1）（2）10【解析】（1）由等差数列的前项和公式求得公差，可得通项公式；（2）用裂项相消法求和求得，根据新定义求得，然后分组，结合等差数列的前项和公式计算后解方程可得【小问1详解】设等差数列的公差为d，因为，则.因为，则，得.所以数列的通项公式是【小问2详解】因为，则所以.当时，因为，则.当时，因为，则.因为，则，即，即，即．因为，所以20、（1）；（2）.【解析】（1）由题设，原不等式等价于，分类讨论即可得出结论；（2）不等式对任意恒成立，即，即可求实数a的取值范围.【详解】（1）当时，原不等式等价于，当时，，解得，即；当时，恒成立，即；当时，，解得，即；综上，不等式的解集为；（2），，即或，解得，∴a取值范围是.21、（1）证明见详解（2）【解析】（1）将线面平行转化为面面平行，由已知易证；（2）延长相交与点F，利用等体积法求点A到平面PCE，然后由可得.【小问1详解】四边形ABCD为正方形平面PAD，平面PAD平面PAD同理，，平面PAD又平面，平面平面平面PAD平面平面PAD【小问2详解】延长相交与点F，因为，所以分别为的中点.记点到平面PCF为d，直线AB与平面PCE所成角为，则.易知，，，，因为平面ABCD，所以，所以因为，所以由得：即，得所以22.22、（1）3；（2）12.【解析】