2024年河南省焦作市中考数学一模试卷

2024年河南省焦作市中考数学一模试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.

1.（3分）（2024•焦作一模）下列各数中比1大的数是（）

A.-2B.0.618C.-1D.V2

2.（3分）（2024•焦作一模）如图是焦作市博物馆的四件特色藏品，其中主视图与左视图相同的是（

3.（3分）（2024•焦作一模）记者1月19日从焦作海关了解到，2023年我市实现进出口总值221.4亿元，

进出口规模创历史新高.数据“221.4亿”用科学记数法表示为（）

A.2.214X109B.2.214X1O10

C.22.14X109D.0.2214X1011

4.（3分）（2024•焦作一模）如图，直线AB,CD相交于点。，OE平分/BOD,若NAOE=113°,则/

80c的度数为（）

D.77°

5.（3分）（2024•焦作一模）化简——的结果为（)

mm+1

m+1

D.

m

6.（3分）（2024•焦作一模）如图，在△ABC中，AB=ACf以AC为直径作。0,分别交AB,BC于D,E,

连接OE,CD,若NB=70°,则NC0E的度数为（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

7.（3分）（2024•焦作一模）如图为某商家2023年1月至10月“人工智能机器人”的月销售量，下列说法

错误的是（）

，/月销售量

12345678910月份

A.这10个月的月销售量的众数为28

B.这10个月中7月份的月销售量最高

C.前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差

D.4月至7月的月销售量逐月增加

8.（3分）（2024•焦作一模）二次函数y=a/+b尤+c的图象如图所示，则关于尤的一元二次方程d+or-b=

0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

9.（3分）（2024•焦作一模）如图，已知矩形0A8C的顶点。（0,0）,B（4,4）,若矩形绕点。逆时针旋

转，每次旋转45°,则第75次结束时，矩形对角线交点D的坐标为（）

A.(2,2)B.(0,2V2)C.(-2a,0)D.(2,-2)

10.（3分）（2024•焦作一模）如图1,点尸从等腰直角三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内

部一点，再从该点沿直线运动到AC的中点D.设点P运动的路程为x,△PBC的面积为y,图2是点P

D.2V2

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）（2024•焦作・模）代数式3〃可表示的实际意义是.

2

12.（3分）（2024•焦作一模）方程组4T=5的解为

13.（3分）（2024•焦作一模）焦作市两部优秀作品入选河南省2023年度重点文艺创作项目名单，某校七、

八、九年级分别从如图所示文艺项目中随机选择一部组织本年级学生欣赏，则这三个年级选择的文艺项

目相同的概率为

14.（3分）（2024•焦作一模）如图，在△ABC中AB=AC=4,N2AC=120°,以AB为直径作O。交BC

于点D,过点D作。。的切线交AC于点E.则DE的长为

15.（3分）（2024•焦作一模）如图，在矩形中，A2=l,8C=a,点E为CD的中点，取AE的中点

F,连接BE,BF,当为直角三角形时，。的值为

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16.（10分）（2024•焦作一模）（1）计算：Jj-3-1+|-1|；

（2）化简：（2x+y）2-4x（x+y）.

17.（9分）（2024•焦作一模）某学校为了解学生“消防安全知识”的掌握情况，从七、八年级各随机抽取

50名同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，描述和分析.下面给出部分信息：

a.七年级成绩的频数分布直方图如图：

b.七年级成绩在80Wx<90这一组的是：

8080.58282828283.58484858686.587888989

c.七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表：

年级平均数中位数

七年级85.3m

八年级87.285

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这次测试中，七年级测试成绩的中位数m是分，七年级成绩的众数不可能在

组；

（2）甲同学测试成绩为83分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被调查的同学，请判断甲同

学是哪个年级的学生，并说明理由；

（3）七年级共有500名学生，若成绩在80分以下（不含80分）的同学需要参加消防安全知识培训，请

你估计七年级有多少名同学需要参加消防安全知识培训.

频数

6

4

3

5

2

05060708090100能责分

18.（9分）（2024•焦作一模）如图，△ABC是等边三角形，。是AB边上一点，连接CD

（1）请用无刻度的直尺和圆规在的上方作等边（保留作图痕迹，不写作法）;

（2）连接AE,求证：BD=AE.

A

D

BC

19.（9分）（2024•焦作一模）小晃同学借助反比例函数图象设计一个轴对称图形.如图，正方形ABC。的

中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y=（的图象经过正方形的顶点A

（2,2）,以点C为圆心，CB的长为半径作扇形BCD,ffb交AC于点F；以CF为对角线作正方形CEFG,

再以点C为圆心，CE的长为半径作扇形ECG.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求的的长；

（3）直接写出图中阴影部分面积之和.

G-D

20.（9分）（2024•焦作一模）南水北调第一楼位于山阳故城东南，是一座具有汉代风格，可以望山、观水、

展陈的文化地标.某小组利用无人机测量第一楼高度.如图是测量第一楼高度的示意图，无人机在距地

面136.65米的P处测得第一楼顶部A的俯角为11.3°,测得第一楼底部8的俯角为45°.求南水北调

第一楼AB的高度.（结果精确到0.1租.sinll.3°心0.196,cos11.3°-0.980,tanll.3°心0.200）.

II3J

21.（9分）（2024•焦作一模）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某平台店计划购进A,8两种纪念币,

进价和售价如表所示：

进价（元/枚）

售价（元/枚）

（1）第一次购进A种纪念币80枚，8种纪念币40枚，求全部售完后获利多少元？

（2）第二次计划购进两种纪念币共150枚，且A种纪念币的进货数量不低于3种纪念币的进货数量的2

倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少？

22.（10分）（2024•焦作一模）根据以下素材，探索完成任务.

设计小区大门灯笼的悬挂方案

素材1图1是某小区的正门，图2龊

是正门的示意图，小航查

阅相关资料获得以下信

息：①正门是由一个矩形SftWWWWMB|<A]

10cm

和一个抛物线形拱组成的

图1图2

轴对称图形，②矩形的宽

为10m,高为12m,抛物线□H

形拱的高为2m.

素材2为迎接龙年春节，拟在图1

正门抛物线形拱上悬挂直

径为1m的灯笼，如图3.为

图3

了美观，要求悬挂灯笼的

数量为双数，且平均分布，

间隔在0.8-1.5根之间.

问题解决

任务1确定抛物线形拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表

达式.

任务2探究悬挂数量给出符合所有悬挂条件的灯笼数量.

任务3拟定设计方案根据你建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的

横坐标.

23.（10分）（2024•焦作一模）在综合实践课上，老师设计下面问题，请你解答.

（1）观察发现

如图1,在平面直角坐标系中，过点A（1,-3）作y轴的对称点Ai,再分别作点Al关于直线y=x和x

轴的对称点A2,A3,则点42可以看作是点A绕点。顺时针旋转得到的，旋转角的度数为；

点A?可以看作是点A关于点的对称点.

（2）探究迁移

如图2,正方形ABC。中，P为直线下方一点，作点P关于直线C。的对称点尸1,再分别作Pi关于

直线5D和直线A。的对称点P2和尸3,连接尸£>,P2D,请仅就图2的情况解决以下问题:

①请判断NPDP2的度数，并说明理由；

②若PD=m,求尸2,P3两点间的距离.

(3)拓展应用

在(2)的条件下，若PD=&,ZPDC=30°,请直接写出P1P2的

长.图

2024年河南省焦作市中考数学一模试卷

参考答案

一、选择题

l.D2.A3.B

4.A【解析】：NAOE=113°,：.ZBOE=1800-ZAOE=180°-113°=67°,4AE平分N80Z),4N

BOD=2/BOE=134°,A180°-ZBOD=180°-134°=46°,故选：A.

6.B【解析】'：AB=AC,ZB=70°,ZACB=ZB=70°,：.ZA=180°-70°-70°=40°,为

(DO的直径，/.ZADC=9Q°,ZBDC=9Q°,：.ZDCB+ZB=9Q°,

：.ZDCB=2Q°,；/BED=/DCB+NCDE=NA=40°,：,ZCDE=20°,故选：B.

7.C【解析】A.将样本数据从小到大排列为25,26,27,28,28,30,33,36,37,40,所以这组数据的

众数为28,此选项正确，不符合题意；B.7月份的销量为40,月销量最高，此选项正确，不符合题意；C.由

图形可知，前5个月的月销售量的波动小于后5个月的月销售量的波动，所以前5个月的月销售量的方差

小于后5个月的月销售量的方差，故此选项错误，符合题意；D4月至7月的月销售量逐月增加，此选项正

确，不符合题意；故选：C.

8.A【解析】由函数图象可知，a>0,b>0,A—(r+4b>0,故一元二次方程尤-6=。有两个不相等

的实数根，故选：A.

9.C【解析】：四边形A8C。是矩形，B(4,4),Z.0B=V42+42=4>/2,：.0D=2五,

:每次旋转45°,8次一个循环，75+8=9・3,...点。在x轴的负半轴上，，点。的坐标为(-2/，0).故

选：C.

10.B【解析】：当x=0时，y=2a,.,.当点P在点A处时，APBC的面积=2a.从。到2a的过程中，y

的值不变，一直是a,.•.三角形内部那一点与点。的连线平行于三角形的底边，并且点A到三角形内部那

一点的距离等于点。到三角形内部那一点的距离.过点。作。加〃BC,作A。的垂直平分线跖交MZ)于

点、E,连接AE,则点E即为三角形内部那一点.「△ABC是等腰直角三角形，.•./8=45°.

AZADM^45°.•：EA=ED=a,：.ZEAD^45°.：.ZA££>=90°.:.AD=gi.\,点。是AB的中点，

11

.'.AB=2y/2a.VS^ABC=2a,.".~AB2=2a.-X(2V2a)2=2a.4a2-2a=Q.2a(2a-1)=0.

22

解得：m=0(不合题意，舍去)，«2=1.：.AB=V2.：.BC=V2AB=2.故选：B.

图1

二、填空题

11.每支钢笔3元，买了3支钢笔所需的钱数(答案不唯一).

12.【解析】2+2'=5幺，①*3-②X2,可得-x=-l,解得x=l,把尤=1代入①，可得:

(y=2(2久+3y=8@

l+2y=5,解得y=2,.,.原方程组的解是后二；.故答案为：后二；.

13.三【解析】将两个文艺节目分别记为A,B,画树状图如下：

4

开始

共有8种等可能的结果，其中这三个年级选择的文艺项目相同的结果有2种，.♦•这三个年级选择的文艺项

211

目相同的概率为6=丁故答案为：

14.百【解析】连接A。、0D,则OD=OB,：.NODB=/B,：AB=AC=4,ZBAC=120°,；./C=

1

ZB=^X(180°-120°)=30°,：.ZODB=ZC,：.OD//AC,：A8为。。的直径，AZADB=90°,

：.AD±BC,—=cosB=cos30°=^：.CD=BD=^-AB=x4=2V3,；.DE与0。相切于点。，：.DE1

AB乙乙乙

OD,:./CED=/ODE=90°,

：.DE=1CD=1X2V3=V3,故答案为：V3.

15.一1或y匚3【解析】*：AD=BC,DE=CE,/D=/C,AADE^ABCE(5AS),

22

i

；.AE=BE,ZAED=ZBEC,分情况解答：®ZBEF=90°时，则/3EC=45°,：.BC^CE=^CD=

I，/.a=1；②/BFE=9G°时，:.EF=%E=3BE,；./BEF=60°,

...△BEE为正三角形，：.BE=AB=1,：.CE=^,则BC=112-(1)2=^-,；.a=字，

1V3

③/FBE=90。，不存在，故答案为：a=/或三.

三、解答题

16.解：（1）原式=号-/+

=1-1

（2）原式=4工2+4孙+『-4%2-4孙

82+82

17.解：（1）将抽查的七年级50名学生的成绩从小到大排列，处在之间位置的两个数的平均数为----=82

2

（分），所以中位数是82分，即冽=82,

由于七年级成绩在80Wx<90这一组中82分的有4人，因此众数不可能出现在组内人数小于4的组，由频

数分布直方图可知，人数小于4人的组50/尤〈60,

因此七年级成绩的众数不可能在50W尤<60这一组，

故答案为:82,50«60；

（2）甲同学测试成绩为83分，七年级学生成绩的中位数是82分，八年级学生成绩的中位数是85分，甲

同学的成绩在七年级学生成绩的中位数之上，

所以可以得出甲同学是七年级的学生；

(3)500X勺=210(名)，

答：七年级500名学生中大约有210名同学需要参加消防安全知识培训.

18.(1)解：如图，分别以C,。为圆心，线段的长为半径画弧，在的上方交于点E,连接。E,

CE,则即为所求.

(2)证明：:△ABC是等边三角形,

：.BC=AC,ZACB=6Q°.

「△COE是等边三角形，

:.CD=CE,ZDCE=60°,

：.ZBCD=ZACE.

/.△BCD^AACE(SAS),

C.BD^AE.

19.解：(1)将点A的坐标代入函数表达式得：左=2X2=4,

即反比例函数的表达式为：y=$

(2)由点A的坐标得，OA=2a=CO,

则EG=-Tx2nr=-rx2nXOC=y/2n；

(3)由点A的坐标得，AB=4=BCf

S阴影A3O=S正方形ABC。-3扇形。30=4乂4一,义弘乂-2=16—,乂口义3。2=16-4n；

同理可得：S阴影EFG=8-2n,

则图中阴影部分面积之和=16-4n+8-2n=24-6TT.

20.解：过点尸作尸交3A的延长线于点D

由题意得：B£)=CP=136.65米,

在RtZXBDP中，ZBPD=45°,

•••。尸=两蛮=136.65（米），

在RtZkA。尸中，ZDE4=11.3°,

：.AD=DP'tanll.3°心136.65X0.2=27.33（米），

：.AB=BD-AD=136.65-27.33^109.3（米），

，南水北调第一楼A8的高度约为109.3米.

21.解：（1）A种纪念币单件获利（66-45）=21（元），B种纪念币单件获利（90-60）=30（元），

购进A种纪念币80枚，2种纪念币40枚，全部售完后获利：80X21+40X30=1680+1200=2880（元）.

答：全部售完后获利2880元.

（2）设购进A种纪念币x枚，则购进B种纪念币（150-x）枚，总利润为w元，x22（150-%）,解得尤

2100,

w=（66-45）x+（150-x）（90-60）=-9.r+4500,

：-9<0,

Aw随x的增大而减小，

当尤取100时，w有最大值，最大值为3600元.

.•••8种纪念币的数量为150-100=50（枚）.

答：购进A种纪念币100枚，购进8种纪念币50枚，获得最大利润为3600元.

22.解：任务1.如图，以BC所在的直线为无轴，5c的中点为原点建立平面直角坐标系.

A

E______

A2cm

八D

12cm

V>

10cm

・・,正门是由一个矩形和一个抛物线形拱组成的轴对称图形，矩形的宽为10m,高为12m,抛物线形拱的

高为2m.

・,・拱顶E的坐标为(0,14),点。的坐标为(5,12).