湖南省郴州市苏仙区桥口中学2019年高三数学理月考试卷含解析

湖南省郴州市苏仙区桥口中学2019年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列四种说法正确的是（

）①函数的定义域是，则“”是“函数为增函数”的充要条件；②命题“”的否定是“”；③命题“若x=2，则”的逆否命题是真命题；④p：在△ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B；q：y=sinx在第一象限是增函数，则为真命题．A.①②③④

B.②③

C.③④

D.③参考答案：D2.不等式的解集为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A3.数列满足，则的整数部分是（

）

A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：B4.已知全集,集合,则为A．

B．

C．

D．参考答案：C5.已知m，n是两条不同的直线，为平面，则下列命题正确的是

(A)若m∥，n∥，则m∥n

(B)若m⊥，n⊥．则m⊥n

(C)若m⊥，n∥，则m⊥n

(D)若m与相交，n与相交，则m，n一定不相交参考答案：C略6.下列命题①命题“若，则”的逆否命题是“若，则x=1”.②命题

③若为真命题，则p,q均为真命题.④“x>2”是“”的充分不必要条件。其中真命题的个数有（

）A.4个

B.3个

C.2个

D.1个参考答案：B略7.设函数是定义在R上的以5为周期的奇函数，若，则a的取值范围是(

）A．

B．C．

D．参考答案：A8.在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：C.解析：，A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确.9.设为等差数列的前项和，且，，则（

）

A．

B．

C．2008

D．2012参考答案：A10.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为（

）A.20%369 B.80%369C.40%360 D.60%365参考答案：A【分析】设“衰分比”为,甲衰分得石,由题意列出方程组,由此能求出结果．【详解】解：设“衰分比”为,甲衰分得石,由题意得,解得,,．故选：A．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数满足，则的最小值为

．参考答案：作可行域，为三角形OAB及其内部,则直线过点A(1,2)时取最大值4,取最小值为

12.已知函数f（x）=ln（，若实数a，b满足f（a﹣1）+f（b）=0，则a+b等于

．参考答案：1【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断．【分析】根据题意，分析有f（﹣x）=﹣f（x）成立，则可得f（x）为奇函数，观察可知f（x）为增函数，所以f（a﹣1）=﹣f（b）=f（﹣b），即a﹣1=﹣b成立，对其变形可得答案．【解答】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，又f（﹣x）=ln（﹣x）=ln=﹣ln（）=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，观察知函数f（x）单调递增，所以f（a﹣1）+f（b）=0，可化为f（a﹣1）=﹣f（b）=f（﹣b），有a﹣1=﹣b，所以a+b=1．故答案为：1．13.（平面几何选讲）如图，△ABC中AB=AC，∠ABC=72°， 圆0过A，B且与BC切于B点，与AC交于D点， 连BD．若BC=2，则AC=

．参考答案：14.若函数的最小值为4，则a的值为_______．参考答案：1略15.抛物线准线方程为

．参考答案：16.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为6的正方形，俯视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该几何体的体积是，表面积是．参考答案：72，120。【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；规律型；数形结合法；立体几何．【分析】由三视图可知几何体是一个三棱柱，此三棱柱的高为6，底面正三角形的高为4，利用表面积公式和体积公式得到结果．【解答】解：由三视图图可知此三棱柱的高为6，底面正三角形的高为4，可求得底面面积为：=12．∴V=S?h=6×12=72S表面=2S底+S侧面=2×12+6×（6+5+5）=120【点评】本题考查有三视图求几何体的体积和表面积，解题时要注意看清各个位置的长度，不要在数字运算上出错．17.已知，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则=_______。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在等比数列{an}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列． （I）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{|an﹣4|}的前n项和Sn． 参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（I）设等比数列{an}的公比为q，a4=8a1，可得=8a1，解得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3，当然解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，可得S1=2．当n≥2时，an﹣4≥0．数列{|an﹣4|}的前n项和Sn=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（an﹣4），再利用等比数列的求和公式即可得出． 【解答】解：（I）设等比数列{an}的公比为q，∵a4=8a1，∴=8a1，a1≠0，解得q=2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2．∴an=2n． （II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，∴S1=2． 当n≥2时，an﹣4≥0． ∴数列{|an﹣4|}的前n项和Sn=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（an﹣4） =2+22+23+…+2n﹣4（n﹣1）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2． ∴Sn=． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.（本小题满分12分）将正整数2012表示成个正整数之和.记.（I）当时，取何值时有最大值.（II）当时，分别取何值时，取得最大值，并说明理由.（III）设对任意的1≤≤5且||≤2,当取何值时，S取得最小值，并说明理由.参考答案：（I）根据均值不等式，当x1=x2=1006时，S有最大值10062.

………………2分（II）当x1=x2=x3=402，x4=x5=403时，S取得最大值.

…………4分由x1+x2+x3+x4+x5=2012，取得最大值时，必有|xi-xj|≤1（1≤i<j≤5）.（*）事实上，假设（*）式不成立.不妨设x1-x2≥2，令，.有，=，同时S‘=，这与S取得最大值矛盾.所以必须有|xi-xj|≤1（1≤i<j≤5）.……8分因此当x1=x2=x3=402，x4=x5=403时，S取得最大值.（III）由x1+x2+x3+x4+x5=2012且|xi-xj|≤2,只有1

x1=401，x2=402，x3=x4=x5=403；②x1=x2=x3=402，x4=x5=403；③x1=x2=x3=x4=402，x5=404；三种情况

而在②时，根据（2）知原式取得最大值；在①时，设t=402，=10t2+8t，在③时,设t=402，=10t2+8t.因此在①③时S取得最小值.

……12分20.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？参考答案：解：（1）当0＜x＜80，x∈N*时，当x≥80，x∈N*时，L（x）=﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）∴．（2）当0＜x＜80，x∈N*时，，当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950当x≥80，x∈N，∵，∴当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000＞950．综上所述，当x=100时L（x）取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．略21.在平面直角坐标系xOy中，过点M（0，1）的椭圆Γ：（a＞b＞0）的离心率为.（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l不过点M，与椭圆Γ相交于P，Q两点，若△MPQ的外接圆是以PQ为直径，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由过点M（0，1）的椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的离心率为，得到a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）△MPQ的外接圆以PQ为直径，可得到MP⊥MQ，设直线MP方程，代入椭圆方程，求出点P的坐标，同理求出Q点坐标，从而求出直线PQ的方程，即可求出直线PQ过定点的坐标．【解答】解：（1）∵过点M（0，1）的椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的离心率为，∴，解得a2=3，b=1，∴椭圆Γ的方程为．（2）证明：∵△MPQ外接圆是以PQ为直径，故MP⊥MQ，∴直线MP与坐标轴不垂直，由M（0，1）可设直线MP的方程为y=kx+1，直线MQ的方程为y=﹣（k≠0），将y=kx+1代入椭圆Γ的方程，整理，得；（1+3k2）x2+6kx=1，解得x=0，或x=﹣，∴P（﹣，﹣+1），即P（﹣，），同理，求得Q（，），∴直线l的方程为y=（x﹣）+，化简，得直线l的方程为y=，∴直线l过定点（0，﹣）．22.如图，在三棱柱中，平面，，，分别是，的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：证明：（Ⅰ）取的中点，