2023-2024学年北京西城区育才学校高一（上）期中数学试题及答案

2023北京育才学校高一（上）期中数学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）B=x3x，则A=，（）1.已知集合AA.B.−x+30”的否定为（）C.D.2.命题“xR，都有x2A.xR，使得x2−x+30−x+30B.xR，使得x−x+302C.xR，都有x2D.xR，使得x2−x+30(0,+)3.下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（）1A.y=−x2B.y=xC.y=y=xD.3x4.如果ab0，那么下列不等式成立的是（）a1a1bA.B.a2b2C.1D.abb2b45.已知x0，则x−4+的最小值为（）xA.－2B.0C.1D.22f(x)0的解集为f(2)=0(−,0]上单调递减，则不等式6.定义在R上的偶函数f(x)满足，且在区间（）(2,+)(−,−2)(2)A.B.C.D.67.已知函数f(x)=(x+2−，则下列区间中含有f(x)的零点的是（）xA.B.2)(2,C.D.4)f(x)=x2−2ax，则“0”是“f(x)在区间(0,+)上单调递增”的（）8.已知函数A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件yx9.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（23）中的实线分别yx为调整后与的函数图象.给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本.其中，正确的说法是（）A.①③B.①④C.②③D.②④y=+162()(A=x,y,x,y，且12210.已知方程组−=，则k==4的解集为（）2+2y2112x51212A.1或1B.2或−2C.或−D.2或−2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）函数f(x)=x−1的定义域是___________.f(x)=2x−1，则f(−2)=12.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且当x0时，13.已知函数f(x)同时满足以下条件：_________.①定义域为R；②值域为+)；③xRf(x)=f(−x)，都有.f(x)=试写出一个函数解析式_________.x−1,x0f(x)=f(f(−=f(x)=a有且仅有3个不同14.已知函数，那么_________；当方程xD2x+2x,x0a的根时，实数的取值范围是_________.15.设函数f(x)的定义域为D，若f(x)满足：“1D数f(x)具有性质，给出下列四个结论：f(x)+f(x)=0”则称函12，都存在，使得2f(x)=x具有性质①函数；②所有奇函数都具有性质；③若函数f(x)和函数g(x)都具有性质，则函数f(x)+g(x)也具有性质；④若函数f(x)=x+a，x[具有性质−，则a=−2.2其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题（本大原共6小题，共85分）−2x−30，B=xx−4a=R，A=xx216.已知集合U（1）求A，..；（2）当a=0时，AB；（3）若A，求实数的取值范围.a17.求下列关于x的不等式或不等式组的解集.x−1x+20（1）2x−15（2）（3）x−10x2−ax+2a20(aR)x18.已知函数f(x)=.x+42（1）判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；（2）定义证明函数f(x)在上是增函数；（3）写出函数f(x)在(−0)上的单调性（结论不要求证明）.f(x)=x2−2ax+1，其中aR.x[2,3]上的值域；19.函数（1）若a=1，求函数f(x)在区间（2）若函数f(x)有两个正数零点x，(xxx)，2121a（i）求的取值范围；41+xa的最小值以及取到最小值时的值.（ii）求220.小华在某市场独家经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产x100x150）品，每1300元小华为下一个销售季度购进了130吨该农产品.以（单位：吨，y表示下一个销售季度内，该市场该农产品需求量.（单位：元）表示下一个销售季度内小华销售该农产品的利润.（1）分别求当x=120时，y的值；当x=140y时，的值；yx（2）将表示为的函数；yx（3）求出下一个销售季度利润不少于57000元时，市场需求量的范围.f(x)(0,+)，若y=在(0,+)上为增函数，则称f(x)为“一阶比增函数”.21.已知函数f(x)的定义域为xf(x)=ax2+ax是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；（2）若f(x)是“一阶比增函数”，求证：xx+)f(x)+f(x)f(x+x)；2（1）若，，12121（3）若f(x)是“一阶比增函数”，且f(x)有零点，求证：f(x)2023有解.参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.【答案】B【分析】应用集合的交运算求集合即可.B=2,3,4x3x20,1−=.A【详解】故选：B2.【答案】A【分析】根据全称命题的否定表示方法选出答案即可.【详解】命题“xR,都有x2−x+30”的否定为：xR,“使得x2−x+30”，所以选项A正确.故选：A.3.【答案】C【分析】逐一判断选项中函数的奇偶性和单调性，即可得答案．y=−x【详解】A．函数2为偶函数，不满足条件．)，，定义域不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．B．函数yC．函数y=x的定义域为[01(0,+)上单调递减，满足条件．=为奇函数且在区间xy=x3为奇函数，在区间(0,+)上单调递增，不满足条件．D．函数故选：C．4.【答案】D【分析】根据不等式的性质即可逐一判断.11ab【详解】由ab0可得：0，a2b2=(a+b)(a−b)0a2b2,1，故A，，错BCabab−b2=ba−b0abb()2误,，故D正确.故选：D5.【答案】B【分析】由基本不等式求得最小值．444x+−42x−4=0x=x=2时等号成立．【详解】∵x0，∴，当且仅当即xxx故选：B．6.【答案】Cf−2=0)单调递增，然后根据单调性解不等式即可.【分析】根据偶函数的性质得到()，【详解】因为()为偶函数，()=，(−单调递减，fxf20,0所以f(−2)=0)单调递增，，所以不等式f(x)0的解集为(−2).故选：C.7.【答案】B6f(x)=(x+2−(0,+)上递增，再根据零点存在性定理求解即可在.【分析】先判断【详解】因为函数f(x)=(x+x6y=(x+2,y=−(0,+)上都递增，在x62−(0,+)上递增，在所以x6()f0f2=+−=−20又因为，16()f4=+−=，ff(2)(22602所以f)f(2)02)，所以区间含有f(x)的零点，故选：B.8.【答案】A【分析】(0,+)先由f(x)在区间上单调递增，求出的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断.a2ax2−2ax的对称轴为：x=−=a，【详解】解：2若()在(0,+)上单调递增，fx则a0，即0，f(x)在区间(0,+)上单调递增，反之，f(x)在区间(0,+)上单调递增，a0，故“0”是“函数f(x)在区间故选：A.(0,+)上单调递增”的充分不必要条件.9.【答案】Cyx【分析】根据图象可知盈利额与观影人数成一次函数关系，再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.yxy=kx+b，【详解】由图象(1)可设盈利额与观影人数的函数为显然k0，b0，k为票价.y=bb当k=0时，，则为固定成本.由图象(2)知，直线向上平移，k不变，即票价不变，b变大，且b0，则b变小，成本减小.故①错误，②正确；y由图象(3)知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大.k变大，即提高票价，b不变，则b不变，成本不变.故③正确，④错误.故选：C.10.【答案】B4k1+2k2+2k2)x2+4−2=0，应用韦达定理有12+=−xx=−，12，【分析】由方程组可得21+2k22=+−4122再由x−2(12)+2(+4k列方程求参数值即可.1【详解】由题设x22=4，则+2k2)x2+4−2=0，且=16k2++2k)0，22x+x=−xx=−12所以，，121+2k2+212k724k+872252=+−=(−+=2x1−2(12)241x)2而，即，22+2512k12k4k+4k2+19=9k4−16k2−4=(9k2+2)(k2−2)=0，可得k=整理得2.4k42+125故选：B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）【答案】+)【分析】根据偶次方根的被开方数非负得到不等式，解得即可；+)=x−1，所以x−10，解得x1，即函数的定义域为【详解】解：因为f(x)故答案为：+)12.【答案】3−f(2)=−f(2)【分析】利用奇函数性质有，结合已知解析式求函数值即可.f(2)=−f(2)=−(22−=−3【详解】由题设.故答案为：313.【答案】x2+1（答案不唯一）【分析】根据题设写出一个定义域为R，值域为+)的偶函数即可.的偶函数，【详解】由题设，f(x)是定义域为R，值域为+)f(x)=x2+1满足.所以故答案为：x2+1（答案不唯一）)0,114.【答案】①.2.f(f(f(x)=ay=f(x)y=a的图象【分析】入解析式即可求出；方程有且仅有3个不同的根即与y=f(x)有3个交点，结合图象，即可得出答案.x−1,x0()=fx2【详解】因为，x+2x,x0(−)=(−)3−6=3，2所以f3f(f(=f3=2；()所以画出函数()的图象，fxf(x)=ay=f(x)y=a的图象有3个交点，方程有且仅有3个不同的根即与由图可得：0a1.故答案为：2；).0,115.【答案】①②④【分析】根据函数具有性质，知函数的值域关于原点对称，从而依次判断得结论.【详解】由题知，若f(x)满足性质则f(x)的值域关于原点对称.即：“，都存在x2()+()=f1f20，使得”xDD1f(x)=x，值域为R关于原点对称，显然具有性质对于①，函数，故正确；对于②，因为所有的奇函数对应定义域内任意的都有则值域关于原点对称，显然具有性质(−)=−()，fxxfx，故正确；−1，x1，具有性质2，值域为，f(x)=x2对于③，设g(x)=−2x+1，x1，具有性质2，值域为，1−,0，不具有性质，故错误；−2x，xf(x)+g(x)=x22，值域为2f(x)=x2+a，x[具有性质−对于④，若函数，则f(x)的值域关于原点对称.又则f(x)=x+a，x[时，f(x)的值域为−[a,4+a]，2a+4+a=0a=−2，解得，故正确.故答案为:①②④.三、解答题（本大原共6小题，共85分）x，1x；16.1）A{x|x=−1或={x|x0x或；（2）AB3a.（3）4）解一元二次不等式求集合A，再由补运算求B={x|x，应用并运算求AB；（2）由题设得；（3）根据并集的结果及集合A、B有4a3，即可求参数范围.【小问1A=x(xx0{x|x−1或x，+−=由1x.【小问2所以B==xx4a{x|x由题设，={x|x0x或所以AB.【小问334由（12A，则4a3，即a.−x|2x117.1）（2）x|1x（3）答案见解析）转化为一元二次不等式求解即可；（2）分别求解两个不等式，再求交集即可；（3分三种情况讨论，分别求解一元二次不等式即可.【小问1x−1x+2(−)(+)，解得−2<x<1，x1x2000等价于x−1x+2的解集为−；x|2x1【小问2|2x−1|552x−152x3x−10可得x1，由可得，由综上，1x3，不等式组的解集为x|1x【小问3由x2−ax2a+20可得(−)(−)，xax2a0当0时，2axa；当a=0时，x=0；当a0时，ax2a；综上，当0时，不等式的解集为x|2ax；当a=0时，不等式的解集为；0x|a；x2a当a0时，不等式的解集为18.1）奇函数，证明见解析（2）证明见解析3）单调递增）根据奇偶性的定义判断并证明；（2）根据单调性的定义证明；（3）根据奇函数的性质判断.【小问1()为奇函数，证明如下：fx()的定义域为R，关于原点对称，−xfxf(−x)=fx=−()，2x+4所以()为奇函数.fx【小问20xx2令，12(2−)(−)211214xx()−()=−=fxfx，212+2+(++)x4x421x4x422210xx2x−x04−xx0，，2112因为，所以12fx−fx0f(2)()，所以()()f1，即21所以()在(2)上是增函数.fx【小问3()在(−0)上单调递增.fx19.1）；54a1iia=）41+x2（2i）时的最小值为4.）根据二次函数性质求f(x)在已知区间上的最值，即可得值域；（2iii）应用根与系数关系得14x+x=4x+，结1211x+x=2a合基本不等式求最小值，进而确定x,x的值，结合a即可得的值.1212)x=−+=−【小问1由题设】22，故最小值为f=0，又开口向上且对称轴为x=1，则x[上最大值f(2)=(2−9，−2=综上，函数f(x)在区间【小问2x[2,3]上的值域为.由函数f(x)有两个正数零点x，(xxx)，1212x=a0f(0)=10a1.（i）所以，则Δ=4a2−4011x+x=2a,xx=14x+x=4x+241=4，（ii），则1212121111x=,x=241+x的最小值为4，2当且仅当时等号成立，故12255x+x=2a=a=.此时1224=时，y=57000元；当x=140时，y=元；20.1）当x120800x−39000,100x130y=（2）；65000,130x150（3）120x150.）根据题设得到解析式，将x=120、x=140代入求值；（2）根据（1）所得解析式即得；y57000x求市场需求量的范围.（3）讨论不同区间，令【小问1500x−−x),100x130y=800x−39000,100x130y=，由题意，即500130,130x15065000,130x150=y=800120−39000=57000当x120时，当x=140时，【小问2元；y=元.800x−39000,100x130y=由（1）知：.65000,130x150【小问3当100x130，令800x−3900057000，可得x120，则120x130；当130x150，y=6500057000恒成立，则130x150；综上，120x150.21.1）a0（2）证明见解析3）证明见解析()fx）由题意得y==axa在+()是增函数，由一次函数性质a0；x()(+)()(+)f1x21+2f1f1x2f2xx+x,xx+x（2）由，可得，，两式相加化简即可112212+1122得结果；t()，满足ftft()，记()=0m，由（）知()，同理ft2m（3）取2(