湖南省长沙市周南教育集团2025届高三上学期10月第二次月考数学强化训练 含答案

湖南省长沙市周南中学2025届高三第二阶段考试数学强化训练一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数（i是虚数单位），则（

）．A．1 B． C．2 D．3．已知向量，，．若与共线，则实数等于（

）A．0 B．1 C． D．34．已知，使成立的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．5．已知函数在定义域上是单调函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．6．已知等差数列满足，则的前15项的和为（

）A．30 B．20 C．15 D．57．已知，且，则（

）A． B． C． D．8．已知函数若函数有四个零点,零点从小到大依次为则的值为()A．2 B． C． D．二、多选题9．设函数，则下列结论正确的是（

）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．的一个零点为D．的最大值为110．如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．在方向上的投影向量为11．已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，则下列结论正确的有（

）A．B．直线是函数图象的一条对称轴C．函数在上有个零点D．函数在上为减函数三、填空题12．已知，且为第三象限角，则．13．直线与曲线相切，则．14．在数列中，且，当时，，则实数的取值范围为．四、解答题15．在锐角中，内角所对的边为，其中(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值.16．数列的前n项和为，且.(1)求证：数列为等比数列，并求其通项公式；(2)令，数列的前n项和为.求证：.17．如图，四棱锥的底面为正方形，底面.设平面与平面的交线为.

(1)证明：平面；(2)已知，为上的点，，求与平面所成角的正弦值.18．已知为坐标原点，是圆上一点，且，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线，且曲线与直线相切．(1)求的方程；(2)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，求面积的最大值．19．设，.(1)求函数的单调区间;(2)求证:；(3)设函数与的定义域的交集为，集合.若对任意，都存在，使得成等比数列，且成等差数列，则称与为"A关联函数".求证：若与为"关联函数"，则.湖南省长沙市周南中学2025届高三第二阶段考试数学强化训练参考答案题号12345678910答案ACBDBAACACAD题号11答案ABD1．A【分析】求出集合A，根据集合的交集运算即得答案.【详解】由题意得，则，故选：A2．C【分析】利用复数的减法运算及复数的模的计算公式计算即可.【详解】因为，所以.故选：C.3．B【分析】由共线向量的坐标表示求解即可.【详解】因为向量，，，所以，若与共线，则，解得，故选：B4．D【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得.【详解】对于A，，A不是；对于B，当时，由，得，B不是；对于C，，可能有，如，C不是；对于D，由，得，则；若，则，D是.故选：D5．B【分析】根据分段函数和单调性相关知识直接求解.【详解】因为函数在定义域上是单调函数，显然函数在定义域上单调递减，则，解得.故选：B6．A【分析】根据等差数列的性质求得正确答案.【详解】．故选：A7．A【分析】利用二倍角公式结合角的余弦值确定角的范围计算即可.【详解】因为，，所以，则，则.故选：A8．C【分析】函数有四个零点，即与的图象有4个不同交点，可设四个交点横坐标满足，由图象，结合对数函数的性质，进一步求得，利用对称性得到，从而可得结果.【详解】

作出函数的图象如图,函数有四个零点，即与的图象有4个不同交点，不妨设四个交点横坐标满足，则，，,可得,由，得，则，可得，即，，故选C.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.9．AC【分析】根据的性质逐一判断即可.【详解】，故A正确；，所以不是对称轴，故B错误；，所以是的一个零点，故C正确；因为振幅，所以的最大值为，故D错误.故选：AC.10．AD【分析】利用向量的线性运算，向量的模，向量垂直，投影向量的求法逐一验证即可.【详解】依题意，，，对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，则在方向上的投影向量为，D正确.故选：AD11．ABD【分析】依题意利用奇函数性质可得，即的图象关于直线对称，可推出是周期为4的周期函数，即可判断AB正确；易知函数在上有7个零点，即C错误；由函数单调性及其对称性可判断D正确.【详解】根据题意，函数是上的奇函数，所以；又对任意，都有成立，令，可得，即，所以，即可知函数的图象关于直线对称；又函数是上的奇函数，所以，则；则有，故函数是周期为4的周期函数；当，且时，都有，所以在区间上单调递增；再由奇函数性质可知在区间上单调递增；对于A，由可得，所以，即A正确；对于B，由直线是函数的一条对称轴，且是周期为4的周期函数；则也是函数的一条对称轴，又为奇函数，所以直线是函数图象的一条对称轴，即B正确；对于C，函数在上有7个零点，分别为，即C错误；对于D，易知函数在上单调递增，且周期为4，则函数在上为增函数，由直线是函数的一条对称轴，则函数在上为减函数，即D正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：本题主要考察函数奇偶性、对称性、单调性和周期性的应用，要根据其他性质综合运用推出函数值求和、对称轴、对称中心、零点个数等的求解.12．/【分析】由同角三角函数关系求出并检验，结合商数关系即可求解.【详解】，由，可得，解得或．又为第三象限角，，把的值代入检验得，，可得．故答案为：.13．【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求解即可.【详解】设切点坐标为，由于，所以切线的斜率为：，所以曲线在处的切线方程为：，即，所以，，故答案为：.14．【分析】由数列的递推式可得，求和后结合条件可得，求出即可.【详解】因为，，所以，当时，，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得.所以实数的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由数列的递推式可得，然后利用累加法求和求解范围即可.15．(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再逆用两角和的正弦公式、三角形内角和定理、正弦的诱导公式、特殊角的正弦值进行求解即可；（2）根据（1）的结论，运用余弦定理、三角形面积公式、基本不等式进行求解即可.【详解】（1）因为，所以，因此由，因为，且三角形为锐角三角形，所以；（2）由余弦定理可知：，由基本不等式可知：，当且仅当时取等号，面积为，即，当且仅当该三角形为正三角形时取等号.16．(1)证明见解析，(2)证明见解析【分析】（1）利用与的关系式，消去，即可证明为等比数列，求得通项；（2）将数列的通项进行裂项，再运用裂项相消法即可求出并证得.【详解】（1）因为①，所以当时，②，①②得：，即(*)，又当时，，即，所以，由(*)可得，，则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，故；（2）由（1）知，故，因，，故得.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面平行的判定定理知平面，再由线面平行的性质定理得到，最后由线面平行的判定定理证明平面.（2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，根据得到的坐标，求出平面的法向量，结合的坐标，利用向量法求解线面角即可.【详解】（1）四棱锥的底面为正方形，，平面，平面，平面，平面，平面平面，.又平面，平面，平面.（2）如图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，，则有，，，，，设，则有，，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.

18．(1)(2)【分析】（1）先确定圆心A及半径，由垂直平分线的性质结合椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系计算即可；（2）设直线方程，联立椭圆方程，由韦达定理、弦长公式、点到直线的距离及基本不等式计算即可.【详解】（1）由题意可知圆，所以圆心，半径，因为，线段的垂直平分线交线段于点，所以，又，所以，即点的轨迹是以点为左、右焦点的椭圆，所以曲线．因为曲线与直线相切，故，解得，所以的方程为．（2）由题意得直线，由，得，令，所以，即或．设，则，所以，令，则，则，当且仅当即时，等号成立，所以面积的最大值为．19．(1)单调增区间为，单调减区间为(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求导，利用导数判断的单调区间；（2）根据题意分析可知：原不等式等价于，构建，利用导数求其最值，进而分析证明；（3）根据题意整理可得，利用基本不等式可得对任意都成立，取可得，构建，利用导数判断其单调性，进而判断其符号即可.【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且.当时，；当时，，所以函数的单调增区间为，单调见区间为.（2）由（1）可知，故只需证.由于，等价于.令，则.当时，；当时，；可知函数在内单调递减，在单调递增，则，所以.（3）由题意知，对任意，存在，满足，且，则，即，即.对