贵州省黔南布依族苗族自治州罗甸县第一中学2024-2025学年高三上学期第二次测试数学模拟卷

高三第二次测试模拟卷一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．函数的零点所在区间为（

）A．0,1 B． C．2,3 D．4．已知，则（

）A． B． C． D．5．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．6．已知函数，若，则的大小关系为（

）A． B．C． D．7．为测量塔的高度，因地理条件的限制，分别选择点和一建筑物的楼顶为测量观测点，已知点为塔底，在水平地面上，塔和建筑物均垂直于地面（如图所示）.测得，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则塔的高度约为（

）（，精确到）A． B． C． D．8．已知，若恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．对于函数，下列说法正确的有（

）A．的最小正周期为B．关于直线对称C．在区间上单调递减D．的一个零点为10．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，且，则 D．若，则11．设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足，且为奇函数，则下列说法正确的是（

）A． B．的图象关于直线对称C．的一个周期是4 D．三、填空题12．曲线上的一点到直线的距离的最小值为．13．函数，且为偶函数，则，图象的对称中心为.14．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，E为的中点，延长交于点F，若，则的面积为.四、解答题15．已知函数．（1）求的最小正周期；（2）设，且，求．16．在中，分别是角的对边，有.(1)若，求;(2)若，求的面积最大值.17．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.18．函数的部分图像如图所示.(1)求的解析式；(2)若恒成立，求的取值范围.19．已知函数.(1)若，求曲线y=fx在(2)若x>0时，求的取值范围；(3)若，证明：当时，.参考答案：题号12345678910答案DBCDDBBDBCBCD题号11答案BCD1．D【分析】先解一元二次不等式，确定集合，再根据交集的定义求两个集合的交集.【详解】因为或，所以，又，所以.故选：D2．B【分析】假设命题“”为真命题，可得，由此可得，再求其补集可得结论.【详解】若命题“”是真命题，则，又因为，所以，所以若命题“”是假命题，则实数的取值范围是．故选：B.3．C【分析】先验证函数的单调性，再代入验证，由零点存在定理得到零点所在区间.【详解】当时，设，则，故在0,+∞上是单调递增函数；又，，由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为2,3.故选：C.4．D【分析】利用二倍角公式结合已知角与未知角的关系、诱导公式计算即可.【详解】已知，则.故选：D.5．D【分析】对比选项中的图象，再分别计算和时，的取值情况，即可作出选择．【详解】当时，，，则，排除选项B和C；当时，，排除选项A，选项D符合题意.故选：D6．B【分析】先求导后结合辅助角公式得到原函数为单调减函数，再对数和指数的运算求解即可；【详解】因为，故，其中，因此为减函数，因为，故，所以，所以.故选：B.7．B【分析】现从四棱锥中提取两个直角三角形和的边角关系，进而分别解出两个三角形边的长，求出塔AB的高度即可.【详解】平面，平面，过点作，交于点，则有，，在中，因为，所以，在中，因为，所以，则.故选：B.8．D【分析】先求导得，再分与两类研究函数的单调性，当函数单调递增，不恒成立；当时，将恒成立问题通过单调性转化为求解函数的最小值大于等于1，进而得到的不等关系，由此利用不等式的性质转化求解的范围即可.【详解】，当时，f'x>0恒成立，则当时，，故不恒成立；当时，令，解得，当时，f'x<0，函数在上单调递减；当时，f'x>0，函数在上单调递增，恒成立，则，设，，令，解得，当时，，函数在0,1上单调递减；当时，，函数在1,+∞上单调递增；，，且当时，.故选：D．9．BC【分析】计算最小正周期判断A选项；代入检验法判断函数对称轴单调区间和零点，判断选项BCD.【详解】函数，由周期公式知最小正周期为，A选项错误；，可知直线是对称轴，B选项正确；时，，正弦函数在区间上单调递减，C选项正确；，可知不是零点，D选项错误．故选：BC.10．BCD【分析】对于A，举反例即可判断；对于BCD，由作差法或者不等式的基本性质即可判断.【详解】对于A，若，，则，故A错误；对于B，若，显然，即，则，故B正确；对于C，若，且，则，故C正确；对于D，若，则，即，故D正确.故选：BCD.11．BCD【分析】利用抽象函数及导数的运算判断函数的图象关于点对称，从而可得的图象关于x=2对称，所以是周期函数，4是一个周期，可判断A、B、C项；因为，且，所以，所以，可判断D项.【详解】因为为奇函数，所以，所以的图象关于中心对称，两边求导得：，所以的图象关于x=1对称，因为，所以；所以，又，所以，所以函数的图象关于点对称；所以的图象关于x=2对称，故B正确；所以，即，又，所以，即，所以，所以是周期函数，且4是一个周期，又因为，所以，所以是周期函数，且4是一个周期，故C正确；因为为奇函数，所以过，所以，令x=0，代入，可得，故A错误；令x=0代入，可得，令x=1，代入，可得，又因为的周期为4，所以，所以，所以，所以，故D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：1.若，则关于对称，两边同时求导得：，则关于中心对称；2.若，则关于中心对称，两边同时求导得：，则关于对称；3.若，则为周期函数且周期为；12．/【分析】设，由点到直线的距离公式可得点A到直线的距离为，设函数，利用导数求出函数的最小值即可.【详解】设，则点A到直线的距离为，设函数，则，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，故．故答案为：13．/【分析】根据条件，利用的性质，得到，结合，即可得到；从而得到，再利用的性质，即可求出结果.【详解】因为为偶函数，则，得到，又，所以，得到，由，得，所以图象的对称中心为，故答案为：，14．/【分析】由正弦定理以及三角形面积公式求得的面积，设所求面积为，利用向量共线定理、平面向量基本定理得出即可求解.【详解】的面积为，注意到，所以，因为三点共线，所以设，而点是中点，点是中点，所以，设，所以，因为不共线，所以，解得，因为，设的面积为，则.故答案为：.【点睛】关键点点睛：关键在于得到的面积，，由此即可顺利得解.15．（1）（2）【详解】（1），∴的最小正周期为.（2），由可知，，则，∴．考点：三角恒等变换.16．(1)(2)【分析】（1）利用给定式子结合正弦定理进行化简，再利用辅助角公式求解角度即可.（2）法一利用正弦定理结合三角恒等变换求出，再利用余弦定理求出，最后再利用基本不等式求解即可，法二将三角形面积表示为函数，利用换元法求解即可，法三确定点的轨迹，利用椭圆的几何性质求解即可.【详解】（1）在中，，，则，由正弦定理得，由上，得，则有，即，，而B∈0,π当时，解得(与题意不符，排除)当时，解得，符合题意，所以，（2）法一：由（1）原式可变为，，，由已知及正弦定理得，而，由余弦定理知，其中，当且仅当时取等，故，法二：由余弦定理得，化简得，其中，当且仅当时取等，故，，令，所以.法三：由法一，得，则点可看作是以为焦点，3为长轴长的椭圆上的点，以中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则点轨迹方程为:，故.17．（1）6；（2）单调递减区间是，单调递增区间是；（3）【分析】（1）利用导数的几何意义得到，从而求出a的值.(2)对a分类讨论，利用导数求函数的单调区间.(3)先转化为在上恒成立，再化为在上恒成立，再求在上的最大值即得a的取值范围.【详解】（1），而，即，解得.（2）函数的定义域为.①当时，，的单调递增区间为；②当a>0时，.当变化时，的变化情况如下:由此可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.（3），于是.因为函数在上是减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立.又因为函数的定义域为，所以有在[上恒成立.于是有，设，则，所以有，，当时，有最大值，于是要使在上恒成立，只需，即实数的取值范围是.【点睛】（1）本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第3问的关键有3点，其一是先转化为在上恒成立，其二再化为在上恒成立，其三是换元求在上的最大值即得a的取值范围.18．(1)(2)【分析】（1）由图象得周期关系从而求得，将最值点代入可得，从而求得解析式；（2）求出时的值域，换元法转化不等式为二次不等式在区间恒成立问题，由二次函数图象性质建立不等式组可得.【详解】（1）由图可得，即，解得.函数过点，所以，则，解得，又，则，所以；（2）因为，所以，则，令，设，函数图象开口向上，恒过定点.由题意，恒成立，由二次函数的图象性质可知，只需，解得，故的取值范围为.19．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率即可得解；（2）利用导数求出函数的单调性，得到极值，转化为极大值小于0即可得解；（3）转化为证明，构造关于的函数，利用导数求最小值，再由导数求关于的函数的最小值，由不等式的传递性可得证.【详解】（1）当时，，则，