初中数学等边三角形考点方法考题解析

初中数学等边三角形考点方法考题解析考点方法破译1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．经典考题赏析【例1】如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上．AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．(1)求证：△ACE≌△DCB;(2)求∠AFD的度数；(3)判断△CMN的形状【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题．解：(1)∵等边三角形DAC与等边三角形EBC∴AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°∴∠ACE＝∠DCB∴在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB(2)∵∠ACE≌∠DCB,∴∠1＝∠2又∵∠1＋∠DFA＝＝∠2＋∠ACD∴∠AFD＝∠ACD＝60°(3)在△ACM和△DCN中,∴△ACM≌△DCN∴CM＝CN又∵∠DCN＝60°∴△CMN是等边三角形．【变式题组】01．(天津)如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的大小等于__________度02．(荆州)如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．03．如图，在正△ABC中，D,E分别是BC、AC上的一点，且AE＝CD．AD与BE相交于点P，且BQ⊥AD于Q．求证BP＝2PQ04．(黄冈)如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q是BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC于D，求DE的长．【例2】P是△ABC内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，求∠APC的度数【解法指导】由于∠PAB＝∠PAC,因而PA平分∠BAC,根据角平分线的特点可构造全等三角形，其方法一：在AB边上截取；方法二：延长AC边，又由于∠BPA＝150°是特殊角，考虑∠BPA的完整性，因而取方法二的可能性更大．解：延长AC到D，使AD＝AB，连接PD、BD,∵∠PBA＝8°∠PAB＝22°∴∠BPA＝150°，在△ABP和△ADP中，∴△ABP≌△ADP∴∠APB＝∠APD＝150°，BP＝DP,∠PBA＝∠APD＝8°∴∠BPD＝60°,∴△BPD是正三角形∵∠PBC＝30°∴∠PBC＝∠DBC在△PBC和△DBC中，∴△PBC≌△DBC,∴PC＝CD∴∠CPD＝∠CDP＝8°∴∠APC＝∠APD一∠CPD＝150°一8°＝142°【变式题组】01．如图，D是等边三角形ABC内一点，E为ABC外部一点，满足DA＝DB，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC．求∠BED的度数．02．如图．D是△ABC外一点．AB＝AC＝BD＋CD，∠ABD＝60°求∠ACD的度数．【例3】如图(1)，△ABC等边三角形，△BDC是顶角120°的等腰三角形，以D为顶点作60°的角，它的两边分别与AB、AC交于点M和N，连接MN．(1)探究：MN、NC之间的关系，并加以证明;(2)若点M、N分别在射线AB、CA上，其他条件不变，再探究线段BM、MN、NC之间的关系，在图(2)中画出相应的图形．并就结论说明理由【解法指导】对于(1)，这时在△DMB中，有∠DBM＝∠DBC＋∠CBA＝30°＋60°＝90°为了把BM，MN，NC集中到一个三角形中去，将△DMB绕D点顺时针旋转120°得到△DGC．如图(3)．从而有MB＝GC．而此时恰又有△MND≌△GND·得MN＝NG＝NC＋CG＝NC＋BM．对于(2)，此时的图形(4)，仍作(1)中的旋转，类似地可以推得MN＝CN一BM解(1)关系为MN＝BM＋NC证明：延长AC到G，使CG＝BM，连接DG，如图(3)∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝60°十30°＝90°同理也有∠ACD＝90°在△DMB和△DGC中；DB＝DC．BM＝CG∴△DMB≌△DGC∴DM＝DG．∠MDB＝∠GDC．在△MND和△GND中，ND公用，DM＝DG，∠MDN＝60°∠GDN＝∠GDC＋∠DCN＝∠MDB＋∠CDN＝60°∴△MND≌△GND∴MN＝GN＝GC十NC＝BM＋NC(2)此时．图形如图(4)，有关系式MN＝CN—BM理由如下：在CN上截取GG＝BM．连接DG，如图(4)与(1)中情况类似．可推得∠ABD＝∠ACD＝90°．且Rt△DMB≌△DGC，得DM＝DG．∠MDB＝∠GDC仍与(1)中情况娄似，可推得△MND≌△GND．就有MN＝GN＝NC—CG＝NC—BM．【变式题组】01．用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成四边形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合．两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于点E，F时，(如图1)，通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延长线相交于点F时(如图2)，你在(1)中得到的结论还成立吗，简要说明理由．02．如图．四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°求证：AC＝BC＋DC．巩固练习反馈提高01．如图．△ABC是等边三角形，AD⊥BC，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC＝()A105°B85°C95°D75°第1题图第2题图02．如图，等边△ABC，D在AC上，延长BC到E．使CE＝CD，若BD＝DE，给出下列结论：①BD平分∠ABC②AD＝AB③CE＝BC④∠A＝2∠E，其中正确结论的个数是()A．4个B3个C2个D1个03．(河北)如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ABC沿直线DE折叠，点A落在A’处，且A’在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为__________cm第3题图第4题图第5题图第3题图第4题图第5题图04．在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°，得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP＝__________．05．如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，试判断△DEF是否为等边三角形，并说明理由．06．请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线，并标出必要的角的度数)．07．如图，点D是等边△ABC边AB上的一点．AB＝3AD，DE⊥BC于点E，AE、CD相交于点F(1)求证：△ACD≌△BAE：(2)过点C作CG⊥AE，垂足为点G，探究CF与FG之间的数量关系，并证明．08．如图：△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F，连接DC，AE．求证：△ADE≌△DFC09．如图：△ABC是等边三角形，点D、E分别在CA、AB的延长线上，AD＝BE．DB的延长线交EC于F．求证：(1)DB＝EC；(2)∠BFC＝60°10．(常德)如图1，若△ABC与△ADE为等边三角形，M、N分别是EB、CD的中点，易证：CD＝BE，△AMN是等边三角形．(1)当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD＝BE是否仍然成立?若成立请证明，若不成立请说明理由；(2)当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形?若成立请证明，若不成立请说明理由．第06讲实数考点·方法·破译1．平方根与立方根：若＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝±，其中a的平方根为x＝叫做a的算术平方根．若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x＝．2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式．3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即>0，≥0（n为正整数），≥0(a≥0)．经典·考题·赏析【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m−4与3m−l是同一个数的平方根，∴2m−4＋3m−l＝0，5m＝5，m＝l．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．02．已知m是小于的最大整数，则m的平方根是____．03．的立方根是____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____．输入输入x取算术平方根输出y是无理数是有理数【例2】（全国竞赛）已知非零实数a、b满足，则a＋b等于()A．－1B．0C．1D．2【解法指导】若有意义，∵a、b为非零实数，∴b2>0∴a－3≥0a≥3∵∴，∴．∴，∴，故选C．【变式题组】0l．在实数范围内，等式＝0成立，则ab＝____．02．若，则的平方根是____．03．（天津）若x、y为实数，且，则的值为（）A．1B．－1C．2D．－204．已知x是实数，则的值是()A．B．C．D．无法确定【例3】若a、b都为有理效，且满足．求a＋b的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵，∴即，∴，a＋b＝12＋13＝25．∴a＋b的平方根为：．【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m、n是有理数，且（＋2）m＋(3－2)n＋7＝0求m、n．02．（希望杯试题）设x、y都是有理数，且满足方程（）x＋（）y−4−＝0，则x−y＝____．【例4】若a为−2的整数部分，b−1是9的平方根，且，求a＋b的值．【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分＝−2−2＝−4．∵a＝2，b−1＝±3，∴b＝－2或4∵．∴a<b，∴a＝2，b＝4，即a＋b＝6．【变式题组】01．若3＋的小数部分是a，3−的小数部分是b，则a＋b的值为____．02．的整数部分为a，小数部分为b，则（＋a）·b＝____．演练巩固反馈提高0l．下列说法正确的是()A．－2是(－2)2的算术平方根B．3是－9的算术平方根C．16的平方根是±4D．27的立方根是±302．设，b＝－2，，则a、b、c的大小关系是()A．a<b<cB．a<c<bC．b<a<cD．c<a<b03．下列各组数中，互为相反数的是()A．－9与81的平方根B．4与C．4与D．3与04．在实数1.414，，0.，5−，，3.，中无理数有()A．2个B．3个C．4个D．5个05．实数a、b在数轴上表示的位置如图所示，则()A．b>aB．C．－a＜bD．－b>a06．现有四个无理数，，，，其中在＋1与＋1之间的有()A．1个B．2个C．3个D．4个07．设m是的平方根，n＝．则m，n的关系是()A.m＝±nB.m＝nC.m＝－nD.08．（烟台）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点C，则点C所表示的数为()A．－2B．－1C．－2＋D．l＋09．点A在数轴上和原点相距个单位，点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点A左边，则A、B之间的距离