福建省上杭县一中2025届高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

福建省上杭县一中2025届高二数学第一学期期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等差数列中，,，则当取最大值时，的值为A.6 B.7C.6或7 D.不存在2．函数的图象如图所示，是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是（）A B.C. D.3．已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则4．已知等差数列满足，，则（）A. B.C. D.5．椭圆的一个焦点坐标为，则（）A.2 B.3C.4 D.86．等差数列x，，，…的第四项为()A.5 B.6C.7 D.87．正三棱柱各棱长均为为棱的中点，则点到平面的距离为（）A. B.C. D.18．设A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，则A－B的值为()A.128 B.129C.47 D.09．下列函数求导运算正确的个数为（）①；②；③；④.A.1 B.2C.3 D.410．在长方体中，，，分别是棱，的中点，则异面直线，的夹角为（）A. B.C. D.11．函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.12．在中，，，且BC边上的高为，则满足条件的的个数为（）A.3 B.2C.1 D.0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在点（1，1）处的切线方程为_____14．已知，点在轴上，且，则点的坐标为____________.15．已知函数，是的导函数，则______16．过点与直线平行的直线的方程是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，直三棱柱中，，，是棱的中点，（1）求异面直线所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值18．（12分）.在直角坐标系中，点，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于A，B两点（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若，求值19．（12分）已知首项为1的数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.20．（12分）设函数（1）求的值；（2）求的极大值21．（12分）已知数列满足，.（1）求证数列是等差数列，并求通项公式；（2）已知数列的前项和为，求.22．（10分）已知圆经过点和，且圆心在直线上.（1）求圆的方程;（2）过原点的直线与圆交于M，N两点，若的面积为，求直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】设等差数列的公差为∵∴∴∴∵∴当取最大值时，的值为或故选C2、A【解析】结合导数的几何意义确定正确选项.【详解】，表示两点连线斜率，表示在处切线的斜率；表示在处切线的斜率；根据图象可知，.故选：A3、D【解析】根据空间直线与平面间的位置关系判断【详解】若，，也可以有，A错；若，，也可以有，B错；若，，则或，C错；若，，则，这是线面垂直的判定定理之一，D正确故选：D4、D【解析】根据等差数列的通项公式求出公差，再结合即可得的值.【详解】因为是等差数列，设公差为，所以，即，所以，所以，故选：D.5、D【解析】由条件可得，，，，由关系可求值.【详解】∵椭圆方程为：，∴，∴，，∵椭圆的一个焦点坐标为，∴，又，∴，∴，故选：D.6、A【解析】根据等差数列的定义求出x，求出公差，即可求出第四项.【详解】由题可知，等差数列公差d＝(x＋2)－x＝2，故3x＋6＝x＋2＋2，故x＝－1，故第四项为－1＋(4－1)×2＝5.故选：A.7、C【解析】建立空间直角坐标系，利用点面距公式求得正确答案.【详解】设分别是的中点，根据正三棱柱的性质可知两两垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，，，.设平面的法向量为，则，故可设，所以点到平面的距离为.故选：C8、A【解析】先化简A－B，发现其结果为二项式展开式，然后计算即可【详解】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝故选A.【点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，关键是通过化简能够发现其结果在形式上满足二项式展开式，然后计算出结果，属于基础题9、A【解析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断【详解】解：①，故错误；②，故正确；③，故错误；④，故错误.所以求导运算正确的个数为1.故选：A.10、C【解析】设出长度，建立空间直角坐标系，根据向量求异面直线所成角即可.【详解】如下图所示，以，，所在直线方向，，轴，建立空间直角坐标系，设，，，，，，所以，，设异面直线，的夹角为，所以，所以，即异面直线，的夹角为.故选：C.11、D【解析】求导后，利用求得函数的单调递减区间.【详解】解：，则，由得，故选：D.12、B【解析】利用等面积法求得，再利用正弦定理求得，利用内角和的关系及两角和差化积公式，二倍角公式转化为，再利用正弦函数的性质求满足条的的个数，即可求解.【详解】由三角形的面积公式知，即由正弦定理知所以，即，即，即利用两角和的正弦公式结合二倍角公式化简得又，则，，且由正弦函数的性质可知，满足的有2个，即满足条件的的个数为2.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式可求出结果.【详解】因为，所以曲线在点（1，1）处的切线的斜率为，所以所求切线方程为：，即.故答案为：.14、【解析】设P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z−1)2=4+4+(z−2)2，解得z=3，故点P的坐标为(0,0,3).15、2【解析】根据基本初等函数的导数公式及导数的加法法则，对求导，再求即可.【详解】由题设，，所以.故答案为：16、【解析】根据给定条件设出所求直线方程，利用待定系数法求解即得.【详解】设与直线平行的直线的方程为，而点在直线上，于是得，解得，所以所求的直线的方程为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】(1)建立空间直角坐标系,求出相关各点坐标,求出,利用向量的夹角公式求得答案;(2)求出平面平面和平面的一个法向量,利用向量夹角公式求得答案.【小问1详解】以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系,则,,所以，所以直线所成角的余弦值为；【小问2详解】设为平面的一个法向量，,则m⋅，同理,则,可取平面的一个法向量为，则,由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.18、（1）曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为；（2）.【解析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，结合加法消元法进行求解即可；（2）利用直线参数方程的意义，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.小问1详解】由；；【小问2详解】把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，得，，因为在直线上，所以，或而，所以.19、（1）（2）【解析】（1）由，构造是以为首项，为公比等比数列，利用等比数列的通项公式可得结果；（2）由（1）得，利用裂项相消可求.【小问1详解】由，得，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即，故数列的通项公式为.【小问2详解】由（1）知，，所以.因为，所以，所以数列的前n项和.20、（1）-3（2）2【解析】（1）利用导数公式和法则求解；（2）令，利用极大值的定义求解.【小问1详解】解：因为函数，所以，所以；【小问2详解】令，得，当或时，，当时，，所以当时，取得极大值.21、（1）证明见详解，（2）【解析】（1）由题意将原式化简变形得到，可证明数列是等差数列，由等差数列的通项公式则可得，进而得到的通项公式；（2）由（1）把的通项公式代入，得到，利用乘公比错位相减法求和即可.【小问1详解】若，则，这与矛盾，，由已知得，，故数列是以为首项，2为公差的等差数列，，即.【小问2详解】设，则由（1）知，所以，，两式相减，则，所以.22、（1）（2）直线的方程为或或【解析】（1）由弦的中垂线与直线的交点为圆心即可求解；（