第03讲集合的基本运算

第03讲集合的基本运算模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.理解交集、并集、全集、补集，凸显数学抽象的核心素养.2.掌握集合的运算关系，能进行集合的各种运算.3.与方程、不等式、数轴、维恩图等相结合考查集合的运算，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养.知识点1交集1.定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B.2.符号：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．3.图示：知识点2并集1.定义：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B2.符号：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}3.图示：知识点3并集和交集的性质并集交集简单性质A∪A＝A；A∪∅＝AA∩A＝A；A∩∅＝∅常用结论A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)；B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆BA∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A知识点4补集1.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.2.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA.3.符号：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}.4.图示：5.拓广解读：(1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．(2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的图示．知识点5集合中元素的个数【探索与研究】考点一：交集运算例1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知集合，，则的子集个数为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根据题意，将集合化简，然后根据交集的运算及子集概念即可得到结果.【详解】因为集合，且，则，所以其子集为共4个.故选：B【变式11】（2024·全国·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简集合，由交集的概念即可得解.【详解】因为，且注意到，从而.故选：A.【变式12】（2324高一下·云南曲靖·期中）若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据交集的定义直接求解即可.【详解】.故选：.【变式13】（2024·上海·三模）已知集合，，则【答案】【分析】把集合中的元素代入不等式检验可求得.【详解】当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以，所以.故答案为：.【规律方法】求集合A∩B的方法与步骤(1)步骤①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式；③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)．(2)方法①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．考点二：根据交集运算结果求集合或参数例2.（2324高二下·广东惠州·阶段练习）已知集合，若为单元素集，则的最小值为．【答案】【分析】根据为单元素集，所以，即可求解.【详解】因为，且为单元素集，所以，所以的最小值为．故答案为：．【变式21】（2024高二下·湖南·学业考试）已知集合，，若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】根据集合的交集求解即可.【详解】因为，，所以，故.故选：A【变式22】（2024·上海·三模）已知集合，，若，则．【答案】3【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.【详解】集合，，由，得，又，因此，所以.故答案为：3【变式23】（2024·河北沧州·二模）已知集合，若，则的取值范围为.【答案】【分析】求出集合，根据集合，即可求出.【详解】由题意知，又且，故，即的取值范围为.故答案为：.【总结提升】遇到A∪B＝B，A∩B＝A等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．考点三：并集运算例3.（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则中所有元素之和为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由，求出或，再分类讨论由集合的互异性可求出，即可得出答案.【详解】由得或，解得：或，若，则，不符合题意；若，，从而，所以中所有元素之和为4，故选：C．【变式31】（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得，故选：A.【变式32】（2023高二下·浙江·学业考试）已知集合，，则下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据交集、并集的定义求出，，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.【详解】因为，，所以，，所以，，，故A、B、C正确，D错误；故选：D【变式33】（2024·上海·三模）若集合，，则．【答案】;【分析】根据集合并集的定义即可求解.【详解】由集合的并集定义可得，因为，，所以，故答案为：.【总结提升】1.对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．2.求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．3.对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．考点四：根据并集运算结果求集合或参数例4.（2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）集合，若，的值组成的集合为【答案】【分析】依题意有，即，分类讨论求m的值.【详解】若，则，即，由，则有或，若，解得或，当时，与集合中元素的互异性矛盾，∴．若，解得.所以的值组成的集合为.故答案为：．【变式41】（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知集合，，且，则m的值为（

）A． B．或C．或或 D．或或或【答案】C【分析】根据并集的结果可得或，再根据集合的性质求解即可.【详解】由可得或，解得，，或.又集合与，故，故，或.故选：C【变式42】（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，则的取值范围是.【答案】【分析】结合并集定义可得，将中所有元素代入计算即可得.【详解】由，则，故有，解得，即.故答案为：.【变式43】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知集合，集合，若，则．【答案】2【分析】根据集合中元素的互异性和集合并集的运算可求的值.【详解】因为，所以或.若，则，此时，集合中的元素不满足互异性，故舍去.若则或.当时，，集合中的元素不满足互异性，故舍去；当时，，，，故符合题意.故答案为：2【总结提升】1.A∪B＝B⇔A⊆B2.当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解．考点五：补集运算例5.（2023·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据题意，结合集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】由集合，，因为，可得.故选：C.【变式51】（2024高二下·浙江·学业考试）设全集，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据补集的定义计算可得.【详解】因为，，所以.故选：B【变式52】（2024·四川凉山·三模）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判断出两个集合和之间的关系，再根据补集运算的定义求解即可．【详解】因为集合或，，所以，故选：B．【变式53】（2024·山西·模拟预测）已知全集，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简集合，进而根据补集的定义求得.【详解】因为，所以，故选：A.【规律方法】两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助图示．②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．考点六：根据补集的运算结果求集合或参数例6.（2324高一上·云南昆明·阶段练习）已知全集，集合，且，则.【答案】【分析】由题设知，应用分类讨论求参数值.【详解】由题设知：，若；若无解；所以.故答案为：【变式61】（2324高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据补集概念进行求解.【详解】因为，又，所以．故选：B．【变式62】（2324高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，则集合．【答案】【分析】依题意可得，即可求出，从而求出，即可得解.【详解】因为，所以，则，解得，所以，又，所以.故答案为：【变式63】（2324高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值【答案】【分析】根据补集运算求解即可.【详解】由题意可知：，则，解得，所以实数的值为.考点七：交集、并集、补集的综合运算例7.（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用集合的混合运算，逐一分析判断各选项即可得解.【详解】由题得：，，，或，或，所以，故A错误；或，故B错误；或，故C错误；，故D正确；故选：D.【变式71】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，，则为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据并集和交集的定义直接运算即可求解.【详解】由题得，所以，故选：C.【变式72】（2324高一下·湖南长沙·开学考试）已知全集，则集合（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，结合集合的运算，即可得到结果.【详解】，且，则集合中不包含元素，即.故选：C【变式73】（2024·天津·三模）己知全集，集合，集合，则，．【答案】【分析】根据题意，分别求得和，结合集合运算法则，即可求解.【详解】由全集，集合，集合，可得，则，.故答案为：；.考点八：根据集合的运算求参数例8.（2324高一上·广东珠海·期中）已知集合，.(1)若，求的值；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用交集的定义求解；（2）分类讨论，利用补集和并集的定义可求得结果.【详解】（1）集合，，，则由交集的定义可知，且，解得.（2）当，即时，，符合题意；当，即时，，符合题意；当，即时，或，若，则，解得，综上，实数的取值范围是.【变式81】（2324高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】由，得到，分与讨论即可.【详解】由，得到分两种情况考虑：①当，即时，，符合题意；②当，即时，需，解得：，综上得：，则实数的取值范围为.故选：A【变式82】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得，得到，结合题意得到不等式，即可求解.【详解】由集合，，可得，因为，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：C.【变式83】（2023·全国·高三专题练习）已知全，A⋂(CUB)＝{1，3，5，7}，则B＝.【答案】【分析】由全集，根据A⋂(CUB)，应用韦恩图即可求集合B.【详解】由题意，，

∵A⋂(CUB)，，∴.故答案为：.【总结提升】利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．考点九：求集合中元素的个数例9.（2324高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（

）A．20人 B．17人 C．15人 D．12人【答案】B【分析】利用容斥原理可得.【详解】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合，则参加田径运动的同学人数，参加球类运动会的同学人数，两次运动会都参赛的同学人数，则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为.故选：B.【变式91】（2324高一上·吉林·期中）高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远、跳高三项比赛.已知参加100米短跑比赛的有12人，参加立定跳远比赛的有16人，参加跳高比赛的有13人，同时参加其中两项比赛的有9人，则这三项比赛都参加的有（

）A．3人 B．2人 C．1人 D．4人【答案】C【分析】作出图形即可得到方程，解出即可.【详解】设这三项比赛都参加的有人，则，解得．故选：C.

【变式92】（2324高一上·吉林通化·阶段练习）某班有名学生，有围棋爱好者人，足球爱好者人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意设立集合，利用图分析集合之间的关系，运算即可得解.【详解】解：设全班学生构成的集合为全集，围棋爱好者构成的集合为，足球爱好者构成的集合为，由题意，中有个元素，中有个元素，全集中有个元素，∵同时爱好这两项的学生构成的集合就是，

∴要使中人数最多，即元素个数最多，需满足是的真子集，如上图，∴.

要使中人数最少，即元素个数最少，需满足，如上图，∴，解得：.∴.故选：D.【变式93】（2324高一上·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是，只参加田径一项比赛的人数是.【答案】92【分析】结合韦恩图，利用集合的基本运算求解.【详解】如图所示：设U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}，依题意，，，于是，解得，所以只参加游泳比赛的人数为，只参加田径比赛的人数.故答案为：9，21．（2324高一下·云南曲靖·期中）若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据交集的定义直接求解即可.【详解】.故选：.2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据并集含义即可得到答案.【详解】.故选：B.3．（2024·北京海淀·一模）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.【详解】全集，集合，所以.故选：D4．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得的值，然后计算即可.【详解】由题意可得，则.故选：A.5．（多选）（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（

）A．1 B．0 C． D．【答案】ABD【分析】由，可得，再分和两种情况讨论即可.【详解】，因为，所以，当时，，当时，，则或，所以或，综上所述，或或.故