第六章 平面向量及其应用章末小结及测试（解析版）（人教版2019必修第二册）-人教版高中数学精讲精练必修二

第六章平面向量及其应用章末小结及测试考法一平面向量的概念辨析【例1-1】（2024下·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（

）A．向量的模是一个正实数B．若与不共线，则与都是非零向量C．共线的单位向量必相等D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同【答案】B【解析】向量的模是一个非负实数，如零向量的模是0，A错误；零向量与任意向量共线，若与不共线，则与都是非零向量，B正确；共线的单位向量方向可能相同，也可能相反，C错误；两个向量相等的条件是长度相等、方向相同，与起点无关，D错误．故选：B【例1-2】（2024下·全国·高一专题练习）下列说法错误的是（

）A．B．，是单位向量，则C．若，则D．任一非零向量都可以平行移动【答案】C【解析】对于A项，因为，所以，故A项正确；对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确；对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；对于D项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确．故选：C．【例1-3】（2023下·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）（多选）下列命题中错误的有（

）A．起点相同的单位向量，终点必相同；B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形；C．若，则；D．若，则【答案】AC【解析】单位向量的方向不确定，所以起点相同的，终点不一定相同，A选项错误；四边形ABCD中，，则且，四边形ABCD为平行四边形，B选项正确；当时，满足，但不能得到，C选项错误；由向量相等的条件可知，若，则，D选项正确.故选：AC【例1-4】（2023·全国·专题练习）（多选题）给出下列命题，不正确的有（）A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形C．的充要条件是且D．已知λ，μ为实数，若，则与共线【答案】ACD【解析】A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为＝，所以＝且，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当且方向相反时，即使，也不能得到，所以且不是的充要条件，而是必要不充分条件；D错误，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线．故选:ACD.【例1-5】（2023下·河南洛阳·高一栾川县第一高级中学校考阶段练习）（多选）如果是平面内两个不共线的向量，那么选项中正确的是（

）A．可以表示平面内的所有向量B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个C．两向量共线，则有且只有一个实数，使得D．若存在实数使得，则【答案】AD【解析】由平面向量基本定理可知，AD是正确的．对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C，当时，不存在这样的，故选A，D.故选：AD.考法二平面向量的坐标运算【例2-1】（2024下·广东）（多选）已知，则（

）A．若，则存在唯一的实数p，q，使得B．若，则C．若，则D．若，则在上的投影向量为【答案】ACD【解析】A：当时，不共线，所以可以作为一组基向量，由平面向量基本定理得，存在唯一的实数p，q使得，所以A正确；B：若，则，所以不成立，所以B错误；C：若，则，所以，所以C正确；D：若，则，所以在上的投影向量为，所以D正确．故选：ACD【例2-2】．（2024下·浙江）已知向量，则下列结论正确的是（

）A． B．与的夹角为C． D．在上的投影向量是【答案】BCD【解析】对于A：，故A错误.对于B：，因为，所以，故B正确；对于C：，则，故C正确；对于D：在上的投影向量是，故D正确.故选：BCD.【例2-3】（2024上·浙江金华）设平面向量，，（

）A．若，则 B．若，则C．， D．，使【答案】ABC【解析】A：当时，，故A正确；B：若，，，所以，所以，故B正确；C：，故C正确；D：若，则，等式不成立，故D错误.故选：ABC考法三平面向量的数量积【例3-1】（2023下·河南洛阳·高一校考阶段练习）（多选）已知单位向量，满足，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由题意，，，对两边同时平方可得，所以，即，解得，故，所以.故选：AC.【例3-2】．（2024上·江西赣州）己知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，所以，则在上的投影向量为.故选：D【例3-3】．（2023上·云南楚雄）（多选）设非零向量，满足，，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】因为，所以，即，所以，A错误，B正确.因为，所以，所以，C正确，D错误.故选：BC.【例3-4】．（2024·吉林延边）如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以所以，因为，所以，即，因为三点共线，所以，解得，所以，而,所以,即.故选：D.【例3-5】．（2024上·浙江绍兴·高一统考期末）（多选）下面给出的关系式中，不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】对A：由可得，而，故A说法正确；对B：取，则成立，但不一定成立，故B说法错误；对C：表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以不一定成立，故C说法错误；对D：，故，故D说法错误.故选：BCD考法四平面向量的基本定理【例4-1】．（2024·广东佛山）在中，，若，线段与交于点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如下图所示：

由可得分别为的中点，由中线性质可得，又，所以，因此.故选：B【例4-2】．（2024北京）如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，则，而与不共线，∴，解得，∴.故选：A.【例4-3】．（2024·湖南邵阳）如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以，所以，所以，.故选：D.【例4-4】（2023·天津红桥）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则，若，，则的最小值为.【答案】【解析】在中，，，则，故，故；又，而，，所以，则，又三点共线，所以，结合已知可知，故，当且仅当，结合，即时，取等号；即的最小值为，故答案为：；【例4-5】（2022上·河南）已知D，E分别为的边AB，BC上的点，且，，CD与AE相交于点O，若，则．【答案】/【解析】由题意，为边AB的靠近点的三等分点，为边的中点，如图，取DB的中点F，连接EF，则，，所以，因为，所以，，所以．故答案为：考法五正余弦定理【例5-1】（2024上·浙江杭州）的内角的对边分别为，已知(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)12【解析】（1）由已知及正弦定理得：,即，由，故，,因为，所以.（2）由已知得，，又，，所以由余弦定理得：，所以，从而，即,∴周长为．【例5-2】（2024上·安徽合肥）在中，的对边分别为，已知.(1)求；(2)已知点在线段上，且，求长.【答案】(1)；(2).【解析】（1）在中，由及余弦定理，得，即，而，所以.（2）由（1）知，由余弦定理得，为三角形内角，则，而，于是，在中，由正弦定理得，所以.【例5-3】（2024·山西吕梁）设的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)设的角平分线交于点，求的最小值．【答案】(1)(2)9【解析】（1）.由正弦定理，得，即，即（2）由题意可得，即当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.【例5-4】（2024·广东湛江·统考一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）由可得：，所以，所以，，，由正弦定理可得，因为，所以，所以，因为，所以.（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范围为.考法六平面向量与正余弦定理的综合运用【例6-1】（2023高一单元测试）中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（

）A．有一个角是的等腰三角形B．等边三角形C．三边均不相等的直角三角形D．等腰直角三角形【答案】D【解析】如图所示，在边、上分别取点、，使、，以、为邻边作平行四边形，则，显然，因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即，于是得是等腰三角形，即，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，，而，因此有，从而得，所以是等腰直角三角形.故选：D【例6-2】（2023湖北）在矩形中，，，点P是以点C为圆心，2为半径的圆上的动点，设，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】如图，建立平面直角坐标系，故可得，，故点P在圆上，设，，又，所以，从而，故选：B.【例6-3】（2024·浙江）若，，平面内一点，满足，的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】

由，可得因为，所以，即是角平分线所以由角平分线的性质可得设，则，由可得因为当且仅当，即时等号成立，即的最小值为所以的最大值是故选：C【例6-4】（2020·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考三模）已知中，长为2的线段为边上的高，满足：，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】分别在、上取点、，使得，连接、、，如图所示：线段为边上的高，，，，，，由平面向量加法的平行四边形法则可得，，四边形为菱形，平分角，，，为的中点，、分别为、的中点，，又，点为的中点，即与点重合，在中，,.故选：D.【例6-5】（2023甘肃白银）如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，，若，则的最大值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】，，；以为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，

则，，设，，由得：，，，其中，，，，当时，.故选：B.单选题1．（2023下·新疆乌鲁木齐）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.故选：A2．（2023上·广西柳州）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，且，所以，即.故选：D3．（2024下·全国·高一专题练习）已知为两个不共线的向量，若向量，则下列向量中与向量共线的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为向量，，所以．又，所以与共线．故选：B．4．（2024·陕西商洛）如图，在中，满足条件，若，则（

）A．8 B．4 C．2 D．【答案】A【解析】因为，,所以，即，又，所以，故.故选：A.5．（2024·四川巴中）已知向量，满足，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知向量，满足，，，故，即，则，，故，故选：A6．（2024下·重庆）已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设与的夹角为，在上的投影向量为所以，所以，所以为钝角，且.故选：A7．（2024上·云南保山）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中点，连接，如图所示，所以的取值范围是，即，又由，所以.故选：B.8．（2023上·安徽安庆）设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】不妨设，如图所示，

根据题意则，即点O是的重心，取的中点，连接，则三点共线，且，所以边上的高是边上的高的倍，，即，同理可得：，，所以有，又因为，那么，故的面积与的面积的比值为.故选：A.多选题9．（2024下·全国·高一专题练习）已知非零向量、，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BD【解析】对于A，向量是具有方向的量，若，则向量与的大小一样，方向不确定，不一定共线，故A错误；对于B，若，则一定有，故B正确；对于C，若，则只能说明非零向量、共线，当、大小不同或方向相反时，都有，故C错误；对于D，若，则、共线且方向相同，所以，故D正确．故选：BD．10．（2023下·河南·高一校联考期中）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，则下列等式正确的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】解法一：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令，则，，，，，对于A，，令，解得，，所以，故A正确；对于B，，令，解得，所以，故B正确；对于C，，令，代入坐标可解得，，故C正确；对于D，，代入坐标可解得，，故D错误.解法二：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令，则，，，，，故，，，，，对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误．故选：ABC.11（2023上·湖南岳阳）已知，下列说法正确的是（

）A．B．若，则锐角等于C．若，则D．若，则【答案】BC【解析】A：，错；B：，又，则，所以，若为锐角，则等于，对；C：由，则，故，即，对；D：由，则，故，错.故选：BC12．（2023上·海南省）已知，则（

）A．若，则B．若，则C．的最小值为D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为【答案】ABC【解析】对于A，若，则，解得，故A正确；对于B，若，则，解得，故B正确；对于C，，则，当时，，故C正确；对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，所以且不共线，由，得，由得，所以的取值范围为，故D错误.故选：ABC.填空题13．（2024下·全国·高一专题练习）已知向量，不共线，如果，，，则共线的三个点是.【答案】，，【解析】因为，所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.故答案为：，，14．（2024下·全国·高一专题练习）如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为．【答案】【解析】因为，所以，所以，因为P，B，N三点共线，所以，解得.故答案为：.15．（2023下·新疆喀什·高一统考期中）已知向量，其中，，则.【答案】【解析】由，可得：，则.故答案为：.16．（2024上·黑龙江鸡西）如下图，在平行四边形中，，点在上，且，则=．【答案】18【解析】因为平行四边形中，，所以，，，，故.故答案为：18解答题17．（2024·山东）设向量满足，且.(1)求与夹角的大小；(2)求与夹角的大小；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)由得：，解得：，，，.(2)，，，，.(3)，，.18．（2024上·广东茂名）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知