湖南省衡阳市衡南县2024届九年级上学期期中教学质量检测数学试卷(含解析)

2023-2024学年湖南省衡阳市衡南县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≠3解析：解：由题意得：2x﹣6≥0，解得：x≥3，故选：B．2．（3分）下列四条线段成比例的是（）A．4，2，1，3 B．1，2，2，4 C．3，4，5，6 D．1，2，3，5解析：解：A、∵，故选项不符合题意；B、∵，故选项符合题意；C、∵，故选项不符合题意；D、∵，故选项不符合题意．故选：B．3．（3分）将一个三角形按2：1的比放大后，它的面积（）A．保持不变 B．放大到原来的2倍 C．放大到原来的4倍 D．无法确定解析：解：根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，相似比为2，则面积就是原来面积的四倍．故选：C．4．（3分）观察下列各组式子：①，；②，；③，．可猜想得到：（a≥0，b≥0），上述探究过程体现的数学思想方法是（）​A．从特殊到一般 B．类比 C．转化 D．公理化解析：解：由题意得：探究过程体现的数学思想方法是：从特殊到一般．故选：A．5．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．解析：解：A．的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C．的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D．是最简二次根式，故本选项符合题意；故选：D．6．（3分）方程（x+1）（x﹣3）＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3解析：解：∵（x+1）（x﹣3）＝0，∴x+1＝0或x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，故选：C．7．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．解析：解：与无法合并，则A不符合题意；2﹣＝，则B不符合题意；×＝＝，则C符合题意；÷3＝＝，则D不符合题意；故选：C．8．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9解析：解：由原方程移项，得x2﹣2x＝5，方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x2﹣2x+1＝6∴（x﹣1）2＝6．故选：C．9．（3分）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣1＝0 B．x2+1＝2x C．x2﹣2x＝3 D．x2﹣2x＝0解析：解：A、Δ＝02﹣4×（﹣1）＝4＞0，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，此方程有两个相等的实数根，符合题意；C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意．故选：B．10．（3分）如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（）A．AB∥CD B．∠A＝∠D C． D．解析：解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．故选：D．11．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（）A．y1＝2，y2＝﹣4 B．y1＝0，y2＝﹣4 C．y1＝3，y2＝﹣3 D．y1＝1，y2＝﹣3解析：解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，∴关于（y+1）的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是y1+1＝1，y2+1＝﹣3，∴关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是y1＝0，y2＝﹣4．故选：B．12．（3分）若a，b是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+3a+b的值是（）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024解析：解：∵a，b是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，∴a2+2a＝2024，a+b＝﹣2，∴a2+3a+b＝（a2+2a）+a+b＝2024+（﹣2）＝2022，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）最简二次根式是同类二次根式，则a的值为4．解析：解：∵最简二次根式是同类二次根式，∴a+1＝5，∴a＝4．故答案为：4．14．（3分）式子的值为2．解析：解：原式＝|﹣2|＝2．故答案为：2．15．（3分）已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为﹣1，则方程的另一个根为4．解析：解：设方程的另一个根为m，根据题意得：﹣1+m＝3，解得：m＝4．故答案为：4．16．（3分）根据表格估计方程x2+2x＝6其中一个解的近似值．x1.631.641.651.66…x2+2x5.91695.96966.02256.0756…根据上表，求方程x2+2x＝6的一个解大约是1.65.（精确到0.01）解析：解：根据题意得：6﹣5.9696＝0.0304，6.0225﹣6＝0.0225，0.0304＞0.0225，可见6.0225比5.9696更逼近6，当精确度为0.01时，方程x2+2x＝6的一个解约是1.65；故答案为：1.65．17．（3分）如图，用一个卡钳（AD＝BC，＝＝）测量某个零件的内孔直径AB，量得CD长度为6cm，则AB等于18cm．解析：解：∵＝＝，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝6cm，∴AB＝6×3＝18（cm），故答案为：18．18．（3分）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形ABCD，它由四个全等的长方形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得x．根据此法，图中正方形ABCD的面积是81．解析：解：由x2+5x＝14得到：．解得：x1＝2，x2＝﹣7（负值舍去），所以正方形ABCD的面积＝（x+x+5）2＝（4+5）2＝81，故答案为：81．三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：×．解析：解：原式＝﹣﹣2＝4﹣2﹣2＝0．20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，F是边AB上一点，且CB＝CF，过点A作CF的垂线，交CF的延长线于点D，求证：△ADF∽△ACB．解析：解：∵CB＝CF，∴∠B＝∠CFB，∴∠CFB＝∠AFD，∵AD⊥CD，∠ACB＝90°，∴∠D＝∠BCA，∴△ADF∽△ACB．21．（8分）已知长方形长a＝，宽b＝．①求长方形的周长；②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．解析：解：①长方形的周长为2×（+）＝2×（2+）＝6；②长方形的面积为×＝2×＝6，则正方形的边长为，∴此正方形的周长为4，∵6＝，4＝，且＜，∴6＞4，则长方形的周长大于正方形的周长．22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程两个实数根的差为3，求m的值．解析：（1）证明：∵一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0，∴Δ＝（1﹣m）2﹣4（m﹣2）＝m2﹣2m+1﹣4m+8＝（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，∴Δ≥0．∴该方程总有两个实数根．（2）解：∵一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0，解方程，得x1＝1，x2＝m﹣2．∵该方程的两个实数根的差为3，∴|1﹣（m﹣2）|＝3．∴m＝0或m＝6．综上所述，m的值是0或6．23．（8分）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF．（1）当，BF＝6cm时，求BE的长；（2）求证：BE2＝BF•BC．解析：（1）解：∵，∴＝，∵AE∥DF，∴＝＝，∴BE＝BF＝×6＝10（cm）；（2）证明：∵DE∥AC，∴＝，∵AE∥DF，∴＝，∴＝，∴BE2＝BF•BC．24．（8分）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x（x+4）＝6，解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．直接开平方并整理，得．，，我们称小明这种解法为“平均数法”．（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．（x+a）2﹣b2＝5，（x+a）2＝5+b2．直接开平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为5，2，2，﹣8；（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝5．解析：解：（1）由题意知a＝5，b＝2，∴（x+a）2＝5+b2．可变形为（x+5）2＝9，∴x+5＝3或x+5＝﹣3，解得x1＝2，x2＝﹣8，即c＝2，d＝﹣8，故答案为：5、2、2、﹣8；（2）原方程可变形为[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]＝5．（x﹣1）2﹣42＝5，（x﹣1）2＝5+42，（x﹣1）2＝21．直接开平方并整理，得x1＝1+，x2＝1﹣．25．（10分）解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？解析：解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意，得：500（1+x）2＝720，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，整理，得：y2﹣130y+4000＝0，解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．26．（12分）综合与实践问题情境：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B顺时针旋转得到Rt△EBD，连接AE，连接CD并延长交AE于点F．猜想验证：（1）试猜想△CBD与△ABE是否相似？并证明你的猜想．探究证明：（2）如图，连接BF交DE于点H，AB与CF相交于点G，是否成立？并说明理由．拓展延伸：（3）若CD＝EF，直接写出的值．解析：解：（1）△CBD与△ABE相似，∵将△ABC绕点B顺时针旋转得到Rt△EBD，∴CB＝BD，AB＝BE，∠C