2023年北京市初三一模数学试题汇编：圆章节综合

第1页/共1页2023北京初三一模数学汇编圆章节综合一、单选题1．（2023·北京门头沟·统考一模）如图，的半径为2，是的内接三角形，半径于E，当时，的长是（

）A． B． C． D．二、填空题2．（2023·北京丰台·统考一模）如图，在中，为弦，于点C，交于点D，E，连接，，则图中存在的相等关系有_________（写出两组即可）．3．（2023·北京延庆·统考一模）如图，⊙O的弦，相交于点，若，，则=________°．4．（2023·北京西城·统考一模）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为,则该门洞的半径为__________m．三、解答题5．（2023·北京延庆·统考一模）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于线段和点C（点C不在直线上），给出如下定义：过点C作直线的平行线l，如果线段关于直线l的对称线段是的弦，那么线段称为的点C对称弦．(1)如图，，，，，，在线段，中，的点H对称弦是___________；(2)等边的边长为1，点，若线段是的点C对称弦，求t的值；(3)点M在直线上，的半径为1，过点M作直线的垂线，交于点P，Q．若点N在上，且线段是的点N对称弦，直接写出点M的横坐标m的取值范围．6．（2023·北京西城·统考一模）在平面直角坐标系中，给定图形和点，若图形上存在两个不同的点，满足．其中点为线段的中点，则称点是图形的相关点．(1)已知点，①在点中，线段的相关点是_______；②若直线上存在线段的相关点，求的取值范围．(2)已知点，，线段的长度为，当线段在直线上运动时，如果总能在线段上找到一点，使得在轴上存在以为直径的圆的相关点，直接写出的取值范围．7．（2023·北京通州·统考一模）在中，，给出如下定义：作直线分别交边于点，，点关于直线的对称点为，则称为等腰直角关于直线的“直角对称点”．（点可与点重合，点可与点重合）(1)在平面直角坐标系中，点，直线，为等腰直角关于直线的“直角对称点”．①当时，写出点的坐标__________；②连接，求长度的取值范围；(2)的半径为，点是上一点，以点为直角顶点作等腰直角，其中，直线与分别交于、两点，同时为等腰直角关于直线的“直角对称点”，连接．当点在上运动时，直接写出长度的最大值与最小值．8．（2023·北京海淀·统考一模）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点P的关联直线，例如，点的关联直线为．(1)已知点．①点A的关联直线为_________；②若与点A的关联直线相切，则的半径为_________；(2)已知点，点．点M为直线上的动点．①当时，求点O到点M的关联直线的距离的最大值；②以为圆心，3为半径作．在点M运动过程中，当点M的关联直线与交于E，F两点时，的最小值为4，请直接写出d的值．9．（2023·北京房山·统考一模）在平面直角坐标系中，对于直线和点，给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，将点关于轴对称点称为点关于直线的“平移对称点”．(1)如图，已知直线为．①点坐标为，则点关于直线的“平移对称点”坐标为__________；②在直线上是否存在点，使得点关于直线的“平移对称点”还在直线上？若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由．(2)已知直线，若以点为圆心，1为半径的圆上存在一点，使得点关于直线的“平移对称点”在直线上，直接写出的取值范围．10．（2023·北京朝阳·统考一模）如图，是的弦，过点O作，垂足为C，过点A作的切线，交的延长线于点D，连接．(1)求证：；(2)延长交于点E，连接，，若，，求的长．

参考答案1．A【分析】连接，根据圆周角定理得到，根据垂径定理以及等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：连接，∵，∴，∵，∴，∴，∵的半径为2，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．2．；（答案不唯一）【分析】利用垂径定理和圆周角定理得出相等关系即可.【详解】∵在中，为弦，，∴，∴，故答案为：；（答案不唯一）.【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，正确应用定理是解题的关键.3．32【分析】根据三角形外角的性质可求出，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案．【详解】解：∵，，∴，又∵，∴，故答案为：．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4．1.3【分析】运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解即可．【详解】如图，设圆心为点E，洞高为，入口宽为，门洞的半径为根据题意，得，根据勾股定理，得，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了圆的性质，垂径定理，用勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．5．(1)，；(2)，，，；(3)，且．【分析】（1）根据题目中新定义，分别求出，，，，再判定这些点是否在上即可；（2）分类讨论，当点C在边下方时，当点C在边上方时，分别求解即可；（3）如图所示，分别求出m最小值与最大值，即可得出答案．【详解】（1）解：∵，，，∴，，∵的半径为2．∴，在上，∴线段是的点H对称弦；∵，，，∴，，∵的半径为2．∴，在上，∴线段是的点H对称弦．（2）解：如图，当在x上方，点C在边下方时，线段是的点C对称弦，为弦，设与y轴交于点M，与y轴交于点G，连接，∴点M是的中点．∵等边的边长为1，∴，．∵的半径为2，∴．∴．∴．当点C在边上方时，可以得到．当在x下方时，利用圆的轴对称性，同理可以得到，．（3）解：如图所示，m取得最小值与最大值，过点M作轴于S，交直线于点K，则，，，由勾股定理得，∴，设，∴解得，又因点N不在直线上，所以，∴点M的横坐标m的取值范围为且．【点睛】本题考查新定义，等边三角形的性质，轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用，避免漏解．6．(1)①，；②(2)【分析】（1）①根据新定义得出点在以为直径的圆上及其内部，以为直径，为圆心作圆，在圆上或圆内的点即为所求；②根据①可得点在以为直径的圆上及其内部，作出图形，进而根据直线上存在线段的相关点，求得相切时的临界值，即可求解；（2）设点是直线上一点，且点，使得在轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，设，则以为直径的圆上两点为直径的圆与轴相切于点，且轴，当且时，轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，勾股定理求得的值，进而根据对称性可得当点在轴的下方时，符合题意，即可求解．【详解】（1）解：①∵，，∴，∵是线段的相关点，∵，若点分别与点重合，则中点为，∴在以为直径的圆上，∵是线段上的点，∴点在以为直径的圆上及其内部，故答案为：，．②由题意可得线段的所有相关点都在以为直径的圆上及其内部，如图．设这个圆的圆心是．

，，，．当直线与相切，且时，将直线与轴的交点分别记为，则点的坐标是，．．，，解得．当直线与相切，且时，同理可求得．所以的取值范围是．（2）解：设点是直线上一点，且点，使得在轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，设，则以为直径的圆上两点为直径的圆与轴相切于点，且轴，如图所示，设以为直径的圆，圆心是．则，∴是的中点，，∴当且时，轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，在中，，∴，∴，根据对称性可得当点在轴的下方时，也符合题意，∴．【点睛】本题考查了几何新定义，切线的性质，垂径定理，勾股定理，理解新定义是解题的关键．7．(1)①；②(2)的最小值为，最大值为【分析】（1）①根据题意得出直线与轴分别交于点，，进而得出四边形是正方形，即可求得的坐标；②过定点，根据为等腰直角关于直线的“直角对称点”，得出在为圆心，为半径的圆上运动，根据圆外一点到圆上的距离求得范围即可求解；（2）根据（1）②可得点在以为圆心长为半径的圆上运动，当取得最大值时，最大，画出图形，根据图形即可求解．【详解】（1）解：①当时，当时，，当时，，则直线与轴分别交于点，，如图所示，∴，则是等腰直角三角形，∵为等腰直角关于直线的“直角对称点”．∴，即，∴四边形是菱形又，∴四边形是正方形∴，②解：∵过定点，∵为等腰直角关于直线的“直角对称点”．∴，∴在为圆心，为半径的圆上运动，连接，∴

，则，∴，（2）解：以点为直角顶点作等腰直角，其中，则到线段的距离为，∵点是上一点，则，由（1）②可知,点在以为圆心长为半径的圆上运动，∴当取得最大值时，最大，∵，则三点共线时，取得最大值，此时，∵与关于，即对称，则当在轴时，取得最大值，如图所示，此时轴，∴∴，同理可得在轴时，取得最小值，此时,∴综上所述，的最小值为，最大值为【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，正方形的性质与判定，点到圆上一点的距离，勾股定理，坐标与图形，旋转的性质，轴对称的性质，理解新定义是解题的关键．8．(1)①；②(2)①；②或【分析】（1）①根据关联直线的定义进行求解即可；②设直线与相切于点E，连接，设直线与x轴，y轴分别交于C、D，先求出C、D的坐标，进而得到，利用勾股定理求出，再利用等面积法求出的长即可得到答案；（2）①先求出直线直线的解析式为，设点M的坐标为，则点M的关联直线为，推出点M的关联直线经过定点，进而得到当点H与点N重合时，最大，即点O到点M的关联直线的距离最大，然后利用勾股定理求解即可；②同理求出点M的关联直线经过定点；如图所示，过点T作于N，连接，则，要想最小，则要使最大，由此得到，由（2）①可知，当点N与点重合时，最大，由此即可建立方程，解方程即可．【详解】（1）解：①由题意得，点的关联直线为，故答案为：；②如图所示，设直线与相切于点E，连接，设直线与x轴，y轴分别交于C、D，∴，∴，∴，由切线的性质可得，∴，∴，∴的半径为；（2）解：①设直线的解析式为，由题意得，点，点，∴，∴，∴直线的解析式为，设点M的坐标为，∴点M的关联直线为，∴点M的关联直线经过定点，如图所示，过点O作直线的垂线，垂足为H，∴，∴当点H与点N重合时，最大，即点O到点M的关联直线的距离最大，∴点O到点M的关联直线的距离的最大值为；②同理可得直线的解析式为，设点M的坐标为，∴点M的关联直线为，∴点M的关联直线经过定点；如图所示，过点T作于N，连接，则，∴，∴要想最小，则要使最大，∵的最小值为4，即的最小值为2，∴，由（2）①可知，当点N与点重合时，最大，∴，∴，∴，∴，解得或．【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，一次函数与几何综合等等，正确推出点M的关联直线经过定点是解题的关键．9．(1)①；②(2)【分析】（1）①根据“平移对称点”的定义进行求解即可；②先求出点B关于直线l的“平移对称点”坐标，再把“平移对称点”的坐标代入直线l解析式中进行求解即可；（2）设，则点P关于直线的“平移对称点”为，由点P在以点为圆心，1为半径的圆上，得到，则，即可推出点在以点为圆心，以1为半径的圆上运动，则当与直线有交点时满足题意；如图所示，当直线与相切于点H时，当直线与相切于点G时，求出两种临界情况下t的值即可得到答案．【详解】（1）解：①由题意得，点向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度的对应点为，∵点关于y轴对称的点为，∴点关于直线的“平移对称点”坐标为，故答案为：；②设点B的坐标为，则经过平移后点B的对应点坐标为，∴点B关于直线的“平移对称点”的坐标为，∵点关于直线的“平移对称点”还在直线上，∴，∴，∴，∴；（2）解：设，则点P关于直线的“平移对称点”为，∵点P在以点为圆心，1为半径的圆上，∴，∴，∴，∴点到点的距离为1，∴点在以点为圆心，以1为半径的圆上运动，∴当与直线有交点时满足题意；不妨设，设直线与x轴，y轴分别交于N，M，∴，∴，∴，如图所示，当直线与相切于点H时，∴，，∴，∴，∴；同理可求出当直线与相切于点G时，，∴当时，直线与有交点，即以点为圆心，1为半径的圆上存在一点，使得点关于直线的“平移对称点”在直线上．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变换—平移和轴对称，一次函数与几何综合，切线的性质，勾股定理