2025年高考数学总复习 44 第六章 第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系

第二节空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求：1．借助长方体，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的基本事实和定理．3．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明与空间图形位置关系有关的命题．自查自测知识点一平面的基本事实判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)(2)经过一条直线和一个点，有且只有一个平面．(×)(3)分别在两个相交平面内的两条直线若相交，则交点一定在两个平面的交线上．(√)(4)两两相交的三条直线共面．(×)(5)如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线互相平行．(×)核心回扣1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．2．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．3．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．4．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．自查自测知识点二空间两条直线的位置关系1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)空间中，没有交点的两条直线是异面直线．(×)(2)空间中，不平行也不相交的两条直线是异面直线．(√)(3)分别在两个平行平面内的两条直线是异面直线．(×)(4)如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等．(×)2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1B1，BB1，AA1，BC的中点，则直线PM与NQ所成的角为()A．30˚ B．45˚C．60˚ D．90˚C解析：如图所示，取AB的中点R，连接RN，RQ，AB1.因为M，N，P，Q分别为A1B1，BB1，AA1，BC的中点，所以PM∥AB1，RN∥AB1，所以PM∥RN，所以∠RNQ为直线PM与NQ所成的角．又因为△RNQ是等边三角形，所以∠RNQ＝60˚.核心回扣1．两条直线的位置关系相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点2.异面直线所成的角(1)作法：平移直线；(2)范围：．3.异面直线的判定过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．4.等角定理：若空间中两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补．自查自测知识点三空间直线与平面、平面与平面的位置关系1.若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是()A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内B解析：直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．2.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是________.平行或相交解析：逆向考虑，画两个平行平面，能在这两个平面内画两条平行直线，同样画两个相交平面，也能在这两个平面内画两条平行直线，如图所示．核心回扣1.直线与平面的位置关系：相交、平行、在平面内．2.平面与平面的位置关系：平行、相交．注意点：直线l与平面α相交、直线l与平面α平行统称直线l在平面α外，记作l⊄α.【常用结论】(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(4)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．应用下列命题中，正确的是()A．过直线外一点有且只有一个平面与这条直线平行B．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直C．过已知平面外一点，有且只有一个平面与已知平面垂直D．过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面B解析：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过直线AB外一点D1，有平面A1B1C1D1、平面DCC1D1都与直线AB平行，A错误；由于垂直于同一条直线的两个平面平行，故过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，B正确；过平面ABCD外一点D1，有平面DCC1D1、平面A1ADD1都与平面ABCD垂直，C错误；当直线与平面相交时，过该直线不能作出与已知平面平行的平面，D错误．平面的基本性质【例1】(1)(2024·济南模拟)已知α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是()A．若α∩β＝l，A∈α且A∈β，则A∈lB．若A，B，C是平面α内不共线的三个点，A∈β，B∈β，则C∉βC．若直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b为异面直线D．若A∈α且B∈α，则直线AB⊂αC解析：由A∈α且A∈β，可知A是平面α和平面β的公共点．又α∩β＝l，由平面基本事实3可得A∈l，故A正确．由平面基本事实1可知，过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，又A∈β，B∈β，且A，B，C∈α，则C∉β，故B正确．由于平面α和平面β的位置不确定，则直线a与直线b的位置关系也不确定，可能异面、相交、平行、重合，故C错误．由平面基本事实2可知，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，故D正确．(2)如图，ABCD为空间四边形，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且DH＝13AD，①E，F，G，H四点共面；②EH，FG相交且交点在直线BD上．证明：①如图，连接AC，EF，HG，因为E，F分别是AB，BC的中点，DH＝13AD所以EF∥AC，HG∥AC，所以EF∥HG，所以E，F，G，H四点共面．②如图连接EH，FG.易知HG＝13AC，又EF＝12AC，所以HG≠结合(1)的结论可知，四边形EFGH是梯形，因此直线EH与FG不平行．设EH与FG的交点为P，则P∈EH，所以P∈平面ABD.同理P∈FG，所以P∈平面BCD.又平面ABD∩平面BCD＝BD，因此P∈BD，即EH，FG相交且交点在直线BD上．共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．1．在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点．若EF∩HG＝P，则点P()A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上B解析：如图，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.2．(多选题)如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，下列结论正确的是()A．B，B1，O，M四点共面 B．A，M，O，A1四点共面C．A，O，C，M四点共面 D．A，M，O三点共线BCD解析：如图，连接AC，A1C1，BD，OM.则B，B1，O都在平面BB1D1D上，若M∈平面BB1D1D，则直线OM⊂平面BB1D1D，所以A∈平面BB1D1D，显然A∉平面BB1D1D，故A不正确．由M∈A1C，A1C⊂平面ACC1A1，可得A，M，O，A1四点共面，故B正确．由B选项分析可得A，O，C，M四点共面，故C正确．因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，所以O∈A1C1.因为OA⊂平面AB1D1，OA⊂平面ACC1A1，所以平面ACC1A1∩平面AB1D1＝OA.而直线A1C交平面AB1D1于点M，即M∈OA，故D正确．空间两条直线的位置关系考向1异面直线的判定【例2】如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，已知AA1＝4，AB＝2，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且BE＝14BB1，CFA．D1E≠AF，且直线D1E与AF是相交直线B．D1E≠AF，且直线D1E与AF是异面直线C．D1E＝AF，且直线D1E与AF是异面直线D．D1E＝AF，且直线D1E与AF是相交直线B解析：如图，连接B1D1，AC，由题意知B1D1＝22，AC＝22取BC的中点M，连接AM，MF，AD1，D1F，则AD1∥MF，故A，M，F，D1四点共面，点E在平面AMFD1外，故直线D1E经过平面AMFD1内一点和平面外一点，故直线D1E和平面AMFD1内的直线AF异面．异面直线的判定方法平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线．考向2平行或相交直线的判定【例3】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则直线EF与BD1的位置关系是()A．相交但不垂直 B．相交且垂直C．异面 D．平行D解析：如图，连接D1E并延长，与AD交于点M.由A1E＝2ED，可得M为AD的中点．连接BF并延长，交AD于点N.由CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且MEED1＝12，MFBF空间中两直线位置关系的判定方法1．(多选题)若α，β是两个不重合的平面，a，b，c是空间中互不重合的三条直线，则下列命题不正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若a⊥b，b⊥c，则a∥cC．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线BCD解析：根据基本事实4可知，若a∥b，b∥c，则a∥c，故A正确；在空间中，当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故B错误；在空间中，若a与b相交，b与c相交，a与c可以相交、平行，也可以异面，故C错误；若a⊂平面α，b⊂平面β，并不能说明a与b不在同一个平面内，a与b可以平行、相交，也可以异面，故D错误．2．(多选题)如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列说法正确的是()A．AF与CN平行B．BM与AN是异面直线C．AF与BM是异面直线D．BN与DE是异面直线CD解析：把正方体的平面展开图还原，如图．由正方体的结构特征可知，AF与CN异面，故A错误；BM与AN平行，故B错误；BM⊂平面BCMF，F∈平面BCMF，A∉平面BCMF，F∉BM，故AF与BM是异面直线，故C正确；DE⊂平面ADNE，N∈平面ADNE，B∉平面ADNE，N∉DE，故BN与DE是异面直线，故D正确．异面直线所成的角【例4】(1)(2024·泰安模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，点E，F分别是棱AB，AA1的中点，E，F，C1∈平面α，直线A1D1∩平面α＝P，则直线BP与直线CD1所成角的余弦值为()A．33 B．C．39 D．B解析：如图，连接EF并延长，交线段B1A1的延长线于点G，连接GC1交A1D1于点P，易知A1P＝13A1D1.连接BA1，由正方体的结构特征知CD1∥BA1，所以异面直线BP与CD1所成的角为∠PBA1(或其补角)在Rt△PBA1中，易得A1P＝1，A1B＝22，BP＝12+222＝(2)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A．32 B．C．33 D．A解析：如图，过点A补作一个与正方体ABCD-A1B1C1D1相同棱长的正方体，易知平面α为平面AF1E，则m，n所成的角为∠EAF1(或其补角)．易知△AF1E为正三角形，所以sin∠EAF1＝求异面直线所成角的方法(1)平移法：将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解．(2)补形法：在该几何体的某侧补接上一个同样的几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解．1．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是直角三角形，且AB＝BC＝AA1，D为棱B1C1的中点，点E在棱BC上，且BC＝4BE，则异面直线AC与DE所成角的余弦值是()A．3417 B．C．105 D．B解析：如图，在棱BC上取点F，使CF＝BE，连接C1F，AF，A1F.设AB＝BC＝AA1＝4，可得BE＝CF＝1，BF＝3，A1C1＝AC＝42，EF＝2.在Rt△ABF中，AF＝AB2+在Rt△A1AF中，A1F＝AA1在Rt△C1CF中，C1F＝CC1因为D是棱B1C1的中点，所以C1D＝2，所以EF＝C1D.又因为BC∥B1C1，所以EF∥C1D，所以四边形C1DEF是平行四边形，所以DE∥C1F.又AC∥A1C1，所以∠A1C1F是异面直线AC与DE所成的角(或其补角)．在△A1C1F中，由余弦定理可得cos∠A1C1F＝32+即异面直线AC与DE所成角的余弦值是34342．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为()A．33 B．C．306 D．D解析：如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F.连接AF，易知F为AD的中点，设正方形ABCD的边长为2，则EF＝2，AF＝2，所以AE＝22+22＝6.连接ED，则ED＝6.因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD(或其补角)．在△EAD中，由余弦定理可得cos∠EAD＝6+课时质量评价(三十三)1．(2024·潍坊模拟)下列四个命题中的真命题是()A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面B．如果三条直线两两相交，那么它们能确定一个平面C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面D解析：当三条直线交于同一点时，三条直线可能不共面，故A，B错误；当三条直线相互平行时，三条直线可能不共面，故C错误；如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面，故D正确．2．已知两条不同的直线a，b及两个不同的平面α，β，下列说法正确的是()A．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bB．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线C．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面D．若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交C解析：若α∥β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b没有交点，故a与b平行或异面，故A，B错误，C正确；若α∩β＝b，a⊂α，当a∥b时，a与β平行，故D错误．3．(多选题)(2024·广州模拟)下列命题正确的是()A．如果一条直线上的两点到一个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面平行B．两条平行直线被两个平行平面所截得的线段长度相等C．如果一个平面内一个锐角的两边分别平行于另一个平面内一个角的两边，那么这两个平面平行D．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直BC解析：如果一条直线上两点到一个平面的距离相等，那么这条直线可能在平面内，也可能与平面相交，故A错误；两条平行直线被两个平行平面所截得的线段长度相等，故B正确；如果一个平面内一个锐角的两边，分别平行于另一个平面内一个角的两边，由平面与平面平行的判定定理可知，这两个平面平行，故C正确；如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，当这无数条直线均平行时，不能得出直线与这个平面垂直，故D错误．4．(多选题)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列命题中，正确的为()A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMNC．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45˚ABD解析：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，QM∥PN.因为MN⊂平面ACD，PQ⊄平面ACD，PN⊂平面ABD，QM⊄平面ABD，所以PQ∥平面ACD，QM∥平面ABD.因为PQ⊂平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝AC，所以PQ∥AC.同理可得QM∥BD.由PQ⊥QM，可得AC⊥BD，故A正确．由PQ∥AC，PQ⊂平面PQMN，AC⊄平面PQMN，得AC∥截面PQMN，故B正确．因为BD∥PN，PQ∥AC，所以PNBD＝ANAD，MNAC＝DNAD.而AN≠DN，PN异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即∠PMQ＝45˚，故D正确．5．若正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，高为6，则直线AE1与EF所成角的大小为()A．π6 B．C．π3 D．C解析：如图，连接AF1，AE1，AE.易知EF∥E1F1，所以直线AE1与EF所成的角为∠AE1F1(或其补角)．由题意知，在△AFE中，AF＝EF＝1，∠AFE＝2π3所以AE2＝AF2＋EF2－2AF·EF·cos∠AFE＝3.又FF1＝EE1＝6，所以AE12＝AE2+EE1所以AF12＝AF2+FF1在△AF1E1中，cos∠AE1F1＝AE12+E1FS412即直线AE1与EF所成角的大小为π36．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点，∠CGB＝70˚，则∠ED1F＝________.70˚解析：依题意，EC∥D1G且EC＝D1G，所以四边形ECGD1为平行四边形，所以GC∥D1E，同理可得GB∥D1F.又因为两角的两边方向相同，所以∠ED1F＝∠CGB＝70˚.7．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．3解析：画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF)．故共有3对．8．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是________.相交、平行或异面解析：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，此时a和c相交；②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行；③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面．9．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝π2，AB＝2(1)三棱锥P-ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．解：(1)由题意知PA为三棱锥P-ABC的高．因为∠BAC＝π2，AB＝2所以S△ABC＝12三棱锥P-ABC的体积V＝13S△ABC·PA＝1(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．因为∠BAC＝π2，所以BC＝AB2+AC2＝4.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝AB2+PA2在△ADE中，DE＝12BC＝2所以cos∠ADE＝AD2+DE故异面直线BC与AD所成角的余弦值为3410．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过()A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点MD解析：因为AB⊂γ，M∈AB，所以M∈γ.因为α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.根据基本事实3可知，点M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．所以γ与β的交线必经过点C和点M.11．(多选题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中，正确的有()A．直线AM与CC1是相交直线B．直线BN与MB1是异面直线C．AM与BN平行D．直线A1M与BN共面BD解析：A选项，因为A，M，C，C1四点不共面，所以根据异面直线的定义可得直线AM与CC1是异面直线，故A错误．B选项，因为B，N，M，B1四点不共面，所以根据异面直线的定义可得直线BN与MB1是异面直线，故B正确．C选项，如图，取DD1的中点E，连接AE，EN，则有AB∥EN，AB＝EN，所以四边形ABNE是平行四边形，所以AE∥BN.因为AM与AE交于点A，所以AM与AE不平行，则AM与BN不平行，故C错误．D选项，如图，连接MN，BA1，CD1.因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，所以MN∥D1C.由正方体的性质可知BA1∥D1C，所以MN∥A1B，所以A1，B，M，N四点共面，所以直线A1M与BN共面，故D正确．12．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，若直线AB1与侧面AA1C1C所成的角为π6，则异面直线A1B与AC所成的角的正弦值为(A．12 B．C．22 D．D解析：如图，取A1C1的中点H，连接B1H.根据题意易得B1H⊥侧面AA1C1C，所以直线AB1与侧面AA1C1C所成的角为∠B1AH＝π6在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1B1C1＝∠ABC＝π2，A1B1＝AB＝2，B1C1＝BC＝2所以A1C1＝22，又A1B1＝2，所以A1A＝B1A2－A1B1又BC＝2，所以BC1＝22，易知A1C1＝22，所以△A1BC1为等边三角