2025年高考数学总复习 40 第五章 第三节 平面向量的数量积及综合应用

第三节平面向量的数量积及综合应用考试要求：1．理解平面向量数量积的概念及其物理意义．2．了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、物理问题以及其他一些实际问题．自查自测知识点一向量的夹角1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)向量a与b的夹角的范围是(0，π)．(×)(2)在等边三角形ABC中，AB与BC的夹角为60˚.(×(3)若向量a，b共线，则它们的夹角θ＝π.(×)(4)若向量a，b的夹角θ＝π2，则a⊥b.(√2．(教材改编题)在△ABC中，∠C＝90˚，BC＝12AB，则AB与BC的夹角是A．30˚ B．60˚C．120˚ D．150˚C解析：如图，作向量AD＝BC，则∠BAD是向量AB与BC的夹角．在△ABC中，因为∠ACB＝90˚，BC＝12AB，所以∠ABC＝60˚，核心回扣1.定义：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a2．范围：向量夹角θ的范围是0≤θ≤π．3．共线与垂直：当a与b同向时，θ＝0；当a与b反向时，θ＝π；当a与b垂直时，θ＝π2注意点：分析两个向量的夹角，要求两个向量的起点重合，不重合时可以通过“平移”实现．自查自测知识点二平面向量的数量积1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为30˚，那么a·b等于()A．1 B．3C．3 D．33C解析：由题意可得a·b＝|a|·|b|cos30˚＝2×3×322．(教材改编题)已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO＝AB+AC，OA＝|AB|，则向量BA．14BC BC．－14BC DA解析：由2AO＝AB+AC知，O为BC因为O为△ABC的外接圆圆心，所以OA＝OB＝OC.因为OA＝AB，所以AB＝OB＝OA＝OC，所以△AOB为正三角形，∠ABO＝60˚.所以BA在BC上的投影向量为核心回扣1．数量积：a·b＝|a||b|cos_θ(a与b为非零向量，θ为向量a，b的夹角)．零向量与任一向量的数量积为0．2．投影向量：如图，OM＝a，ON＝b,MM1⊥ON，OM1是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，则OM＝|a|·cos〈a，b3．数量积a·b的几何意义：数量积a·b等于向量a的长度与向量b在向量a的方向上的投影的乘积．4．运算律：对于向量a，b，c和实数λ，有(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．注意点：由a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量．自查自测知识点三平面向量数量积的性质1．若向量a＝(1，2)，b＝(－3，4)，则a·b的值等于________；a与b夹角的余弦值等于________．555解析：因为a＝(1，2)，b＝(－3，4)所以a·b＝1×(－3)＋2×4＝5，|a|＝12+22＝所以cos〈a，b〉＝a·2．(教材改编题)已知向量a＝(2，t)，a－b＝(1，t－3)，若a⊥b，则t＝________．－23解析：因为a＝(2，t)，a－b＝(1，t－3)，所以b＝a－(a－b)＝(1，3)因为a⊥b，所以a·b＝(2，t)·(1，3)＝2＋3t＝0，解得t＝－23核心回扣已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论符号表示坐标表示模|a|＝a|a|＝x夹角cosθ＝acosθ＝xa⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0a·b|与|a||b|的关系||a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x【常用结论】1．平面向量数量积运算的常用公式：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论：(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.应用1已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B解析：根据向量数量积的定义可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角；若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．应用2已知向量a，b的夹角为30˚，且|a|＝3，b＝2，向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值为－1313解析：由题意知，p·q＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝－1|p|＝a+b2＝13，q＝a－b平面向量数量积的运算1．(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED＝(A．5 B．3C．25 D．5B解析：(方法一)以{AB，AD}为基底向量，可知AB＝则EC＝所以EC·ED＝12AB+AD·(方法二)如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，可得EC＝(1，2)，ED＝(－1，2)，所以EC·ED＝－1＋4＝(方法三)由题意可得ED＝EC＝5，CD＝2.在△CDE中，由余弦定理可得cos∠DEC＝DE2所以EC·ED＝ECEDcos∠DEC2．(2024·青岛模拟)在直角三角形ABC中，∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，若AD＝32AB，则A．－18 B．－63C．18 D．63C解析：由∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，得CB＝23，CA所以CD·CB＝CA+AD·CB＝CA·CB+3．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4.若AB·AC＝2AB12解析：(方法一：几何法)因为AB·AC＝2AB·AD，所以AB·AC－AB·AD＝AB·AD，所以AB·DC＝AB·AD.因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，所以2AB＝AB(方法二：坐标法)如图，建立平面直角坐标系．依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，则由AB·AC＝2AB·AD，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，整理得n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故AD·AC＝(m，m)·(m＋2，m)＝计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．平面向量数量积的性质【例1】(1)已知向量a和b的夹角为30˚，|a|＝1，|b|＝3，则a+2A．1＋23 B．19C．13+43 DB解析：根据向量的运算法则和数量积的定义，可得|a＋2b|＝a+(2)(2023·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，则cos〈a＋b，a－b〉＝()A．117 B．C．55 D．B解析：因为a＝(3，1)，b＝(2，2)，所以a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，则a+b＝52+32＝34，a－b＝12+－12＝2，(a＋b)·(a－b)＝5×(3)(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则()A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1D解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)．由(a＋λb)⊥(a＋μb)，可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.1．求平面向量的模的方法(1)公式法：利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|(2)几何法：利用向量的几何意义．2．求平面向量的夹角的方法(1)定义法：cosθ＝a·(2)坐标法．3．两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|2a－b|＝37，则a与b的夹角为()A．π3 B．C．π4 D．D解析：因为|2a－b|＝37，即4a2＋b2－4a·b＝37，即16＋9－4×2×3×cos〈a，b〉＝37，解得cos〈a，b〉＝－12因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝2π32．已知向量a，b的夹角为60˚，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．23解析：方法一a＝22+4(方法二)由|a|＝|2b|＝2及向量a，b的夹角为60˚可知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝OC.又∠AOB＝60˚，所以|a＋2b|＝23.3．(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足a－b＝3，a3解析：(方法一)因为a+b＝2a－b，即(a＋b)2＝则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0.又因为a－b＝3，即(a－b)则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以b＝(方法二)设c＝a－b，则c＝3，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋由题意可得(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即b＝平面向量数量积的应用考向1平面向量与三角函数【例2】已知向量m＝(sinα－2，－cosα)，n＝(－sinα，cosα)，其中α∈R.(1)若m⊥n，求α；(2)若|m－n|＝2，求cos2α的值．解：(1)若m⊥n，则m·n＝0，即－sinα(sinα－2)－cos2α＝0，即sinα＝12，可得α＝2kπ＋π6或α＝2kπ＋5π6，(2)若|m－n|＝2，则(m－n)2＝2，即(2sinα－2)2＋(－2cosα)2＝2，整理得4sin2α＋4－8sinα＋4cos2α＝2，即8－8sinα＝2，可得sinα＝34所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×916[变式]本例中条件改为“m＝(sinα－2，－cosα－1)，n＝(－sinα，cosα)”，若m∥n，求tanα.解：由m∥n得(－sinα)(－cosα－1)＝(sinα－2)cosα，化简得sinα＝－2cosα，所以tanα＝－2.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其解题思路是通过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性求解．考向2平面向量的最值问题【例3】在平面直角坐标系中，已知直线x＋2y－4＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，若点P(cosθ，sinθ)，则PA+PB的最大值为25＋2解析：由题意知，直线x＋2y－4＝0分别与x轴、y轴交于点A，B，则A(4，0)，B(0，2)．又P(cosθ，sinθ)，所以PA＝(4－cosθ，－sinθ)，PB＝(－cosθ，2－sinθ)，有PA+PB＝(4－2cosθ，2－2sinθ则PA+PB＝4＝24－85sinθ+φ当sin(θ＋φ)＝－1时，PA+PB且最大值为24+85＝26+25＝2(5+1向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围)．(2)利用基本不等式求最值(范围)．(3)建立坐标系，设变量，构造函数求最值(范围)．(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．1．在△ABC中，点P满足2BP＝PC，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N.若AM＝xAB，AN＝yAC(x>0，y>0)A．3 B．32C．1 D．1A解析：由题意知，AP＝又AM＝xAB，AN＝yAC(x＞0由M，P，N三点共线，得23x+所以2x＋y＝(2x＋y)23x+13y＝53+2故2x＋y的最小值为3.2．(2024·郑州模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60˚，M是线段AC上任意一点，则MB·MC的最小值是(A．－12 B．－C．－2 D．－4B解析：设MC＝λAC(λ∈[0，1])，则MB＝MA+AB＝所以MB·MC＝－1－λAC+AB·λ＝－9λ(1－λ)＋λ×2×3×cos60˚＝3λ(3λ－2)＝9λ－13由二次函数的性质知，当λ＝13时，MB·MC取得最小值为故MB·MC的最小值是－平面向量与三角形的“四心”在近几年的高考中经常考查向量的数量积及灵活运用，并需要一定的计算技巧，考查考生的理性思维的广度和深度以及进一步学习的能力，符合对数学能力考查的命题思想．在高考命题中，三角形的“四心”显得非常重要．平面几何中三角形的“四心”，即三角形的内心、外心、重心、垂心．在引入向量这个工具后，我们可以从动和静两个角度看三角形中的“四心”的向量表示：其一可以使我们对三角形中的“四心”有全新的认识；其二使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识.研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想．[典题展示](1)已知点M在△ABC所在的平面内，满足OM＝OA+λABABsinB+ACACsinC(λ∈A．内心 B．垂心C．外心 D．重心思路展示令△ABC边BC上的高为h，则有ABsinB＝ACsinC＝h，令边BC的中点为D，则AB+因此，AM＝OM－OA＝λABh所以动点M的轨迹一定通过△ABC的重心．故选D．(2)已知O为△ABC的外心，3OA+4OB+5OC＝0，则cosA．255 BC．1010 D．思路展示因为O为△ABC的外心，所以OA＝OB＝OC.设OA＝r，又4OB+所以16r2＋25r2＋40r2cos∠BOC＝9r2，所以cos∠BOC＝－45又∠BOC＝2∠BAC，所以cos2∠BAC＝2cos2∠BAC－1＝－45又0<∠BAC<π2，所以cos∠BAC＝1010.故选(3)若H为△ABC所在平面内一点，且HA2+BC2＝HB2+CA2＝A．重心 B．外心C．内心 D．垂心思路展示由HA2+BC2＝HB2+CA2得HA2＋BH+HC2＝HB2＋由HA2+BC2＝HC2+AB2得HA2＋BH+所以BH·AC＝0，即BH⊥由HB2+CA2＝HC2+AB2，得HB2＋CH+HA所以HA·CB＝0，即HA⊥CB.所以点H为△ABC的垂心．故选三角形“四心”的向量表示(1)在△ABC中，若OA＝OB＝OC或OA2＝OB2＝OC2，则点O是△ABC(2)在△ABC中，若GA+GB+GC＝0，则点G是(3)已知O，P为△ABC所在平面内的任意两点，若OP－OA＝λAB+12BC，λ∈(4)在△ABC中，若OA·OB＝OB·OC＝OC(5)在△ABC中，若BC·OA+AC·OB+AB·(6)已知O，P为△ABC所在平面内的任意两点，若OP＝OA+λABAB+ACAC(λ∈R课时质量评价(三十)1．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，a－2b＝3，则a·A．－2 B．－1C．1 D．2C解析：由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9.又|a|＝1，|b|＝3，所以代入得a·b＝1.2．已知向量a＝(－2，1)，b＝(3，0)，e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为()A．－5e B．C．－2e D．2eC解析：设a与b所成的角为θ，则cosθ＝a·故a在b上的投影向量为(|a|cosθ)e＝－2e.3．(多选题)已知向量m，n满足|m|＝1，|n|＝2，|m＋n|＝3，则下列说法正确的是()A．m·n＝－1B．m与n的夹角为2πC．|m－n|＝7D．(m＋n)⊥(m－n)ABC解析：因为|m|＝1，|n|＝2，|m＋n|＝3，所以m2+n2即1＋4＋2m·n＝3，解得m·n＝－1，故A正确；因为cos〈m，n〉＝m·nmn＝－12，且0≤所以〈m，n〉＝2π3，故B正确因为|m－n|2＝|m|2＋|n|2－2m·n＝1＋4＋2＝7，所以|m－n|＝7，故C正确；因为(m＋n)·(m－n)＝|m|2－|n|2＝1－4＝－3≠0，故D错误．4．(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于()A．－6 B．－5C．5 D．6C解析：由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即a·即25+3t5＝3＋t，解得5．(2024·宿州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝60˚，a＝3，S△ABC＝1534，则AB边上的中线长为(A．49 B．7C．49D解析：由S△ABC＝12absinC＝12×3×b不妨设AB的中点为M，则CM＝故CM＝12CA+CB2即AB边上的中线长为726．已知|a|＝4，b＝(－1，0)，且(a＋2b)⊥b，则a与b的夹角为________．2π3解析：由b＝(－1，0)，得|b|＝因为(a＋2b)⊥b，所以(a＋2b)·b＝0，即a·b＋2b2＝0，所以|a||b|cos〈a，b〉＋2|b|2＝0.因为|a|＝4，所以4cos〈a，b〉＋2＝0，所以cos〈a，b〉＝－12因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝2π37．已知AB＝(cos23˚，cos67˚)，BC＝(2cos68˚，2cos22˚)，则△ABC的面积为________22解析：根据题意知AB＝(cos23˚，cos67˚)所以BA＝(－cos23˚，－sin23˚)，则BA＝1.又因为BC＝(2cos68˚，2cos22˚)＝(2cos68˚，2sin68˚)，所以BC＝2.由BA·BC＝－2cos23˚cos68˚＝－2(cos23˚cos68˚＋sin23˚·sin68˚)＝－2×cos45˚＝－2，得cosB＝BA·BCBABC＝－22，所以B＝135˚.故S△8．在平面直角坐标系中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足AB－tOC·OC＝0，求解：(1)由题意可得AB＝(3，5)，AC＝(－1，1)，则AB+AC＝(2，6)，AB－AC＝所以AB+AC＝210，AB故所求的两条对角线的长分别为210，(2)由题意可得，OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t，5＋由AB－tOC·OC＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)即－6－4t－5－t＝0，从而5t＝－11，解得t＝－1159．(多选题)(数学与文化)八卦是中国古代哲学和文化中的一个重要概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，则下列结论正确的有()A．OA·B．OBC．AH·D．AHABD解析：对于A，OA·OD＝1×1×cos3π对于B，OB+OH对于C，AH＝BC，HO＝BO，但对应向量的夹角不相等，所以不成立，对于D，AH·AB＝AB2cosπ4，由余弦定理可得AB2＝2－10．(多选题)(2024·广东一模)已知向量a＝1，3，b＝(cosα，sinα)，则下列结论正确的是(ABDA．若a∥b，则tanα＝3B．若a⊥b，则tanα＝－3C．若a与b的夹角为π3，则D．若a与b方向相反，则b在a上的投影向量的坐标是－11．(2022·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90˚