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阶段复习检测(七)立体几何教师用书独具(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018·大连调研)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中点P是棱CD上一点,则三棱锥P-A1B1A解析:选D在长方体ABCD-A1B1C1D1中,从左侧看三棱锥P-A1B1A,B1,A1,A的射影分别是C1,D1,D;AB1的射影为C1D,且为实线,PA1的射影为PD1,且为虚线.2.若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是()A.平行 B.异面C.相交 D.平行、异面或相交解析:选D经验证,当平行、异面或相交时,均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现,故选D.3.已知直线m,l与平面α,β,γ满足β∩γ=l,l∥α,mα,m⊥γ,则下列命题一定正确的是()A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ解析:选A∵mα,m⊥γ,∴α⊥γ,∵β∩γ=l,∴lγ,∴l⊥m,故A一定正确.故选A.4.(2018·唐山模拟)在《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的表面积为()A.4 B.6+4eq\r(2)C.4+4eq\r(2) D.2解析:选B由三视图可知,该几何体是底面为斜边长为2的等腰直角三角形,高为2的直三棱柱,所以该几何体的表面积为2×2+2eq\r(2)×2+2×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)=6+4eq\r(2),故选B.5.(2018·承德模拟)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:①若m⊥α,mβ,则α⊥β;②若mα,nα,m∥β,n∥β,则α∥β;③mα,nα,m,n是异面直线,那么n与α相交;④若α∩β=m,n∥m,且neq\o(⊆,/)α,neq\o(⊆,/)β,则n∥α且n∥β.其中正确的命题是()A.①② B.②③C.③④ D.①④解析:选D①若m⊥α,mβ,则α⊥β;这符合平面垂直平面的判定定理,正确的命题.②若mα,nα,m∥β,n∥β,则α∥β;可能n∥m,α∩β=l.错误的命题.③mα,nα,m,n是异面直线,那么n与α相交;题目本身错误,是错误命题.④若α∩β=m,n∥m,且neq\o(⊆,/)α,neq\o(⊆,/)β,则n∥α且n∥β.是正确的命题.故选D.6.一个几何体的三视图如图所示,则其体积为()A.π+2 B.2π+4C.π+4 D.2π+2解析:选A由三视图可得,直观图是直三棱柱与半圆柱的组合体,体积为eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×2+eq\f(1,2)×π×12×2=π+2.故选A.7.(2018·长沙模拟)已知三棱锥A-BCD的各棱长都相等,E为BC中点,则异面直线AB与DE所成角的余弦值为()A.eq\f(5\r(3),6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(33),6) D.eq\r(11)解析:选B取AC中点O,连接DO,EO,∵三棱锥A-BCD的各棱长都相等,E为BC中点,∴EO∥AB,∴∠DEO是异面直线AB与DE所成角(或所成角的补角),设三棱锥A-BCD的各棱长为2,则DE=DO=eq\r(4-1)=eq\r(3),OE=1,∴cos∠DEO=eq\f(DE2+OE2-DO2,2×DE×OE)=eq\f(3+1-3,2×\r(3)×1)=eq\f(\r(3),6).∴异面直线AB与DE所成角的余弦值为eq\f(\r(3),6).故选B.8.(2018·衡水模拟)已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图是()解析:选D三棱锥的三视图均为三角形,四个答案均满足;且四个三视图均表示一个高为3,底面为两直角边分别为1,2的棱锥,A与C中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,故A,C表示同一棱锥,设A中观察的正方向为标准正方向,以C表示从后面观察该棱锥,B与D中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同,不满足实际情况,故B,D中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥,根据B中正视图与A中侧视图相同,侧视图与C中正视图相同,可判断B是从左边观察该棱锥.故选D.9.(2018·邯郸模拟)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()A.若m∥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥nB.若m⊥α,n⊥β且m⊥n,则α⊥βC.若α⊥β,m∥n且n⊥β,则m∥αD.若mα,nβ且m∥n,则α∥β解析:选B若m∥α,n⊥β且α⊥β,则m与n相交、平行或异面,故A错误;若m⊥α,n⊥β且m⊥n,则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β,故B正确;若α⊥β,m∥n且n⊥β,则m∥α或mα,故C错误;若mα,nβ且m∥n,则α与β相交或平行,故D错误.故选B.10.(2018·襄阳模拟)一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是10+2eq\r(5),则图中x的值为()A.5 B.eq\r(2)C.2 D.eq\r(5)解析:选D如图所示,该几何体为四棱锥P-ABCD,其中PA⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形.该几何体的表面积10+2eq\r(5)=22+2×eq\f(1,2)×2x+2×eq\f(1,2)×2×eq\r(22+x2),解得x=eq\r(5).故选D.11.(2018·洛阳模拟)在四面体S-ABC中,SA⊥平面ABC,∠BAC=120°,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外接球的表面积为()A.11π B.eq\f(28π,3)C.eq\f(10π,3) D.eq\f(40π,3)解析:选D∵AC=2,AB=1,∠BAC=120°,∴BC=eq\r(4+1-2×2×1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2))))=eq\r(7),设三角形ABC的外接圆半径为r,2r=eq\f(\r(7),sin120°),r=eq\f(\r(21),3),∵SA⊥平面ABC,SA=2,由于三角形OSA为等腰三角形,O是外接球的球心.则有该三棱锥的外接球的半径R=eq\r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(21),3)))2)=eq\r(\f(10,3)),∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(10,3))))2=eq\f(40π,3).故选D.12.(2018·日照模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠ACB=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,若PA=AB=2,∠BPC=θ,则当△AEF的面积最大时,tanθ的值为()A.2 B.eq\f(1,2)C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)解析:选D在Rt△PAB中,PA=AB=2,∴PB=2eq\r(2),∵AE⊥PB,∴AE=eq\f(1,2)PB=eq\r(2),∴PE=BE=eq\r(2).∵PA⊥底面ABC,BC平面ABC,得PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,AF平面PAC,可得AF⊥BC,∵AF⊥PC,BC∩PC=C,∴AF⊥平面PBC,∵PB平面PBC,∴AF⊥PB,∵AE⊥PB且AE∩AF=A,∴PB⊥平面AEF,结合EF平面AEF,可得PB⊥EF.Rt△PEF中,∠EPF=θ,可得EF=PE·tanθ=eq\r(2)tanθ,∵AF⊥平面PBC,EF平面PBC.∴AF⊥EF.∴Rt△AEF中,AF=eq\r(AE2-EF2)=eq\r(2-2tan2θ),∴S△AEF=eq\f(1,2)AF·EF=eq\f(1,2)×eq\r(2)tanθ×eq\r(2-2tan2θ)=eq\r(-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan2θ-\f(1,2)))2+\f(1,4)),∴当tan2θ=eq\f(1,2),即tanθ=eq\f(\r(2),2)时,S△AEF有最大值为eq\f(1,2),故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积是________.解析:圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆,所以圆锥的底面周长为2π,底面半径为1,圆锥的高为eq\r(3),圆锥的体积为eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)=eq\f(\r(3),3)π.答案:eq\f(\r(3),3)π14.(2018·衡水模拟)己知三个不同的平面α,β,γ满足α⊥γ,β⊥γ,则α与β的关系是________.解析:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1平面ADD1A1⊥平面ABCD平面DCC1D1⊥平面ABCD,平面ADD1A1∩平面DCC1D1=DD1平面ADD1A1⊥平面ABCD平面BCC1B1⊥平面ABCD,平面ADD1A1∥平面BCC1B1∴三个不同的平面α,β,γ满足α⊥γ,β⊥γ,则α与β相交或平行.答案:相交或平行15.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析:连接AC,BD,则AC⊥BD,∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD.又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.答案:DM⊥PC(或BM⊥PC)16.(2018·银川模拟)已知一个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,若球的半径为1,则当圆锥的体积最大时,圆锥的高为________.解析:设圆锥高为h,底面半径为r,则12=(h-1)2+r2,∴r2=2h-h2,∴V=eq\f(1,3)πr2h=eq\f(π,3)h(2h-h2)=eq\f(2,3)πh2-eq\f(π,3)h3,∴V′=eq\f(4,3)πh-πh2,令V′=0得h=eq\f(4,3)或h=0(舍去),当0<h<eq\f(4,3)时,V′>0,函数V是增函数;当eq\f(4,3)<h<2时,V′<0.函数V是减函数,因此当h=eq\f(4,3)时,函数取得极大值也是最大值,此时圆锥体积最大.答案:eq\f(4,3)三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)如图所示,E是以AB为直径的半圆弧上异于A,B的点,矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面.(1)求证:EA⊥EC;(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.求证:EF∥AB.证明:(1)∵E是半圆上异于A,B的点,∴AE⊥EB.又∵平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB,CB⊥AB,∴CB⊥平面ABE.又∵AE平面ABE,∴CB⊥AE.∵BC∩BE=B,∴AE⊥平面CBE.又∵EC平面CBE,∴AE⊥EC.(2)∵CD∥AB,AB平面ABE,∴CD∥平面ABE.又∵平面CDE∩平面ABE=EF,∴CD∥EF.又∵CD∥AB,∴EF∥AB.18.(12分)如图(a),在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图(b)所示.(1)求证:BC⊥平面ACD;(2)求几何体D-ABC的体积.(1)证明:在图中,可得AC=BC=2eq\r(2),从而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC,又平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,BC平面ABC,∴BC⊥平面ACD.(2)解:由(1)可知,BC为三棱锥B-ACD的高,BC=2eq\r(2),S△ACD=2,∴VB-ACD=eq\f(1,3)S△ACD·BC=eq\f(1,3)×2×2eq\r(2)=eq\f(4\r(2),3),由等体积性可知,几何体D-ABC的体积为eq\f(4\r(2),3).19.(12分)(2018·驻马店模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,E为AC与BD的交点,PA⊥平面ABCD,M为PA中点,N为BC中点.(1)证明:直线MN∥平面PCD;(2)若点Q为PC中点,∠BAD=120°,PA=eq\r(3),AB=1,求三棱锥A-QCD的体积.(1)证明:取PD中点R,连接MR,CR,∵M是PA的中点,R是PD的中点,∴MR=eq\f(1,2)AD,MR∥AD,∵四边形ABCD是菱形,N为BC的中点,∴NC=eq\f(1,2)AD,NC∥AD.∴NC∥MR,NC=MR,∴四边形MNCR为平行四边形,∴MN∥CR,又CR平面PCD,MNeq\o(⊆,/)平面PCD,∴MN∥平面PCD.(2)解:∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,∴AC=AD=CD=1,∴S△ACD=eq\f(\r(3),4).∵Q是PC的中点,∴Q到平面ABCD的距离h=eq\f(1,2)PA=eq\f(\r(3),2).∴VA-QCD=VQ-ACD=eq\f(1,3)×S△ACD×eq\f(1,2)PA=eq\f(1,8).20.(12分)(2018·贵阳模拟)如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB的中点,D为PB的中点,且△PMB为正三角形.(1)求证:BC⊥平面APC;(2)若BC=6,AB=20,求三棱锥D-BCM的体积.(1)证明:由△PMB为正三角形得MD⊥PB,由M为AB的中点,得MD∥AP,所以AP⊥PB,可证得AP⊥平面PBC,所以AP⊥BC,又AC⊥BC,AP∩AC=A,所以得BC⊥平面APC.(2)解:由题意可知,MD⊥平面PBC,∴MD是三棱锥D-BCM的高,BM=eq\f(1,2)AB=10,DM=eq\f(\r(3),2)BM=5eq\r(3),BD=eq\f(1,2)PB=5,在直角三角形ABC中,M为斜边AB的中点,CM=eq\f(1,2)AB=10,在直角三角形CDM中,CD=eq\r(CM2-DM2)=5,∴三角形BCD为等腰三角形,底边BC上的高为4,∴VD-BCM=VM-DBC=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×4×5eq\r(3)=20eq\r(3).21.(12分)如图所示,点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点,PM⊥BB1交AA1于点M,PN⊥BB1交CC1于点N(1)求证:CC1⊥MN;(2)在任意△DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.(1)证明:∵PM⊥BB1,PN⊥BB1,PM∩PN=P,∴BB1⊥平面PMN,∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1,∴CC1⊥MN.(2)解:在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,有S2ABB1A1=S2BCC1B1+S2ACC1A1-2SBCC1B1·SACC1A1其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成

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