第5章 导数及其应用章末题型归纳总结（解析版）

第5章导数及其应用章末题型归纳总结目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：导数的计算经典题型二：函数的单调性与导数经典题型三：切线方程问题经典题型四：距离最值问题经典题型五：最值与极值问题经典题型六：恒成立问题经典题型七：构造函数解不等式问题经典题型八：与导数有关的实际应用问题经典题型九：证明不等式问题经典题型十：零点问题模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：导数的计算例1．（2023·安徽滁州·高二校考阶段练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（

）

A．B．C．D．【答案】B【解析】由图象可知在上单调递增，，故，即．故选：B．例2．（2023·河北廊坊·高二校联考开学考试）函数在上可导，若，则（

）A．12 B．9 C．6 D．3【答案】A【解析】．故选：A例3．（2023·四川雅安·高二校考阶段练习）已知函数，则（

）A．－1 B．0 C．1 D．【答案】C【解析】由已知可得，，所以，，所以，.故选：C.例4．（2023·新疆伊犁·高二统考期中）已知函数的导函数为，且满足，则（

）A． B．-1 C． D．0【答案】A【解析】，因此有，故选：A例5．（2023·全国·高二随堂练习）已知，，，，求下列函数在处的导数值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）设，则，所以.（2）设，则，所以（3）设，则所以（4）设，则，所以（5）设，则所以.（6）设，所以例6．（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则有．（2）函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则有．（3）函数可以看作函数和的复合函数．根据复合函数的求导法则有．例7．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.经典题型二：函数的单调性与导数例8．（2023·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）函数的单调递减区间是.【答案】【解析】易知的定义域为，则，令，解得；即可知函数在区间上是单调递减的，所以函数的单调递减区间是.故答案为：例9．（2023·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为．【答案】【解析】由题意得，，则由题意可知在上，恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，因为在上，，所以．故答案为：例10．（2023·广东肇庆·高二校考阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的最小值为.【答案】【解析】由题意得，因为函数在上单调递增，所以，即在上恒成立，所以，即实数的最小值为.故答案为：例11．（2023·江苏苏州·高二江苏省苏州第一中学校校考阶段练习）函数的增区间为．【答案】【解析】由函数，可得，因为，令，即，解得，所以函数的递增区间为.故答案为：.例12．（2023·北京海淀·高二统考期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是．【答案】【解析】由题意可知在上恒成立，所以在上恒成立，记，当单调递增，当单调递减，故当取极小值也是最小值，且，故，即，所以，故答案为：例13．（2023·四川自贡·高二统考期末）已知函数，若，则的范围是．【答案】【解析】由函数，可得，即为R上的单调递增函数，故由可得，即的范围是，故答案为：例14．（2023·北京通州·高二校考阶段练习）若在上是减函数，则b的取值范围是.【答案】【解析】因为，所以，因为在上是减函数，所以在上恒成立，即，所以当时，，所以，故答案为：例15．（2023·陕西延安·高二陕西延安中学校考期中）已知函数．(1)若的图象在处的切线与直线垂直，求实数的值；(2)讨论在上的单调性．【解析】（1）已知函数，则，因为的图象在处的切线与直线垂直，所以，则有，所以的值为.（2）由（1）知，令，对称轴为，所以在上单调递增，则在上有最小值为，所以，当，即时，，在上单调递增，当，即时，在上有唯一零点，即，在上，，在上，，所以在上，在上单调递减，在上，在上单调递增.例16．（2023·全国·高二专题练习）已知函数（为自然对数的底数）.若时，求函数的单调区间.【解析】由题知，①若，则，当或时，；当时，，在，上单调递增，在上单调递减；②若，则，，在上单调递增；③若，则，当或时，；当时，，在，上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，的单调增区间为，，单调减区间为；当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为，，单调减区间为.例17．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性；【解析】，令，则或，①若，则有，所以函数在R上为增函数；②若，当或时，，当时，，所以函数在和上递增，在上递减；③若，当或时，，当时，，所以函数在和上递增，在上递减；综上所述，当时，函数在和上递增，在上递减；当时，函数在R上为增函数；当时，函数在和上递增，在上递减.例18．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，讨论的单调性.【解析】因为，所以的定义域是，，当时，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增；当时，由得或，当时，，当或时，，当时，，则在和上单调递增，在上单调递减；当时，，恒成立，在上单调递增；当时，，当或时，，当时，，则在和上单调递增，在上单调递减；综上所述，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.例19．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．讨论函数的单调性；【解析】因为，所以的定义域为，，①当时，，在上单调递减；②当时，令，得，当时，；当时，.③当时，令，得，当时，；当时，.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.例20．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，讨论的单调性；【解析】由函数定义域为R，可得，当时，恒成立，故在R上单调递减；当时，令，解得，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，当时，令，解得，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，综上：时，在R上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减.例21．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性.【解析】由题意可得：函数的定义域为，，（i）当时，恒成立，在上单调递增；（ⅱ）当时，令，解得，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.经典题型三：切线方程问题例22．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，切线的斜率为，因为切线与直线垂直，所以，解得．故选：D．例23．（2023·西藏日喀则·高二统考期末）已知函数的图象在点处的切线与平行，则（

）A．-1 B．1 C．-2 D．2【答案】B【解析】，因为函数的图象在点处的切线斜率为2，可得，解得.故选：B.例24．（2023·吉林长春·高二长春外国语学校校考阶段练习）已知曲线在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为1，则实数的值为（

）A．0或1 B．1或 C．0或 D．或【答案】B【解析】由函数，可得，则且，所以曲线在处的切线方程为，取，可得；取，可得，因为在处的切线与坐标轴围成三角形的面积为1，可得，解得或.故选：B.例25．（2023·黑龙江哈尔滨·高二统考期末）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义是函数零点近似解的初始值，在点处的切线方程为，切线与轴交点的横坐标为，即为函数零点近似解的下一个初始值.以此类推，满足精度的初始值即为函数零点近似解.设函数，满足，应用上述方法，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】因为，导数为，可得，，可得在处的切线的方程为，又因为，满足切线的方程，可得，解得，由得，，故选：B例26．（2023·陕西宝鸡·高二统考期末）若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函数，可得，设切点的坐标为，则在切点处的切线方程为，把点代入，可得，整理得，因为过点可作曲线的两条切线，则方程有两个不等的实根，所以，即，分别把点代入验证，可得只有满足，所以点可以是.故选：D.例27．（2023·山东菏泽·高二统考期末）如图，函数的图象在点处的切线是，则（

）

A．1 B．2 C．0 D．【答案】C【解析】由图象可得切线过点，所以切线的方程为，即，所以切线的斜率为，所以因为点在切线上，所以，所以，所以，故选：C例28．（2023·四川绵阳·高二校考期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（

）A．2 B．3 C．1 D．1.5【答案】A【解析】若，则，且，若，则，且，又是、的公切线，设切点分别为、，则，，则，即.故选：A例29．（2023·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考阶段练习）若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数a等于（

）A． B．－ C．－ D．【答案】B【解析】由题设，的导函数为；的导函数为，设公共点为且m>0，则，，则公共点处的切线为，即；公共点处的切线为，即；因为公共点处切线相同，则，可得，则.故选：B例30．（2023·全国·高三校联考开学考试）若曲线存在垂直于y轴的切线，则a的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，f(x)存在垂直与y轴的切线，即存在切线斜率的切线，又，，∴有正根，即有正根，即函数y＝－2a与函数的图像有交点，令，则g(t)＝，∴g(t)≥g()＝，∴－2a≥，即a≤.故选：C.例31．（2023·山西太原·高二统考期末）已知曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点，则实数（

）A．2 B．0或2 C． D．或0【答案】D【解析】由，则，而，∴处的切线方程为，即.又与有一个公共点，∴，整理得，当时，，可得，当时，显然只有一个解，符合题设；∴或.故选：D.例32．（2023·全国·模拟预测）已知曲线在处的切线经过点，则的大致范围是（

）（参考数据：，）A．（2，e） B．（e，3） C．（3，4） D．（4，5）【答案】C【解析】∵，∴曲线在处的切线方程是，由切线经过点，得．令，显然单调递减，∵，，∴的大致范围是．故选：C经典题型四：距离最值问题例33．（2023·吉林白山·高二校联考期末）已知点在函数的图象上，点在直线上，则，两点之间距离的最小值是（

）A． B．4 C． D．8【答案】A【解析】设，，过点的切线恰好与直线平行，则，即，所以，则，即，此时到直线的距离，所以，两点之间距离的最小值为.故选：A例34．（2023·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）已知点P（x,y）是曲线上的一动点，则点P（x,y）到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当曲线在点P处的切线与直线平行时，点P到该直线的距离最小，，由直线的斜率，则，得，有，所以，∴到直线距离.故选：C.例35．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）若点，，则、两点间距离的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】点在直线，点在上，，设的切线的切点为，令，所以在点处的切线为,此时切线与直线平行，直线与之间的距离为的最小值，故选：B例36．（2023·北京西城·高二统考期末）设P为曲线上一点，Q为曲线上一点，则|PQ|的最小值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】，，时，，，所以是图象的一条切线，切点为，，，时，，，所以是的图象的一条切线，切点为，，这两条切线平行，两切点连线恰好与切线垂直，|PQ|的最小值即为两切点间的距离．所以，故选：C．例37．（2023·湖北十堰·高二统考期末）已知直线与及的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（

）．A．1 B． C． D．【答案】D【解析】令，则．当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，即最小值为．故选：D例38．（2023·山西运城·高二康杰中学校考开学考试）函数，的图象与直线分别交于两点，则的最小值为（

）A．1 B． C．3 D．2【答案】C【解析】设，则所以，，所以，令，得，此时单调递减，令，得，此时单调递增，所以，则，则.故选：C例39．（2023·江西南昌·高二校联考期末）曲线上的点到直线的距离的最小值是（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【解析】因为，所以，设切点为，则，解得，所以切点为，点到直线的距离，所以曲线上的点到直线的距离的最小值是；故选：D经典题型五：最值与极值问题例40．（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的单调区间和极值．(1)；(2)．【解析】（1）因为，所以恒为正，在上单调递增，因此没有极值．（2）．令，得或．1和2将区间分为三个区间，列表如下：1200递减极小值0递增极大值1递减故在和上单调递减，在上单调递增，因而极大值为1，极小值为0．例41．（2023·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）已知是函数的极小值点．(1)求实数的取值范围；(2)求的极大值．【解析】（1）因为，令，解得或，当，即时，在上单调递增，无极值点，不合题意；当，即时，令，解得或；令，解得；则在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，不合题意；当，即时，令，解得或；令，解得；则在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极小值点，符合题意；综上所述：实数的取值范围.（2）由（1）可知：在，上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为.例42．（2023·甘肃武威·高二校联考期中）已知函数.(1)求在处的切线方程；(2)求函数的极值.【解析】（1）函数的定义域为，且，所以，故在处的切线方程为，即，所以函数在处的切线方程为：；（2）令，则，解得，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当时，取得极大值；当时，取得极小值.例43．（2023·四川雅安·高二校考阶段练习）设曲线在点处的切线方程为（其中，a，，是自然对数的底数）.(1)求a，b的值；(2)求在区间上的最大值和最小值.【解析】（1）由得，依题可得：，所以.又，所以，所以，.（2）由（1）知，则，令，解得或2，令，解得，令，解得或.所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.又，，，，故在区间上的最大值为，最小值为.例44．（2023·湖北黄冈·高二校考阶段练习）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【解析】（1），则，而，故在点处的切线方程为（2），当时，，单调递增，当时，，单调递减，当，最大值为，而，，故最小值为0.例45．（2023·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知函数，其中(1)当时，求函数的单调区间；(2)若恒成立，求的最小值.【解析】（1）由已知条件得，其中的定义域为，则，当时，，当时，，可知：的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）①由恒成立，即恒成立，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，上单调递减，，所以a的最小值为例46．（2023·高二课时练习）已知函数在上的最小值为，求a的值.【解析】由，，得，当时，当时，，则在上单调递增，，不合题意；当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，解得，不满足，故舍去；当时，当时，，则在上单调递减，，所以，满足题意.综上所述，.经典题型六：恒成立问题例47．（2023·新疆喀什·高二统考期末）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程.(2)若在定义域上恒成立，则a的取值范围.【解析】（1）由题得，又所求切线方程为；（2）令解得令解得故函数在区间上单调递减；在区间上单调递增，所以根据题意得即的取值范围为.例48．（2023·天津·高二天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）已知函数其中为常数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.【解析】（1）当时，，则，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，（2）的定义域为，由，得，当时，，当时，，所以的递增区间为，递减区间为，（3）由（2）可知当取得最大值，因为对任意，不等式恒成立，所以，即，，解得或，即的取值范围为.例49．（2023·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期中）已知函数，（其中）．(1)若，求函数的单调区间；(2)若对于任意，都有成立，求的取值范围．【解析】（1）若，则，，令，可得或，令，可得，所以单调增区间为和，单调减区间为.（2）因为对于任意，都有成立，所以对于任意，都有成立,即对于任意，；因为，所以对于任意，.设，其中，则，因为，所以，所以，因此在单调递增，所以，所以，即，故的取值范围为.例50．（2023·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）已知函数.(1)若，求函数在处的切线方程；(2)若函数在上严格增，求实数的取值范围.【解析】（1），，所以，，即切线的斜率，切点，所以切线方程为：，即，故切线方程为；（2）因为函数在上严格增，所以在恒成立，所以在恒成立，即在恒成立，所以小于等于的最小值，因为，所以，故的取值范围为.例51．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）已知函数．(1)求函数的单调增区间；(2)若对任意的，都有恒成立，求的取值范围．【解析】（1）因为，该函数的定义域为，，由可得，解得或，所以，函数的单调递增区间为、.（2）因为，由可得，因为，列表如下：增减增所以，当时，，因为对任意的，都有恒成立，则.因此，实数的取值范围是.例52．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其图象在点处的切线方程为．(1)求，的值与函数的单调区间；(2)若对，，不等式恒成立，求的取值范围．【解析】（1），，函数的图象在点处的切线方程为．解得，．，令，解得或；令，解得．函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．（2）由（1）可得：，．令，则，所以当变化时，的变化情况如下：，02，00单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：当时，函数取得极大值，，又．函数在上的最大值为8．由，不等式恒成立，．，解得或．的取值范围是．例53．（2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）已知函数(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，函数在上的最大值为M，若存在，使得成立，求实数b的取值范围．【解析】（1）由题设，由，则，当变化时、随的变化情况如下表：1+0-0+增减增所以，函数的递增区间为，，递减区间为；（2）由（1）知，时，在上递增，在上递减，所以，存在使，只需在上的最大值大于等于，所以有，解得，所以b的取值范围是．例54．（2023·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程;(2)若恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，，即切点，，则，所以切线，即.（2）恒成立，所以恒成立，即恒成立.设，，所以，，为增函数，，，为减函数，所以，即.故实数的取值范围.经典题型七：构造函数解不等式问题例55．（2023·四川眉山·高二统考期末）函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，因为，所以，又，所以在上单调递增，不等式即，所以，所以，即不等式的解集为.故选：A例56．（2023·广东东莞·高二校联考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则，所以在R上递增，又，则不等式等价于，所以，故选：A例57．（2023·湖北武汉·高二武汉市育才高级中学校联考期末）已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，，当时，，且，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为当时，，所以在单调递减；当时，，所以在单调递增，因为定义域为的奇函数，则过点，且，则过点，由奇函数的图象关于原点对称，画出示意图如下：或，故选：D.例58．（2023·贵州·高二校联考阶段练习）已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】构造函数，因为，所以，可知函数在上单调递增，，不等式化为，即，由单调递增可得，即.故选:C.例59．（2023·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）已知函数满足，且的导函数，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，因为，所以，即函数在上单调递减，则，即，即，所以，即的解集为.故选：D例60．（2023·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）函数的定义城为，，对任意，，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，则，因为，所以，所以在上单调递减.又因为，所以即的解集为.故选：D.例61．（2023·湖北·高二校联考期中）已知函数的定义域为R，为的导函数，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意，构造函数，则，所以函数在R上单调递增，又，即，所以，即，解得.故选：D.例62．（2023·山东济南·高三统考期末）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则，在上单调递增，，则不等式，即为，即为，，所以不等式的解集为.故选：B经典题型八：与导数有关的实际应用问题例63．（2023·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克．(1)求的解析式；(2)若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大．【解析】（1）由题意可知，当时，，当时，，即，解得，所以，，（2）设每日销售该商品获利元，则，则，令，得或舍去，所以时，，为增函数，时，，为减函数，所以时，取得最大值，，所以销售价格定为元千克，商家每日获利最大．例64．（2023·高二课时练习）已知某厂生产一种产品的总成本C（单位：万元）与产品件数x满足函数关系，产品单价P（单位：万元）和产品件数x满足函数关系．问：产量为多少件时，总利润最大？【解析】设总利润为，则总销售量－总成本C(x)＝产品件数产品单价－C(x)，即，，令，可得，可得，所以在上递增，在上递减.当时，总利润最大.例65．（2023·黑龙江绥化·高二校考阶段练习）消毒液已成为生活必需品，日常的消费需求巨大．某商店销售一款酒精消毒液，每件的成本为元，销售人员经调查发现，该款消毒液的日销售量（单位：件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式．(1)求该款消毒液的日利润与销售价格间的函数关系式；(2)求当该款消毒液每件售价为多少元时，每日销售该款消毒液所获得的利润最大，并求出日最大利润．【解析】（1）由题意知：，即.（2）由（1）得：，令，解得：（舍），，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，又，当时，；当时，；当该款消毒液每件售价为元时，每日销售该款消毒液所获得的利润最大，最大利润为元.例66．（2023·高二课时练习）如图是一张边长为3的正方形硬纸板，现把它的四个角上裁去边长为x的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．当裁去的小正方形边长x发生变化时，纸盒的容积V会随之发生变化．当x在什么范围内变化时，容积V随着x的增大而增大？x在什么范围内变化时，容积V随着x的增大而减小？当x取何值时，容积V最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计）

【解析】由题意，得，．求导可得，令，得与，令，解得时，；令，解得．因此，当时，容积V随着x的增大而增大；当时，容积V随着x的增大而减小；而当时，容积是极大值，也是最大值．例67．（2023·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）如图，某企业有甲、乙、丙三个工厂，甲、乙厂分别位于笔直河岸的岸边A，B处，丙厂与甲、乙厂在河的同侧，位于C处，CD垂直于河岸，垂足为D，且D与C相距20千米，D与A相距60千米，B与A相距20千米．现要在此岸边BD（不包括端点）之间建一个物流供货站E，假设运输时从供货站到甲、乙、丙三厂均沿直线行驶，从供货站到甲、乙厂的运输费用均为每千米2a元，从供货站到丙厂运输费用是每千米5a元，问：供货站E建在岸边何处才能使总运输费用最省？

【解析】根据题意设供货站E建在与D相距x千米处，．此时，，．设总运输费用为y元，则，则．令，解得；令，解得，所以函数在上单调递减，在单调递增，所以函数在处取得最小值此时千米，千米．即供货站E建在岸边BD之间距乙厂千米处时，总运输费用最省．例68．（2023·高二课时练习）如图，工厂A到铁路专用线的距离km，在铁路专用线上距离B100km的地方有一个配件厂C，现在准备在专用线的BC段选一处D铺设一条公路（向着A），为了使得配件厂到工厂A的运费最省，那么D处应如何选址？（已知每千米的运费铁路是公路的60%）【解析】设，，设公路每千米的运费为，则铁路每千米的运费为，则配件厂到工厂A所需的总运费为令，即，得，解得（不合题意，舍去）当时，；当时，，即当时，函数取最小值.故处选在距点处km时运费最省.经典题型九：证明不等式问题例69．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数.(1)求的最小值；(2)证明：.【解析】（1）显然该函数的定义域为全体正实数，由，当时，，所以函数单调递增，当时，，所以函数单调递减，因此；（2）由（1）可知：，即，即，当时，.例70．（2023·河北沧州·高二校考阶段练习）求证：【解析】证明：不妨设，则若证，只需证即证：设则所以函数在上单调递增因为，所以，即所以原不等式成立例71．（2023·新疆喀什·高三统考期末）已知函数.(1)求函数的极大值；(2)求证：.【解析】（1）由题意可得的定义域为，且，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值为.（2）由（1）可得：对任意恒成立，即，可得，当且仅当x=1时，等号成立，令，则，故.例72．（2023·湖南·高二南县第一中学校联考期中）已知函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求a，b的值；(2)证明：．【解析】（1）∵，∴，∵曲线在点处的切线方程为，∴，解得，．（2）由（1）知，，∴当时，，为减函数，当时，，为增函数，∴的最小值为，∴，即证.例73．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（）．(1)若存在两个极值点，求实数的取值范围；(2)若，为的两个极值点，证明：．【解析】（1）（1），，若存在两个极值点，则在上有两个根，所以有两个根，即与，有两个交点，，所以在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以时，，所以，所以的取值范围为．（2）证明：由（1）知，且，，所以，所以只需证明，令，故，原不等式等价于对成立，令，，所以单调递减，则有（1）．例74．（2023·浙江·高三专题练习）证明以下不等式：(1)；(2)；(3).【解析】（1）令，则有.令，即，解得；令，即，解得，所以在单调递减，上单调递增，所以，即.所以.（2）令，则.令，即，解得；令，即，解得，所以在单调递增，上单调递减，所以，即，所以.（3）由（1）得，所以（当且仅当时取等号）①.由（2）得，所以（当且仅当时取等号）②因为①式与②式取等号的条件不同，所以.经典题型十：零点问题例75．（2023·北京大兴·高三北京市大兴区第一中学校考阶段练习）已知，(1)求的极值；(2)若函数存在两个零点，求的取值范围.【解析】（1）令且，则，当时，当时，所以在上递增，上递减，故的极大值为，无极小值.（2）由题设，有两个根，即与有两个交点，由（1）知：在上递增，上递减，在上，在上，且当趋向正无穷时趋向于0，综上，只需，即.例76．（2023·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在上的单调区间、最值．(3)设在上有两个零点，求的范围.【解析】（1）由题意知，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）由得，当时，，所以函数在上的单调递增；当时，，所以函数在上的单调递减.所以函数在上的单调增区间为，单调减区间为.所以，又，，所以.（3）在上有两个零点，即有两个不等根，由（2）知.例77．（2023·西藏林芝·高三校考阶段练习）已知函数(1)当时，求的函数值；(2)若有三个零点，求的取值范围.【解析】（1）当时，,则.（2）,若，则，则函数在上单调递增，此时函数至多有一个零点，不满足题意；若，令，解得或，令，解得，所以函数在单调递增，单调递减，单调递增，要使函数有三个零点，只需，即，解得，综上，.例78．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期中）已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，所以，所以当或时，当时，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，因为函数在上有两个不同的零点，所以，即，解得，即实数的取值范围为.例79．（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）已知函数.(1)讨论的最值；(2)设，若恰有个零点，求实数的取值范围.【解析】（1）由题得，，当时，，在上单调递减，故无最值当时，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故在处取得唯一的极小值，即为最小值，即，综上所述，当时，无最值当时，的最小值为，无最大值.（2），函数恰有个零点，即恰有个不等的实根，即恰有个不等的实根，设，则，，单调递增，有两个解，即有两个解.令，则，当时，，单调递增当时，，单调递减，又时，，且，，当时，，当时，仅有一个零点，的取值范围为.例80．（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)设，求在区间上的最值；(2)讨论的零点个数.【解析】（1）因为，所以在区间上单调递减，所以当时，取最大值；当时，取最小值.（2）先讨论在上的零点个数，由（1）可知，在上递减，，所以在上递减，因为，所以在上有唯一零点，又因为，所以是偶函数，所以在上有两个零点.例81．（2023·贵州六盘水·高三校考阶段练习）已知函数.(1)若，求的极值；(2)若在上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围.【解析】（1）当时，，时，，单调递增，时，，单调递减，故的减区间为，增区间为，所以时，函数取到极小值，无极大值；（2）令，可得，记，原问题等价于的图象与直线有唯一的交点，，在上单调递增，且，∴在上单调递减，在上单调递增，且，，当，做出函数图象：由图可知，当或时，的图象与直线有唯一的交点，故实数a的取值范围为.模块三：数学思想方法①分类讨论思想例82．直线是曲线的一条切线，则实数（

）A．或1 B．或3 C． D．3【答案】B

【解析】设切点，，则，解得或；若，则；若，则；综上所述，或3，故选：例83．若是函数的极大值点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】，则，①若，即时，则，则在R上单调递增，没有极值点，不符合条件，舍去；②若，即时，由，得或；由，得，故在上单调递增，上单调递减，上单调递增，显然在取得极小值，不满足条件，舍去；③若，即时，由，得或；由，得，故在上单调递增，上单调递减，上单调递增，显然在取得极大值，满足条件；故a的取值范围是：例84．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】由题意得，，①当时，，函数在区间上单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点，若函数在区间不单调，必有，解得故本题选例85．已知函数在处取得极大值，则（

）A．2 B．6 C． D．【答案】B

【解析】求导函数可得，，解得，或，当时，，函数在处取极小值，不符合题意；当时，，函数在处取极大值，符合题意，故选例86．若经过点作曲线的切线，则切线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C

【解析】①易知点在曲线上，当点P为切点时，，则，故切线方程为②当点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为点A在曲线上，，，即，则，解得或舍去，，，此时切线方程为，即故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或故选例87．已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A

【解析】，当时，，则函数在内单调递增，不符合，故舍去；当时，令得到，因为函数在内不是单调函数，则，解得，，故选：例88．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B

【解析】①当时，只需，当时显然成立；当时，，令，，当，解得，当，解得，所以函数的减区间为，增区间为，故有，解得；②当时，，解得，③当

时，，解得，故实数a的取值范围为故选：②转化与化归思想例89．已知，则“”是“在内单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A

【解析】，且，，当且仅当即时等号成立．则可知在内单调递增；当在内单调递增时，则可得成立，即，综上可得“”是“在内单调递增”的充分不必要条件．故选例90．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】由题意可知单调递增，则在R上恒成立，可得恒成立，由二次函数性质当时，取最小值，故故选：例91．已知函数的定义域为R，为的导函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】设，所以，所以函数在R上单调递增，又因为，所以时，，时，，所以时，，所以时，，即，时，，所以，所以恒成立．故选例92．已知定义在R上的可导函数的导函数为，且恒成立，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】令，则，在R上单调递减，由，，得，故，解得：故选例93．已知直线与及的图