专题4 用导数研究函数的最值（原卷版）

专题4用导数研究函数的最值一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的最值是函数的一个重要性质,有些复杂的函数的最值,只能借助导数来求,高考常考题型一是给出确定函数或含有参数的函数求最值,二是求解不等式恒成立问题,常常利用函数的最值来求解,此类问题一般难度较大,多以压轴题形式出现.二、解题秘籍(一)求函数在闭区间上的最值一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值．求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a,b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．【例1】（2023届河南省洛阳市创新发展联盟高三摸底）已知函数．(1)求的图像在点处的切线方程；(2)求在上的值域．【解析】(1)因为，所以，所以，，故所求切线方程为，即．(2)由（1）知，．令，得；令，得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以．又，，所以，即在上的值域为．(二)求函数在非闭区间上的最值求函数在非闭区间上的最值,一般通过函数的研究函数的单调性与极值来确定,若函数在某一区间上有唯一极值点,则该点处的极值一定是函数的最值.【例2】（2024届云南师范大学附中高三适应性月考）已知，.(1)当时，求的最小值；(2)若在上恒成立，求a的取值范围.【解析】（1）当时，，所以，当时，，当时，，故而在上单调递减，在上单调递增；所以的最小值为（2）在上恒成立等价于：恒成立，即，在恒成立，令，由（1）知：上面不等式等价于：，在上恒成立，所以，在上恒成立，令所以.又令，且，而，即在上单调递增，所以当时，，即，所以在上单调递减；当时，，即，所以在上单调递增；所以在上的最小值为，所以(三)含单参数的函数的最值问题含单参数的函数的最值一般不通过比值求解,而是先讨论函数的单调性,再根据单调性求出最值．含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间,二是定极值点动区间,这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论．【例3】已知函数．(1)讨论的单调性；(2)求在上的最大值．【解析】（1）解：函数的定义域为，则.当时，对任意的，，此时函数的减区间为，无增区间；当时，由，可得，由，可得.此时，函数的增区间为，减区间为.综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；当时，函数的增区间为，减区间为.（2）解：由（1）知，当时，函数在上单调递减，此时，；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，；当时，函数在上单调递增，此时，.综上所述，.(四)把不等式恒成立或有解问题转化为函数的最值问题有些不等式恒成立或有解问题,常通过分类参数,转化为求函数的最值问题,常用结论是：若的值域为,则恒成立,有解.【例4】（2024届浙江省名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）高三上学期第一次联考）已知函数(1)当时，求函数的单调区间；(2)求证：当时，【解析】（1）解：当时，，，由，可得，由，可得，故当时，函数的增区间为，减区间为.（2）解：当时，因为，则，由，可得，由，可得，所以，函数的增区间为，减区间为，所以，下证：，即证：．记，，当时，，当时，，所以，函数的减区间为，增区间为，所以，，所以恒成立，即．(五)含双参数的函数的最值问题含双参数的函数的最值一般与恒成立问题有关，通常是先通过函数的最值把问题两个参数的等式或不等式，再把其中一个参数看作自变量，构造函数求解．【例5】（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，若，求b的最小值．【解析】(1)当时，，，当时，，在R上单调递增；当时，令有，当时，，单调递减，当时，，单调递增.(2)当时，由（1）若，则有解即可，即有解，即有解，设，则，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.故，故当.故b的最小值为(六)根据恒成立,求整数a的最大值根据恒成立,求整数a的最大值,通常情况是有最小值,但无法求出,这种情况下一般设出函数的极值点,把最小值转化为关于极值点的式子,根据极值所在范围,确定最小值的大致范围,由此确定整数a的最大值.【例6】（2023届江西省临川第一中学高三上学期期中）已知函数，其中为自然对数的底数.(1)讨论函数的单调性，(2)若，当时，恒成立时，求的最大值.（参考数据：）【解析】（1）由可得.当时，恒成立，在单调递增；当时，令得，所以在单调递减，在单调递增；综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.（2）当时，成立，当时，恒成立即，设，则，令，则，设，当时，，故；当时，，故，综上有，故，故为增函数，又，因为，故，所以，故存在唯一零点使得，故当时单调递减当时，，单调递增，故，又，即，所以设，则，故为增函数，又，所以，所以，故要且为正整数则的最大值为3.三、典例展示【例1】（2024届陕西省西安中学高三上学期月考）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若时函数有最大值，且，求实数的取值范围.【解析】（1）的定义域为，由可得，当时，，所以在上单调递增，当时，令，得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，在上单调递增，在上是单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，即，因此有，得，设，则，所以在上单调递增，又，所以，得，故实数的取值范围是.【例2】（2024届宁夏吴忠市高三上学期月考）已知函数在处的切线与直线：垂直．(1)求的单调区间；(2)若对任意实数，恒成立，求整数的最大值．【解析】（1）由，得，又切线与直线：垂直，所以，即．所以，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）对任意实数，恒成立，即对任意实数恒成立．设，即．，令，所以恒成立，所以在上单调递增．又，，所以存在，使得，即，所以．当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，当时，，所以，由题意知且所以，即整数的最大值为1．【例3】（2024届江苏省南通市如皋市高三上学期诊断测试）已知函数.(1)求的最大值;(2)证明：【解析】（1），定义域为，则，令，因为恒成立，所以在上单调递增，所以，即当时，，令，可得，得在上单调递增，在上单调递减，所以.（2）要证，即证，令令得，即在上单调递减，在上单调递增，，即，即欲证，只需证也就是证明设，则，令，得当时，；当时，当时，取到最小值故式成立，从而成立.【例4】（2023届北京名校高三二轮复习检测）已知函数，其中．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值和最小值．【解析】（1）当时，，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）依题意，，而，则，①当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，则，；②当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递减，则，；③当时，函数在上单调递增，由，得，当时，递减，当时，递增，，由，得，，由，得，，所以当时，的最小值是，最大值是；当时，的最小值是，最大值是；当时，的最小值是，最大值是；当时，的最小值是，最大值是．四、跟踪检测1．（2024届江苏省镇江市高三上学期阶段检测）已知函数．(1)若，求函数的最值；(2)若，函数在上是增函数，求a的最大整数值．2．（2023届江苏省南通市如皋市2高三上学期模拟）设，函数，函数(1)求函数g(x)的单调区间和最值；(2)若当时，对任意的，，都有成立，求实数t的取值范围.3．（2024届四川省成都市高三上学期开学考试）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若当时，，求的取值范围．(3)若存在实数、，使得恒成立，求的最小值．4．（2024届百师联盟高三上学期开学摸底联考）已知函数，且.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若关于的不等式恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围.5．（2024届宁夏银川一中高三上学期月考）已知函数.(1)当时，证明：；(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.6．（2024届湖北省腾云联盟高三上学期联考）已知函数.(1)证明：有唯一的极值点；(2)若恒成立，求实数a的取值范围.7（2023届黑龙江省哈尔滨市高三上学期月考）设函数(1)若，，求曲线在点处的切线方程；(2)若，不等式对任意恒成立，求整数k的最大值．8．（2023届河南省南阳市高三上学期期中）已知.(1)讨论函数的单调性；(2)设是的导数.当时，记函数的最大值为，函数的最大值为.求证：.9．（2023届福