专题2.2 基本不等式（原卷版）

专题2.2基本不等式题型一直接法求最值题型二配凑法求最值题型三“1”的代换求最值题型四消参法求最值题型五商式求最值题型六对勾函数求最值题型七利用基本不等式证明不等式题型八利用基本不等式解决实际问题题型九基本不等式与其余知识的综合应用题型一 直接法求最值例1．（2022秋·海南海口·高三校考阶段练习）已知实数x，y满足，那么的最大值为（

）A． B． C．1 D．2例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，当取最大值时，则的值为（

）A． B．2 C．3 D．4练习1．（2023春·湖南·高三桃江县第一中学校联考期中）若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（

）A． B． C． D．练习2．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数，则“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件练习3．（2021春·广西南宁·高二校考阶段练习）函数的最小值为（

）A． B．2 C．2 D．4练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（

）A． B．4 C．8 D．练习5．（2022秋·高三课时练习）已知正数，满足，则的最小值为（

）A．8 B．12 C． D．题型二 配凑法求最值例3．（2023·上海·高三专题练习）函数在区间上的最小值为_____________．例4．（2022秋·新疆克拉玛依·高三克拉玛依市高级中学校考期中）（1）已知，求函数的最小值；（2）已知，求函数的最大值.练习6．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）设实数x满足，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．6练习7．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在下列函数中，最小值是的函数有（

）A． B．C． D．练习8．（2022秋·吉林·高三吉林毓文中学校考阶段练习）已知，函数的最大值是__．练习9．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知，则的最小值为______．练习10．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式对恒成立，则a的取值范围是__________，的最小值为__________．题型三 “1”的代换求最值例5．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（

）A．12 B．25 C．27 D．36例6．（2023·安徽蚌埠·统考二模）若直线过点，则的最小值为______．练习11．（2023·北京·高三专题练习）已知，，，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．12练习12．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知实数满足，则的最小值是（

）A．5 B．9 C．13 D．18练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（

）A．20 B．32 C． D．练习14．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知，则的最小值是______．练习15．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数，且，则的最小值为___________.题型四 消参法求最值例7．（2023·辽宁大连·统考三模）已知，且，则的最小值为__________.例8．（2022秋·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若，且，则的最大值为___________.练习16．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则（

）A．有最小值为 B．有最小值为C．有最大值为 D．有最大值为练习17．（2022秋·江苏常州·高三江苏省奔牛高级中学校考阶段练习）实数a，b，c满足，，，则的最小值为（）A． B．1 C． D．练习18．（2022秋·陕西西安·高三西安市第三中学校考阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．练习19．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期中）正数a，b满足，则的最小值为______；的最大值为______．练习20．（2023·浙江·二模）若，则的取值范围是______.题型五 商式求最值例9．（2023·全国·高三专题练习）设,则的最小值为（

）A．0 B．1 C．2 D．4例10．（2022·江苏·高一专题练习）求下列函数的最小值（1）；（2）；（3）.练习21．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16练习22．（2021秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第五中学校考阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（

）A． B． C． D．练习23．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的最小值是______．练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则最大值为______．练习25．（2021秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）若存在，使成立，则的取值范围是___________.题型六 对勾函数求最值例11．（2023·高三课时练习）设，则的取值范围是______．例12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知关于的的解集是，则（

）A．B．C．关于的不等式的解集是D．的最小值是练习26．（2022秋·高三课时练习）若函数的值域是，则函数的值域是（

）A． B． C． D．练习27．（2022秋·吉林长春·高三东北师大附中校考期中）已知函数的定义域为，则函数的值域为（

）A． B． C． D．练习28．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A．－4 B．4 C．5 D．8练习29．（2023秋·江苏常州·高三统考期末）（多选）下列函数中，以3为最小值的函数有（

）．A． B．C． D．练习30．（2022秋·高三校考期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．若，则有最小值 B．若，则有最小值C．若，则有最大值 D．若，则有最大值题型七 利用基本不等式证明不等式例13．（2023·贵州黔西·校考一模）设，，均为正数，且，证明：(1)；(2)．例14．（2021秋·广西钦州·高二校考期中）证明：(1)；(2)．练习31．已知，，，证明：(1)；(2)．练习32．已知，，且．(1)求的最小值；(2)证明：．练习33．（2022秋·云南昆明·高一云南民族大学附属中学校考阶段练习）（1）求函数的最大值；（2）已知，求证：．练习34．已知，且，求证：(1)；(2).练习35．（2021·全国·高一专题练习）证明：.题型八 利用基本不等式解决实际问题例15．目前，我国汽车工业迎来了巨大的革命时代，确保汽车产业可持续发展，国内汽车市场正由传统燃油车向新能源、智能网联汽车升级转型.某汽车企业决定生产一种智能网联新型汽车，生产这种新型汽车的月成本为400（万元），每生产x台这种汽车，另需投入成本（万元），当月产量不足40台时，（万元）；当月产量不小于40台时，（万元）．若每台汽车售价为20（万元），且该车型供不应求．(1)求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；(2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润?并求出最大月利润．例16．（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．受地域影响，AD的长度最多能达到，其余边长没有限制．(1)设总价为（单位：元），AD长为（单位：），试建立关于的函数关系式；(2)当为何值时，最小？并求出这个最小值．练习36．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24m，如果用材料在一边靠墙（墙足够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最大面积是多少？练习37．（2023春·内蒙古呼和浩特·高二统考阶段练习）已知某公司计划生产一批产品总共万件（），其成本为（万元/万件），其广告宣传总费用为万元，若将其销售价格定为万元/万件．(1)将该批产品的利润（万元）表示为的函数；(2)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?练习38.为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足45台时，万元，当年产量不少于45台时，万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.(1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；(2)年产量为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？练习39．（2022·高三课时练习）用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是______．练习40．（2022秋·安徽马鞍山·高三安徽工业大学附属中学校考期中）如图，安工大附中欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为______元.题型九 基本不等式与其余知识的综合应用例17．（2023·浙江·二模）记为正数列的前项和，已知是等差数列.(1)求；(2)求最小的正整数，