2025版高中数学一轮复习情境试题创新练三数列理含解析新人教A版

PAGE情境试题创新练(三)数列1．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的依次排成一列，构成数列{an}，则a20＝()A．181 B．191 C．201 D．211【解析】选B.由题意可知an－1既是2的倍数，也是5的倍数，即an－1是10的倍数，则an－1＝10(n－1)(n∈N*)，故a20＝10×(20－1)＋1＝191.2.“贪吃蛇”的嬉戏中，设定贪吃蛇从原点动身，沿着如图所示的逆时针方向螺旋式前进，不停地吞食沿途的每一个格点(不包括原点).已知贪吃蛇的初始长为0，并且每吞食一个格点，长度就增加1个单位，如它头部到达点P2(2，2)，其长度增加到12，则当它头部到达点P9(9，9)时，它的长度增加到()A．186B．306C．360D．720【解析】选B.依据题意，设贪吃蛇的头部到达点(n，n)时的长度为an，则a1＝2，a2＝a1＋10，即a2－a1＝10，a3＝a2＋18，即a3－a2＝18，…以此类推：an－an－1＝8n－6，则有an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝4n2－2n，当n＝9时，有a9＝306.3．我国古代用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增．共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？()A．5B．4C．3D．2【解析】选C.依据题意，从上到下，每层塔灯的数目成等比数列，且其公比为2，设塔顶有a盏灯，则有S7＝eq\f(a（1－27）,1－2)＝381，解可得：a＝3，即塔顶有3盏灯．4．我国古代学者庄子在《庄子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，指一尺长的木棒，今日取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，恒久也取不尽，现有1尺长的线段，每天取走它的eq\f(1,2)，m天后剩下的线段长度不超过0.001尺，则m的最小值为()A．8B．9C．10D．11【解析】选C.由题意可知，m天后剩下的线段的长度为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)≤0.001，解得m≥10，所以m的最小值为10.5．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个，现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少须要()A．4秒钟B．5秒钟C．6秒钟D．7秒钟【解析】选B.1＋3＋32＋33＋…＋3n－1≥110，所以eq\f(1－3n,1－3)≥110，所以3n≥221，解得n≥5.即至少需5秒细菌将病毒全部杀死．6．在一次电子邮件传播病毒的事例中，已知第一轮感染的计算机台数是6台，并且从第一轮起先，以后各轮的每一台计算机都会感染下一轮的10台，那么到第6轮后，被感染的计算机的台数为________(用数字作答).【解析】设每轮感染的计算机的台数构成数列{an}，由题知其构成等比数列，首项a1＝6，公比q＝10，其前六项之和为T6＝eq\f(6（1－106）,1－10)＝666666.答案：6666667．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从其次个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为________．【解析】设第n个单音的频率为an，因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以eq\f(an,an－1)＝(n≥2，n∈N*)，又a1＝f，故数列{an}是首项为f，公比为的等比数列，则a8＝a1q7＝f()7＝.答案：8．如图，一个粒子从原点动身，在第一象限和两坐标轴正半轴上运动，在第一秒时它从原点运动到点(0，1)，接着它按图所示在x轴、y轴的垂直方向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么，在2018秒时，这个粒子所处的位置在点________．【解析】如图，设粒子运动到A1，A2，…，An时所用的时间分别为a1，a2，…，an，则a1＝2，a2＝6，a3＝12，a4＝20，…，an－an－1＝2n，将a2－a1＝2×2，a3－a2＝2×3，a4－a3＝2×4，…，an－an－1＝2n相加得：an－a1＝2(2＋3＋4＋…＋n)＝n2＋n－2，则an＝n(n＋1)，由44×45＝1980，故运动了1980秒时它到点A44(44，44)，又由运动规律知：A1，A2，…，An中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动，故粒子到达A44(44，44)时向左运动38秒，即运动了2018秒到达点(6，44)，则所求点应为(6，44).答案：(6，44)9．《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例安排问题，“衰分”是按比例递减安排的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人安排奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关胜利，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁依据肯定的“衰分比”安排奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，求“衰分比”与丙所获得的奖金．【解析】由题意，可知甲、乙、丙、丁安排的奖金构成等比数列，设此等比数列为{an}，且公比为q，设甲、乙、丙、丁依据的“衰分比”的值为x，则x＝1－q.依题意，a1＋a2＋a3＋a4＝59040，a1＋a3＝32800，则a2＋a4＝59040－32800＝26240，所以q＝eq\f(a2＋a4,a1＋a3)＝eq\f(26240,32800)＝0.8，所以“衰分比”的值x＝1－0.