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PAGE情境试题创新练(三)数列1.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2020这2020个数中,能被2除余1,且被5除余1的数按从小到大的依次排成一列,构成数列{an},则a20=()A.181 B.191 C.201 D.211【解析】选B.由题意可知an-1既是2的倍数,也是5的倍数,即an-1是10的倍数,则an-1=10(n-1)(n∈N*),故a20=10×(20-1)+1=191.2.“贪吃蛇”的嬉戏中,设定贪吃蛇从原点动身,沿着如图所示的逆时针方向螺旋式前进,不停地吞食沿途的每一个格点(不包括原点).已知贪吃蛇的初始长为0,并且每吞食一个格点,长度就增加1个单位,如它头部到达点P2(2,2),其长度增加到12,则当它头部到达点P9(9,9)时,它的长度增加到()A.186B.306C.360D.720【解析】选B.依据题意,设贪吃蛇的头部到达点(n,n)时的长度为an,则a1=2,a2=a1+10,即a2-a1=10,a3=a2+18,即a3-a2=18,…以此类推:an-an-1=8n-6,则有an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=4n2-2n,当n=9时,有a9=306.3.我国古代用一首诗歌形式提出的数列问题:远望巍巍塔七层,红灯向下成倍增.共灯三百八十一,请问塔顶几盏灯?()A.5B.4C.3D.2【解析】选C.依据题意,从上到下,每层塔灯的数目成等比数列,且其公比为2,设塔顶有a盏灯,则有S7=eq\f(a(1-27),1-2)=381,解可得:a=3,即塔顶有3盏灯.4.我国古代学者庄子在《庄子·天下篇》中提到:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,指一尺长的木棒,今日取其一半,明天取剩下的一半,后天再取剩下的一半,恒久也取不尽,现有1尺长的线段,每天取走它的eq\f(1,2),m天后剩下的线段长度不超过0.001尺,则m的最小值为()A.8B.9C.10D.11【解析】选C.由题意可知,m天后剩下的线段的长度为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m),则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)≤0.001,解得m≥10,所以m的最小值为10.5.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个,现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少须要()A.4秒钟B.5秒钟C.6秒钟D.7秒钟【解析】选B.1+3+32+33+…+3n-1≥110,所以eq\f(1-3n,1-3)≥110,所以3n≥221,解得n≥5.即至少需5秒细菌将病毒全部杀死.6.在一次电子邮件传播病毒的事例中,已知第一轮感染的计算机台数是6台,并且从第一轮起先,以后各轮的每一台计算机都会感染下一轮的10台,那么到第6轮后,被感染的计算机的台数为________(用数字作答).【解析】设每轮感染的计算机的台数构成数列{an},由题知其构成等比数列,首项a1=6,公比q=10,其前六项之和为T6=eq\f(6(1-106),1-10)=666666.答案:6666667.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从其次个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于,若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为________.【解析】设第n个单音的频率为an,因为每一个单音与前一个单音频率比为,所以eq\f(an,an-1)=(n≥2,n∈N*),又a1=f,故数列{an}是首项为f,公比为的等比数列,则a8=a1q7=f()7=.答案:8.如图,一个粒子从原点动身,在第一象限和两坐标轴正半轴上运动,在第一秒时它从原点运动到点(0,1),接着它按图所示在x轴、y轴的垂直方向上来回运动,且每秒移动一个单位长度,那么,在2018秒时,这个粒子所处的位置在点________.【解析】如图,设粒子运动到A1,A2,…,An时所用的时间分别为a1,a2,…,an,则a1=2,a2=6,a3=12,a4=20,…,an-an-1=2n,将a2-a1=2×2,a3-a2=2×3,a4-a3=2×4,…,an-an-1=2n相加得:an-a1=2(2+3+4+…+n)=n2+n-2,则an=n(n+1),由44×45=1980,故运动了1980秒时它到点A44(44,44),又由运动规律知:A1,A2,…,An中,奇数点处向下运动,偶数点处向左运动,故粒子到达A44(44,44)时向左运动38秒,即运动了2018秒到达点(6,44),则所求点应为(6,44).答案:(6,44)9.《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例安排问题,“衰分”是按比例递减安排的意思,通常称递减的比例为“衰分比”.如:已知A,B,C三人安排奖金的衰分比为10%,若A分得奖金1000元,则B,C所分得奖金分别为900元和810元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关胜利,共获得奖金59040元,若甲、乙、丙、丁依据肯定的“衰分比”安排奖金,且甲与丙共获得奖金32800元,求“衰分比”与丙所获得的奖金.【解析】由题意,可知甲、乙、丙、丁安排的奖金构成等比数列,设此等比数列为{an},且公比为q,设甲、乙、丙、丁依据的“衰分比”的值为x,则x=1-q.依题意,a1+a2+a3+a4=59040,a1+a3=32800,则a2+a4=59040-32800=26240,所以q=eq\f(a2+a4,a1+a3)=eq\f(26240,32800)=0.8,所以“衰分比”的值x=1-0.

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