重庆市南开中学2024-2025学年高一上学期9月检测数学试题

重庆市南开中学校20242025学年高一上学期9月检测数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各项中，不可以组成集合的是A.所有的正数 B.等于2的数 C.接近于0的数 D.不等于0的偶数【答案】C【解析】【详解】试题分析：集合中的元素满足三要素：确定性、互异性、无序性；“接近于0的数”是不确定的元素故接近于0的数不能组成集合故选C．考点：集合的含义．2.已知命题，则为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得：命题的否定是．故选：D3.，若，则实数的取值集合为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】两个集合相等，则元素相同，据此分类讨论求解即可.【详解】由题意，或，∴或，由集合元素互异性可知，则实数的取值集合为.故选：A.4.满足{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是（）A.8 B.7 C.6 D.5【答案】C【解析】【分析】根据条件，列举出满足条件的集合，即可求解.【详解】由题意可知，,,,,,，共有6个集合满足条件.故选：C5.如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根据阴影部分的位置得答案.【详解】图中阴影部分不在集合中，在集合中，故阴影部分所表示的集合是.故选：C.6.设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A.（﹣∞，2） B.（﹣∞，2] C.（2，+∞） D.[2，+∞）【答案】B【解析】【详解】试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以的取值范围为，故选B.考点：集合的关系7.若、、为三个集合，，则一定有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知等式可推导得到，由此可依次判断各个选项得到结果.【详解】因为，所以，，，所以,所以，对于A，因为，所以，故A正确；对于B，当且仅当时，，故B错误；对于C，当时，满足，故C错误；对于D，当时，满足，故D错误.故选：A.8.设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（i≠，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】B【解析】【分析】根据题意，首先分析出的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对表示两个数、中的较小者）的把握，即可得答案．【详解】解：根据题意，对于，含2个元素的子集有15个，但，、，、，只能取一个；，、，只能取一个；，、，只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个；故选：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知“”是“”的充分不必要条件，则的值可能为（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】BCD【解析】【分析】由充分不必要条件求出的范围即可找到选项.【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以.故选：BCD10.设，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可.【详解】设，而，即A错误，C正确；，即B正确；，即D正确.故选：BCD.11.集合，且若，则，那么下列说法正确的有（）A.若，则 B.，则C. D.若，则【答案】AB【解析】【分析】根据集合的定义，由，，得到，，即，，然后利用一元二次不等式的解法化简后逐项判断.【详解】∵非空集合满足：当时，有∴，，.则，，且，.即或，且，对于A，当时，有，故A正确；对于B，当时，，所以，所以，故B正确；对于C，因为或，故C错误；对于D，当时，可知或，故D错误.故选：AB第II卷（非选择题）三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.12.设全集，集合，，则_________．【答案】【解析】【分析】由全集，可得，然后根据集合混合运算的法则即可求解．详解】，，，，，故答案为：．13.南开中学高一某班报名数学、物理竞赛班，两科都不参加的占全班的，只参加数学的占全班的，参加物理的比参加数学的少11人，两门都参加的有5人，则全班有______人.【答案】45【解析】【分析】引入参数，只参加数学占参加了竞赛班的比例列方程即可求解.【详解】设只参加物理的有个人，则只参加数学的有个人，因为两科都不参加的占全班的，所以参加了竞赛班的占全班的，所以只参加数学的占参加了竞赛班的，解得，所以全班有人.故答案：45.14.已知集合，，定义集合，则中元素的个数为________.【答案】【解析】【分析】首先用列举法表示集合、，从而得到，即可得解.【详解】因为，，又，所以，，所以中元素的共个.故答案为：四、解答题15.（1）若集中有且仅有一个元素，求实数所有取值.（2）已知集合，若，求实数的值.【答案】（1），；（2），，.【解析】【分析】（1）分是否等于0两种情况讨论即可；（2）分是否等于0两种情况讨论即可.【详解】（1）情形一：若，则中只有这一个元素，故符合题意；情形二：若，且集合中只有一个元素，这意味着当且仅当一元二次方程有两个相等的实数根，从而，解得；综上所述，实数的所有取值可能为：，；（2），情形一：当时，，此时满足，故符合题意；情形二：当时，，若要，则当且仅当或，解得或；综上所述，实数的值可能是：，，.16.设集合.（1）求（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先解不等式求出集合，再利用交集、补集的概念计算即可；（2）先求出并集的补集，再根据集合间的基本关系计算即可.【小问1详解】由得，由得或，即{xx>2或}，所以，故；【小问2详解】由上知{xx>−2或}，所以，而，则，解之得，即的取值范围为.17.已知全集，集合．（1）若b＝4时，存在集合M使得AMB，求出所有这样的集合M；（2）集合A，B能否满足？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由．【答案】（1）；（2）能，.【解析】【分析】（1）当时，由，得到，求得，结合条件即可求解；（2）由，得到，分和，两种情况讨论，结合集合的包含关系，即可求解.【小问1详解】解：当时，可得，因为，所以，又由，又因为AMB，所以这样的集合M共有如下6个：.【小问2详解】解：能；由，可得，若时，此时满足是的一个子集，此时，解得；若时，由（1）知，当时，，此时，此时不是的一个子集；当时，，此时，此时是的一个子集；当时，，此时，此时是的一个子集，综上可得，当或时，满足，此时实数的取值范围为.18.已知.（1）若，求实数的取值范围;（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由交集为空集得到一元二次方程无解，再由判别式小于等于零可解出；（2）分和时，分别求出的范围，注意时中的点都在集合中，即可解出；【小问1详解】由得，①因为，所以①的，解得，所以实数的取值范围为，【小问2详解】①若，由（1）可得，②若，且其中的点都在集合中，也符合题意，此时，联立，得，且，解得，将代入中，整理可得，令，整理得，解得，同理，把代入，得，令，整理并化简可得，所以，综上，实数的取值范围为或.19.设集合），若是的子集，把中所有元素的和称为的"容量"（规定空集的容量为0），若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集.（1）写出的所有奇子集;（2）求证：的奇子集与偶子集个数相等；（3）求证：当时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.【答案】（1）、、,、,、,、,、,2,、,3,；（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，分析的子集，对应奇子集的定义，即可得的所有奇子集；（2）设为的奇子集，根据奇子集和偶子集的定义，按1是否属于进行分类，则得到奇子集和偶子集之间的关系，分析即可证得结论；（3）根据（2）中的结论，计算奇子集容量之和时，元素的贡献是，即可求得奇子集的容量之和，从而得到偶子集的容量之和，即可得到结论．【小问1详解】由题意可知，当时，，2，3，，的容量为奇数，则为的奇子集，所有的奇子集应为、、,、,、,、,、,2,、,3,；【小问2详解】设奇数，对于的每个奇子集，当时，取且．当时，取，则为的偶子集．反之，亦然．所以，的奇子集与偶子集是一一对应的．所以，的奇子集与偶子集个数相等．【小问3详解】对任一，含的子集共有个，用上面的对应方法可知，其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而对